2023年高考人教版数学(理)大一轮复习讲义:第六章.DOC
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1、第一节不等式的性质及一元二次不等式教材细梳理知识点1不等式的基本性质(1)对称性:abba(2)传递性:ab,bcac(3)可加性:abacbc(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,c0acbc(5)加法法则:ab,cdacbd(6)乘法法则:ab0,cd0acbd(7)乘方法则:ab0anbn(nN,n1)(8)开方法则:ab0(nN,n2)思考1:若ab0,则ac2bc2是否成立?提示:不成立当c0时不成立思考2:若ab,则是否成立?提示:不成立若增加条件ab0,就有成立思考3:若ab0,m0,则(bm)是否成立?提示:成立由真分数的性质可知,不等式成立知识点2三个“二次”之间的关系判别
2、式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实数根x1,x2(x1x2)有两相等实数根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集(,x1)(x2,)Rax2bxc0 (a0)的解集(x1,x2)思考1:不等式(xa)(x2a)0的解集是什么?提示:当a0时,解集是(a,2a);当a0时,解集是;当a0时,解集是(2a,a)思考2:不等式ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是什么?提示:不等式ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是.四基精演练1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若1,则ab.()(2)一个不等式的两边同时加
3、上或同乘以同一个数,不等号方向不变()(3)ab0,cd0.()(4)若不等式ax2bxc0的解集是(,x1)(x2,),则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)2.(知识点1)设ab0,c0,则下列不等式中不成立的是()A.BC|a|cbc D解析:选B.由题设得aab0,所以有,所以B项中式子不成立3.(知识点2)设集合Ax|x24x30,Bx|2x30,则AB()A. BC. D解析:选D.Ax|x24x30x|1x3,Bx|2x30.所以AB.4.(知识点2)已知函数f(x)
4、ax2ax1,若对任意实数x,恒有f(x)0,则实数a的取值范围是_解析:若a0,则f(x)10恒成立,若a0,则由题意,得解得4a0,综上,得a4,0答案:4,0考点一比较两个数(式)大小及不等式 性质的应用基础练通1.一题多解已知x,yR,且xy0,则()A.0Bsin xsin y0C.0 Dln xln y0解析:选C.解法一:(取特殊值进行验证)因为xy0,选项A,取x1,y,则1210,排除A;选项B,取x,y,则sin xsin ysin sin 10,排除B;选项D,取x2,y,则ln xln yln(xy)ln 10,排除D.解法二:(利用函数的单调性)因为函数y在R上单调递
5、减,且xy0,所以,即0.2.(2018长春模拟)已知实数a,b,c满足bc64a3a2,cb44aa2,则a,b,c的大小关系是()Acba BacbCcba Dacb解析:选A.cb44aa2(a2)20,cb.又bc64a3a2,2b22a2,ba21,baa2a10,ba,cba.3.一题多解若a,b,c,则()Aabc BcbaCcab Dbac解析:选B.解法一:易知a,b,c都是正数,log81641,所以ab;log6251 0241,所以bc.即cba.解法二:对于函数yf(x),y,易知当xe时,函数f(x)单调递减因为e345,所以f(3)f(4)f(5),即cba.1比
6、较两个数(式)大小的两种方法2判断关于不等式命题真假的技巧在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如函数单调性、导数等另外特殊值法应是首选方法考点二一元二次不等式的解法探究变通例1(1)设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集为_解析:f(1)1241611,当x0时,x24x611,解得x1或x5,又x0故x1,当x0时,x611,解得x5,与x0矛盾,故无解综上f(x)f(1)的解集为(1,)答案:(1,)(2)解关于x的不等式ax222xax(a0)解:原不等式可化为a
7、x2(a2)x20.a0,原不等式化为(x1)0,当1,即a2时,解得1x;当1,即a2时,解得x1满足题意;当1,即2a0时,解得x1.综上所述:当2a0时,不等式的解集为;当a2时,不等式的解集为1;当a2时,不等式的解集为.母题变式1.若本例(1)条件不变,则不等式f(2a2)f(a23a)的解集为_解析:由f(x)的图象(图略)知,f(x)在R上是增函数由f(2a2)f(a23a)得2a2a23a解得a2.答案:2.若本例(2)中“a0”改为“aR”,如何解?解:当a0时,不等式可化为2x20,不等式的解集为x|x1;当a0时,不等式可化为(ax2)(x1)0,()当a0时,原不等式化
8、为(x1)0,不等式对应的方程的两个实数根为和1,且1,不等式的解集为;()当a0时,不等式化为(x1)0,不等式对应方程的两个实数根为和1.当2a0,即1时,不等式的解集为x;当a2,即1时,不等式的解集为x|x1;当a2,即1时,不等式的解集为x综上,当a0时,不等式的解集为x|x1;当a0时,不等式的解集为;当2a0时,不等式的解集为;当a2时,不等式的解集为x|x1;当a2时,不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式的步骤1二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式2判断方程根的个数,讨论判别式与0的关系3确定无根时可直接写出解集;确
9、定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式1.若不等式ax2bxc0的解集为x|1x2,那么不等式a(x21)b(x1)c2ax的解集为()Ax|2x1Bx|x2或x1Cx|0x3 Dx|x0或x3解析:选C.由题意a(x21)b(x1)c2ax,整理得ax2(b2a)x(acb)0,又不等式ax2bxc0的解集为x|1x2,则a0,且1,2分别为方程ax2bxc0的两根,由根与系数的关系得即,将两边同除以a得x2x0,将代入得x23x0,解得0x3,故选C.考点三一元二次不等式恒成立问题创新贯通命题点1在R上恒成立问题例2对xR,不等式2kx2kx0成立,则实数k的取值范围为_
