第三讲 复习数列.doc
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1、第三讲 复习数列一、 本讲主要内容1、 等差数列及等比数列的定义,通项公式,前n项和公式及性质;2、 一般数列的通项及前n项和计算。二、 学习指导 1、数列,是按照一定顺序排列而成的一列数,从函数角度看,这种顺序法则就是函数的对应法则,因此数列可以看作是一个特殊的函数,其特殊性在于:第一,定义域是正整数集或其子集;第二,值域是有顺序的,不能用集合符号表示。研究数列,首先研究对应法则通项公式:an=f(n),nN+,要能合理地由数列前n项写出通项公式,其次研究前n项和公式Sn:Sn=a1+a2+an,由Sn定义,得到数列中的重要公式:。一般数列的an及Sn,,除化归为等差数列及等比数列外,求Sn
2、还有下列基本题型:列项相消法,错位相消法。2、等差数列 (1)定义,an为等差数列an+1-an=d(常数),nN+2an=an-1+an+1(n2,nN+); (2)通项公式:an=an+(n-1)d,an=am+(n-m)d; 前n项和公式:; (3)性质:an=an+b,即an是n的一次型函数,系数a为等差数列的公差; Sn=an2+bn,即Sn是n的不含常数项的二次函数;若an,bn均为等差数列,则annn,kan+c(k,c为常数)均为等差数列;当m+n=p+q时,am+an=ap+aq,特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=;当2n=p+q时,2an=ap+aq;当n为
3、奇数时,S2n-1=(2n-1)an;S奇=a中,S偶=a中。 3、等比数列(1) 定义:=q(q为常数,an0);an2=an-1an+1(n2,nN+);(2) 通项公式:an=a1qn-1,an=amqn-m; 前n项和公式:;(3) 性质当m+n=p+q时,aman=apaq,特例:a1an=a2an-1=a3an-2=,当2n=p+q时,an2=apaq,数列kan,成等比数列。4、等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若an为等差数列,则为等比数
4、列(a0且a1);若an为正数等比数列,则logaan为等差数列(a0且a1)。三、 典型例题 例1、已知数列an为等差数列,公差d0,其中,恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+kn。解题思路分析:从寻找新、旧数列的关系着手设an首项为a1,公差为d a1,a5,a17成等比数列 a52=a1a17(a1+4d)2=a1(a1+16d) a1=2d设等比数列公比为q,则对项来说,在等差数列中:在等比数列中: 注:本题把k1+k2+kn看成是数列kn的求和问题,着重分析kn的通项公式。这是解决数列问题的一般方法,称为“通项分析法”。例2、设数列an为等差数列,Sn为数列
5、an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn。解题思路分析:法一:利用基本元素分析法设an首项为a1,公差为d,则 此式为n的一次函数 为等差数列 法二:an为等差数列,设Sn=An2+Bn 解之得: ,下略注:法二利用了等差数列前n项和的性质例3、正数数列an的前n项和为Sn,且,求:(1) 数列an的通项公式;(2) 设,数列bn的前n项的和为Bn,求证:Bn.解题思路分析:(I) 涉及到an及Sn的递推关系,一般都用an=Sn-Sn-1(n2)消元化归。 4Sn=(an+1)2 4Sn-1=(an-1+1)2(n2) 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(a
6、n-1+1)2 4an=an2-an-12+2an-2an-1整理得:(an-1+an)(an-an-1-2)=0 an0 an-an-1=2 an为公差为2的等差数列在中,令n=1,a1=1 an=2n-1 (II) 注:递推是学好数列的重要思想,例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2,它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1,n+1等去代替n,实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式,代换就是对n赋值。例4、等差数列an中,前m项的和为77(m为奇数),其中偶数项的和为33,且a1-am=18,求这个数列的通项公式。解题思路分析:利用前奇数项和
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