解析几何第四版吕林根课后习题-答案~第三章.doc
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1、|第三章 平面与空间直线 3.1 平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程:(1)通过点 和点 且平行于矢量 的平面(2)通过点)1,3(M)0,1(2 ,01和 且垂直于 坐标面的平面;),5(2xoy(3)已知四点 , , 。求通过直线 AB 且平行于直线),(A),6(B)4,5(C)6,(DCD 的平面,并求通过直线 AB 且与 平面垂直的平面。A解: (1) ,又矢量 平行于所求平面,1,221M2,01故所求的平面方程为:vuzyx213一般方程为: 0734zx(2)由于平面垂直于 面,所以它平行于 轴,即 与所求的平面平行,又oyz1,0,平行于所求的平面,所以要求
2、的平面的参数方程为:,71Mvuzyx3152一般方程为: ,即 。0)(2)(7yx 0172yx(3) ()设平面 通过直线 AB,且平行于直线 CD:,1,54AB,CD从而 的参数方程为: vuzyx23一般方程为: 。0745910zx()设平面 通过直线 AB,且垂直于 所在的平面 ABC, 1,AB 1,4,1,0,54|均与 平行,所以 的参数式方程为:vuzyx3514一般方程为: .022x2.化一般方程为截距式与参数式:.4:zyx解: 与三个坐标轴的交点为: ,)4,0(,2()0,(所以,它的截距式方程为: .14zyx又与所给平面方程平行的矢量为: ,,所求平面的参
3、数式方程为:vzuyx243.证明矢量 平行与平面 的充要条件为:,ZYX0DCzByAx.0CBA证明: 不妨设 ,则平面 的参数式方程为:DzyxvzuvACB故其方位矢量为: ,1,0,从而 平行于平面 的充要条件为:vDCzByAx, 共面1,0,|01ACBZYX.ZYA4. 已知连接两点 的线段平行于平面 ,求 点的),20(),5,3(zB0147zyxB坐标.z解: ,而 平行于AB0147zyx由题 3 知: )5(2)(从而 .18z5. 求下列平面的一般方程.通过点 和 且分别平行于三坐标轴的三个平面;,11,32过点 且在 轴和 轴上截距分别为 和 的平面;43xy23
4、与平面 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;05zyx已知两点 ,求通过 且垂直于 的平面;12,1121,原点 在所求平面上的正射影为 ;69求过点 和 且垂直于平面 的平面.,531,42 038zyx解:平行于 轴的平面方程为 .即 .x011zyx同理可知平行于 轴, 轴的平面的方程分别为 .yz 01,yxz设该平面的截距式方程为 ,把点 代入得32cyx423924c故一般方程为 .041982zyx若所求平面经过 轴,则 为平面内一个点,和 为所求平面的方位矢量,150|点法式方程为 01250zyx一般方程为 .02zy同理经过 轴, 轴的平面的一般方程分别为 .05,2yxz
5、 垂直于平面 ,2121.3,该平面的法向量 ,平面 通过点 ,n213因此平面 的点位式方程为 .0zyx化简得 .023zyx(5) .6,9op.1384.6,92cos,cs0 npo .19,12cs则该平面的法式方程为: .0zyx既 .02692zyx(6)平面 的法向量为 , ,点从 1383,81n1,621M2,4写出平面的点位式方程为 ,则0624zyx ,3A,74284,13,213 DCB则一般方程 即:,0zyAx .033zyx6将下列平面的一般方程化为法式方程。.74.2.12.352.1 zyxx解: .D|30122CBA将已知的一般方程乘上 得法式方程.
6、 .035302zyx将已知的一般方程乘上 得法式方程.21.2D.21.01yx将已知的一般方程乘上 得法式方程.1.2.3.1.02x即 或904D9将已知的一般方程乘上 或 得法式方程为 或.1974zyx.79zyx7求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。.021.203562.1 zyx解: 化为法式方程为 原点指向平面 的单位法71.D05763zyx矢量为 它的方向余弦为 原点 到平面,u .76cos,s,coso的距离为.5P化为法式方程为- 原点指向平面 的单位法31.2.D0321zyx矢量为 它的方向余弦为 原点 到,2,0n 12cos
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