欧拉方程的求解.pdf
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1、欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783).几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多,本
2、文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献1中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如y xK的解,进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义定义 1 1 形状为xny(n)a1xn1y(n1)an1xy any 0(1)的方程称为欧拉方程.(其中a1,a2,an
3、1,an为常数)12.1 二阶齐次欧拉方程的求解(求形如y xK的解)二阶齐次欧拉方程:x2ya1xya2y 0.(2)(其中a1,a2为已知常数)我们注意到,方程(2)的左边y、y和y的系数都是幂函数(分别是x2、a1x和a2x0),且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数y xK来尝试,看能否选取适当的常数K,使得y xK满足方程(2).对y xK求一、二阶导数,并带入方程(2),得(K2 K)xK a1KxKa2xK 0或K2(a11)K a2xK 0,消去xK,有K2(a11)K a2 0.(3)定义定义 2 2 以K为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(
4、2)的特征方程.由此可见,只要常数K满足特征方程(3),则幂函数y xK就是方程(2)的解.于是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论:定理定理 1 1 方程(2)的通解为(i)y c1xK1c2xK1ln x,(K1 K2是方程(3)的相等的实根)(ii)y c1xK1c2xK2,(K1 K2是方程(3)的不等的实根)(iii)y c1xcos(ln x)c2xsin(ln x).(K1,2i是方程(3)的一对共轭复根)(其中c1、c2为任意常数)2证明(i)若特征方程(3)有两个相等的实根:K1 K2,则y1 xK是方程(2)的解,1且设y2 u(x),y1 xK1u(x)(u(x)为待定
5、函数)也是方程(2)的解(由于y2 u(x),即y1,y2线性无关),将其带入方程(2),得y1xK1(K12 K1)u 2K1xu x2ua1xK1(K1u xu)a2xK1u 0,约去xK1,并以u、u、u为准合并同类项,得x2u(2K1 a1)xuK12(a11)K1a2u 0.由于K1是特征方程(3)的二重根,因此K12(a11)K1 a2 0或2K1(a11)0,于是,得x2uux 0或xuu 0,即(xu)0,故u(x)c1ln xc2.不妨取u(x)ln x,可得方程(2)的另一个特解y2 xK1ln x,所以,方程(2)的通解为3y c1xK1c2xK1ln x.(其中c1,c
6、2为任意常数)(ii)若特征方程(3)有两个不等的实根:K1 K2,则y1 xK,y2 xK是方程(2)的解.12y2xK2又K1 x(K2K1)不是常数,即y1,y2是线性无关的.y1x所以,方程(2)的通解为y c1xKc2xK.12(其中c1,c2为任意常数)(iii)若特征方程(3)有一对共轭复根:K1,2i(0),则y1 x(i),y2 x(i)是方程(2)的两个解,利用欧拉公式,有y1 x(i)xeilnx x(cos(ln x)isin(ln x),y2 x(i)xeilnx x(cos(ln x)isin(ln x),显然,xcos(ln x)y1 y22和y1 y22i是方程
7、(2)的两个线性无关的实函数解.xsin(ln x)所以,方程(2)的通解为y c1xcos(ln x)c2xsin(ln x).(其中c1,c2为任意常数)4例例 1 1 求方程x2y xy y 0的通解.解解 该欧拉方程的特征方程为K(K 1)K 1 0,即(K 1)2 0,其根为:K1 K21,所以原方程的通解为y (c1c2ln x)x.(其中c1,c2为任意常数)例例 2 2 求方程x2y xy8y 0的通解.解解 该欧拉方程的特征方程为K2(11)K 8 0,即K22K 8 0,其根为:K1 2,K2 4,所以原方程的通解为y c1c2x4.2x(其中c1,c2为任意常数)例例 3
