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1、椭圆的定义强化训练(解析版)椭圆的定义强化训练(解析版)1、(2022西安市长安区质量检测)已知 M(2,0),P 是圆 N:x24xy2320 上一动点,线段 MP的垂直平分线交 NP 于点 Q,则动点 Q 的轨迹方程为()A.x29y251B.x25y291C.x25y291D.x29y251解析:由题意可得圆心 N 为(2,0),半径为 6.因为线段 MP 的垂直平分线交 NP 于点 Q,所以|QP|QM|,所以|QM|QN|QP|QN|PN|6|MN|4,所以点 Q 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆,所以 a3,c2,b a2c2 5,所以其轨迹方程为x29y251.2、(2022亳州
2、模拟)已知椭圆的两个焦点为 F1(5,0),F2(5,0),M 是椭圆上一点,若 MF1MF2,|MF1|MF2|8,则该椭圆的方程是()A.x27y221B.x22y271C.x29y241D.x24y291解析:选 C.设|MF1|m,|MF2|n,因为 MF1MF2,|MF1|MF2|8,|F1F2|2 5,所以 m2n220,mn8,所以(mn)236,因为 mn0,所以 mn2a6,所以 a3.因为 c 5,所以 b a2c22.所以椭圆的方程是x29y241.3、(2022湖南省衡阳八中月考)对于曲线 C:x24ky2k11,下面四个说法正确的是()A曲线 C 不可能是椭圆B“1k
3、4”是“曲线 C 是椭圆”的充分不必要条件C“曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆”是“3k4”的充分不必要条件D“曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆”是“1k2.5”的充要条件解析:选 D.当 1k4 且 k2.5 时,曲线 C 是椭圆,所以 A 错误;当 k2.5 时,4kk1,此时曲线 C 是圆,所以 B 错误;若曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,则4k0,k10,k14k,解得 2.5k4,所以“曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆”是“3k4”的必要不充分条件,所以 C 错误;若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,则k10,4k0,4kk1,解得 1k2.5,所以 D 正确故选 D.4
4、、(2021泉州模拟)已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果 M 是线段 F1P 的中点,那么动点 M 的轨迹是(B)A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线解析:如图所示,由题知|PF1|PF2|2a,设椭圆方程:x2a2y2b21(其中 ab0)连接 MO,由三角形的中位线可得:|F1M|MO|a(a|F1O|),则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆5、(2022林芝市第二高级中学月考)已知 F1,F2是椭圆 C:x24y21 的两个焦点,若点 P 是椭圆 C上的一个动点,则PF1F2的周长是()A42 3B42 5C8D10解析:选 A.由椭圆 C:x24y21 知,a
5、2,b1,c a2b2 3,所以|F1F2|2 3,由椭圆的定义知,|PF1|PF2|2a4,则PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|42 3.6、如图,椭圆x2a2y241(a2)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P是椭圆上的一点,若F1PF260,那么PF1F2的面积为()A.2 33B.3 32C.3 34D.4 33解析:选 D.由题意知|PF1|PF2|2a,|F1F2|24a216,由余弦定理得 4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60,即 4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|163,所以 SPF1F21
6、2|PF1|PF2|sin 604 33,故选 D.7、(教材改编)化简方程(x4)2y2(x4)2y210 的结果是()A.x25y231B.x23y251C.x225y291D.x29y2251解析:选 C.由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知,方程表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆,且 c4,a5,所以 b2a2c29,故化简结果为x225y291.8、如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 内一个定点,P 是圆上任意一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点Q的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析:选 A.连接 QA(图略)由
7、已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点 A 在圆内,所以|OA|8|C1C2|,所以 M 的轨迹是以 C1,C2为焦点的椭圆,且 2a16,2c8,所以 a8,c4,b a2c24 3,故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为x264y2481.10、“(loga2)x2(logb2)y21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是()A0abB1abC2abD1ba解析:C若(loga2)x2(logb2)y21 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则需loga20,logb20,loga2logb2,即a1,b1,ab,所以 1ab,所以“(loga2)x2(lo
8、gb2)y21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是 2ab,故选 C11、如图,P 是椭圆x29y241 上的一点,F 是椭圆的左焦点且 PQ FQ,|OQ|2,则|PF|()A2B 5C3D4解析:A由x29y241 可得 a3因为 PQ FQ,所以点 Q 是线段 PF 的中点,设椭圆的右焦点为 F,则 O 是 FF的中点,所以|PF|2|OQ|4,由椭圆的定义可知:|PF|PF|2a6,所以|PF|2,故选 A12、已知两圆 C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x264
9、y2481B.x248y2641C.x248y2641D.x264y2481解析设圆 M 的半径为 r,则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|,所以 M 的轨迹是以 C1,C2为焦点的椭圆,且 2a16,2c8,所以 a8,c4,b a2c24 3,故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为x264y2481.13、古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的 4 倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2在 y 轴上,其面积为 8 3,过点 F1的直线 l 与椭圆 C交于点 A,B 且F2AB 的周长为 32,则椭圆 C 的方程为()Ax2
10、64y231By264x231Cx264y2481Dy264x2481解析焦点 F1,F2在 y 轴上,可设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0),由题意可得4S2a2b4ab,Sab8 3,即 ab8 3,F2AB 的周长为 32,4a32,则 a8,b 3,故椭圆方程为y264x231故选 B14、(2021新高考卷)已知 F1,F2是椭圆 C:x29y241 的两个焦点,点 M 在 C 上,则|MF1|MF2|的最大值为()A13B12C9D6解析:选 C.由椭圆 C:x29y241,得|MF1|MF2|236,则|MF1|MF2|MF1|MF2|22329,当且仅当|MF1|MF