8、 3 求方程的通解x2y3xy5y 0.解解 该欧拉方程的特征方程为K(K 1)3K 5 0,即K22K 5 0,5其根为:K1,2 12i,所以原方程的通解为1y c1cos(2ln x)c2sin(2ln x).x(其中c1,c2为任意常数)2.2 二阶非齐次欧拉方程的求解(初等积分法)x2ya1xya2y f(x).二阶非齐次欧拉方程:(4)(其中a1,a2为已知实常数,f(x)为已知实函数)为了使方程(4)降阶为一阶线性微分方程,不妨设a11K1K2,a2 K1K2,(5)则方程(4)变为x2y(1K1K2)xyK1K2a2y f(x),即x(xyK2y)K1(xyK2y)f(x),(
9、6)根据韦达定理,由(5)式可知,K1,K2是一元二次代数方程K2(a11)K a20(3)的两个根.具体求解方法:定理定理 2 2 若K1,K2为方程(2)的两个特征根,则方程(4)的通解为y xK2xK1K21xK11f(x)dxdx.(7)证明证明 因为K1,K2为方程(2)的两个特征根,6于是方程(4)等价于方程(6),令xy K2y p,代入方程(6)并整理,得K1f(x)p xxK2py,xxp和y解之,得方程(4)的通解为y xK2xK1K21xK11f(x)dxdx.由定理 2 知,只需要通过两个不定积分(当(7)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解.为了方便计算,给出如
10、下更直接的结论.定理定理 3 3 若K1,K2为方程(2)的两个特征根,则(i)当K1 K2是方程(2)的相等的实特征根时,方程(4)的通解为y xKlnxxK 1f(x)dxln xxK 1f(x)dx,111(ii)当K1 K2是方程(2)的互不相等的实特征根时,方程(4)的通解为y 1xK1xK11f(x)dx xK2xK21f(x)dx,K1 K2(iii)当K1,2i是方程(2)的共轭复特征根时,方程(4)的通解为y 1xsin(ln x)x1cos(ln x)f(x)dxcos(ln x)x1sin(ln x)f(x)dx证明证明(ii)当K1 K2是方程(2)的互不相等的的实特征
11、根时,将方程(1)的通解(7)进行分部积分,得7y xKxK K 1xK 1f(x)dxdx2121(8)1K11K2K1K2K1K2K11x xxf(x)dxxdxf(x)dxK1 K21xK2xK11f(x)dxdxK1K2K1 K21K 1K 1xK1x1f(x)dxxK2x2f(x)dxK1 K2(iii)当K1,2i是方程(2)的共轭复特征根时,K1 K2 2i,再由欧拉公式有xK xi xeilnx xcos(ln x)isin(ln x),1xK xi xeilnx xcos(ln x)isin(ln x),2将其代入(8)式,整理可得方程(4)的通解为y 1xsin(ln x)
12、x1cos(ln x)f(x)dxcos(ln x)x1sin(ln x)f(x)dx(i)的证明和(ii)类似.例例 1 1 求方程x2y3xy4y x2ln x x2的通解.解解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K24K 4 0,特征根为K1 K2 2,所以由定理 3,原方程的通解为y x2ln xx3(x2ln x x2)dxln xx3(x2lnx x2)dx113211c1x2ln xc2x2 x2(lnx)3(lnx)262 x2ln x(ln x)2ln xc1(ln x)3(ln x)2c212(其中c1,c2为任意常数)8例例 2 2 求方程x2y2xy2y x3ex的
13、通解.解解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K23K 2 0,特征根为K1 2,K21,所以由定理 3,原方程的通解为y x2x3x3exdx xx2x3exdx x2(exc1)x(xexexc2)c1x2c2x xex(其中c1,c2为任意常数)例例 3 3 求方程x2yxy2y x的通解.cos(ln x)解解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为k22k 2 0,特征根为K1,21i,所以由定理 3,原方程的通解为xxdxcos(lnx)x2sin(lnx)dxcos(lnx)cos(lnx)11 sin(lnx)xsin(lnx)dxcos(lnx)dxxx cos(lnx)
14、y xsin(lnx)x2cos(lnx)xsin(lnx)(lnxc1)cos(lnx)ln(cos(lnx)c2)xc1sin(lnx)c2cos(lnx)xsin(lnx)ln xcos(lnx)ln(cos(ln x)(其中c1,c2为任意常数)在定理 3 中,若令f(x)0,则得到二阶齐次欧拉方程(2)的通解.9推论推论 方程(2)的通解为(i)y c1xK1c2xK1ln x,(K1 K2是方程(2)的相等的实特征根)(ii)y c1xK1c2xK2,(K1 K2是方程(2)的不等的实特征根)(iii)y c1xcos(ln x)c2xsin(ln x).(K1,2i是方程(2)的
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