11、2|3 时等号成立故选 C.15、(2021高考全国卷甲)已知 F1,F2为椭圆 C:x216y241 的两个焦点,P,Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|F1F2|,则四边形 PF1QF2的面积为_解析:根据椭圆的对称性及|PQ|F1F2|可以得到四边形 PF1QF2为对角线相等的平行四边形,所以四边形 PF1QF2为矩形设|PF1|m,则|PF2|2a|PF1|8m,则|PF1|2|PF2|2m2(8m)22m26416m|F1F2|24c24(a2b2)48,得m(8m)8,所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|PF2|m(8m)8.16、如图,ABC 的顶点 B,C 在椭
12、圆x23y21 上,顶点 A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则ABC 的周长是_解析:因为 a23,所以 a 3.ABC 的周长为|AC|AB|BC|AC|CF2|AB|BF2|2a2a4a4 3.17、已知 F 是椭圆 5x29y245 的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点则|PA|PF|的最大值为_,最小值为_解析:如图所示,设椭圆右焦点为 F1,则|PF|PF1|6.所以|PA|PF|PA|PF1|6.利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P,A,F1共线时等号成立)所以|PA|PF|6 2,|PA|PF|6 2.故|PA|PF|的最大值为 6
13、2,最小值为 6 2.18、已知 F1,F2是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为 9,则 b_解析:设|PF1|r1,|PF2|r2,则r1r22a,r21r224c2,所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2,所以 SPF1F212r1r2b29,所以 b3.19、(教材改编)椭圆 C:x225y2161 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,则F1AB 的周长为_20_,AF1F2的周长为_16_20、已知 F1、F2分别是椭圆 5x29y245 的左
14、、右焦点,P 是椭圆上的动点,则|PF1|PF2|的最大值为_9_,若 A(1,1),则|PA|PF1|的取值范围为_6 2,6 2_.解析:由椭圆的方程x29y251 知,a3,c2,|PF1|PF2|2a6,|PF1|PF2|PF1|PF2|229,当且仅当|PF1|PF2|3 时取等号,|PF1|PF2|的最大值为 9.|PA|PF1|PA|PF2|6.由椭圆方程x29y251 知 c 952,F2(2,0),|AF2|2.利用|AF2|PA|PF2|AF2|(当 P、A、F1共线时等号成立)|PA|PF1|6 2,|PA|PF1|6 2.故|PA|PF1|的最大值为 6 2,最小值为
15、6 2.21、已知 F1,F2是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且F1PF260.若PF1F2的面积为 3 3,则 b_3_.解析:|PF1|PF2|2a,又F1PF260,所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2,即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2,所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2,所以|PF1|PF2|43b2,又因为 SPF1F212|PF1|PF2|sin 601243b23233b23 3,所以 b3.故填 3.22、(2021大庆模拟)已知点 M(3,0),椭圆x24y21
16、与直线 yk(x 3)交于点 A、B,则ABM 的周长为_8_.解析:直线 yk(x 3)过定点 N(3,0)而 M、N 恰为椭圆x24y21 的两个焦点,由椭圆定义知ABM 的周长为 4a428.23、(2019课标,15)设 F1,F2为椭圆 C:x236y2201 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形,则 M 的坐标为_(3,15)_.解析:因为 F1,F2分别是椭圆 C 的左,右焦点,由 M 点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|F1F2|,又由椭圆方程x236y2201,知|F1F2|8,|F1M|F2M|2612,所以|F1M|F1F2|8
17、,所以|F2M|4.设 M(x0,y0)(x00,y00),则x042y2064,x042y2016,解得 x03,y0 15,即 M(3,15)24、(2021河北衡水调研)设 F1、F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点,P 为椭圆上任意一点,点 M的坐标为(6,4),则|PM|PF1|的最小值为_5_.解析:由题意可知 F2(3,0),由椭圆定义可知|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a(当且仅当 M,P,F2三点共线时取得等号),又|MF2|6324025,2a10,|PM|PF1|5105,即|PM|PF1|的最小
18、值为5.25、如图所示,已知椭圆x2a2y2b21(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若F1AB90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为 2,且AF22F2B,求椭圆的方程解:(1)若F1AB90,则AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|OF2|,即 bc.所以 a 2c,eca22.(2)由题意知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y),由AF22F2B,得2(x1)1,2yb,解得 x32,yb2.代入x2a2y2b21,得94a2b24b21.即94a2141,解得 a23.所以椭圆方程为x23y221.26、
19、已知 F1,F2是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的左、右两个焦点,|F1F2|4,长轴长为 6,又 A,B 分别是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点,且满足AF12BF2.(1)求椭圆 C 的方程;(2)求四边形 ABF2F1的面积解:(1)由题意知 2a6,2c4,所以 a3,c2,所以 b2a2c25,所以椭圆 C 的方程为x29y251.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 F1(2,0),F2(2,0),所以AF1(2x1,y1),BF2(2x2,y2),由AF12BF2,得 x122(x22),y12y2.延长 AB 交 x 轴于 H,因为AF12BF2,所以 AF1BF2,且|AF1|2|BF2|.所以线段 BF2为AF1H 的中位线,即 F2为线段 F1H 的中点,所以 H(6,0)设直线 AB 的方程为 xmy6,代入椭圆方程,得 5(my6)29y245,即(5m29)y260my1350.所以 y1y260m5m293y2,y1y21355m292y22,消去 y2,得 m292325,结合题意知 m9 35.S 四边形 ABF2F1SAF1HSBF2H12|F1H|y112|F2H|y24y12y28y22y26y2120m5m2915 34.
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