10、解析:当k0时,不等式显然成立,当k0时,依题意得解得3k0,即k的取值范围为3k0.答案:(3,0命题点2在给定区间上恒成立问题例3一题多解设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3,f(x)m5恒成立,则实数m的取值范围是_解析:要使f(x)m5在x1,3上恒成立,即mm60在x1,3上恒成立有以下两种解法:解法一:令g(x)mm6,x1,3当m0时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)maxg(3)7m60,所以m,所以0m;当m0时,60恒成立;当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)maxg(1)m60,所以m6,所以m0.综上所述:m的取值范围是m|m解法二:因为x2
11、x10,又因为m(x2x1)60,所以m.因为函数y在1,3上的最小值为,所以只需m即可所以,m的取值范围是.答案:命题点3给定参数范围恒成立求x的范围例4(2018沈阳模拟)对任意m1,1,函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零,求实数x的取值范围解:由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4,令g(m)(x2)mx24x4.其图象是一条直线由题意知在1,1上,g(m)的值恒大于零,解得x1或x3.故当x(,1)(3,)时,对任意的m1,1,函数f(x)的值恒大于零一元二次不等式恒成立问题的求解策略1不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或2形如f(x)0(xa,b)的不等式确
12、定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,使最小值大于等于0,从而求参数的范围3形如f(x)0(参数ma,b)的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数可利用一次、二次函数的性质求参数;也可分离参数转化为求最值问题2.(2018宜昌联考)不等式m(x21)x30对任意实数m1,)恒成立,则实数x的取值范围是_解析:不等式左边是关于m的一次函数,且单调递增,所以只需x21x30,即x2x20,解得x2或x1.答案:(,1)(2,)3.在R上定义运算:adbc,若1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为()A BC. D解析:选D.由定义知
13、,1等价于x2x(a2a2)1,x2x1a2a对任意实数x恒成立,x2x1,a2a,解得a,则实数a的最大值为,故应选D.转化与化归思想在不等式中的妙用函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数的帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于二次函数、二次方程、一元二次不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般将一元二次不等式问题转化为相应二次函数问题求解例3(1)(2018中山模拟)已知函数f(x)x2axb(a,bR)的值域为0,),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m6),则实数c的值为_解析:由题意知f(x)x2axbb.因为f(x)的值域为0
14、,),所以b0,即b.所以f(x).又f(x)c,所以c,即x.所以,得26,所以c9.答案:9(2)(2018唐山调研)已知函数f(x),若对任意x1,),f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是_解析:当x1,)时,f(x)0恒成立,即x22xa0恒成立即当x1时,a(x22x)恒成立令g(x)(x22x)(x1)21,则g(x)在1,)上单调递减,所以g(x)maxg(1)3,故a3.所以实数a的取值范围是a|a3答案:(3,)素材库1.(2018湖北孝感调研)已知函数f(x)x24x4,若存在实数t,当x1,t时,f(xa)4x恒成立,则实数t的最大值是()A4B7C8 D9解析:选D.
15、1,t是方程f(xa)4x的两个根,整理方程,得(xa)24(xa)44x,即x22axa24a40.根据根与系数之间的关系可得由,得ta24a4,代入中,得1a24a42a,即a26a50,解得a1或5.当a1时,t2a11,而由x1,t,可知t1,所以不满足题意;当a5时,t2a19.所以实数t的最大值为9.2.对于满足0p4的所有实数p,使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_解析:设f(p)(x1)px24x3,则当x1时,f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒为正,等价于即解得x3或x1.答案:(,1)(3,)3.对于实数a,b,c有下列命题:若ab,则acbc;若ac2b
16、c2,则ab;若ab0,则a2abb2;若cab0,则;若ab,则a0,b0.其中是真命题的是_(写出所有真命题的序号)解析:若c0,则不成立;由ac2bc2,知c0,则ab,成立;由ab0,知a2ab,abb2,即a2abb2,成立;由cab0,得0cacb,故,成立;若ab,0,则ab0,故a0,b0,成立,故所有的真命题为.答案:限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1.(2018运城模拟)若ab0,cd0,则一定有()AacbdBacbdCadbc Dadbc解析:选B.根据cd0,有cd0,由于ab0,两式相乘有acbd,acbd.2.(2018安徽淮北一中模拟)若(x1)
17、(x2)2,则(x1)(x3)的取值范围是()A(0,3) B4,3)C4,0) D(3,4解析:选C.由(x1)(x2)2解得0x3,令f(x)(x1)(x3)x22x3(0x3),则f(x)图象的对称轴是直线x1,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,f(x)在x1处取得最小值4,在x3处取得最大值0,故(x1)(x3)的取值范围为4,0)3.(2018福建连城检测)已知a1a2a30,则使得(1aix)21(i1,2,3)成立的x的取值范围是()A. BC. D解析:选B.由(1aix)21,得ax22aix0,得ax0,其解集为,又,所以使得(1aix)21(i1,
18、2,3)成立的x的取值范围是,故选B.4.(2018桂林二模)若a,b为实数,则“0ab1”是“a或b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析:选A.对于0ab1,如果a0,则b0,a成立,如果a0,则b0,b成立,因此“0ab1”是“a或b”的充分条件;反之,若a1,b2,结论“a或b”成立,但条件0ab1不成立,因此“0ab1”不是“a或b”的必要条件,即“0ab1”是“a或b”的充分不必要条件5.(2018聊城三模)已知aZ,关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是()A13 B18C21 D26解析
19、:选C.设f(x)x26xa,其图象是开口向上,对称轴是x3的抛物线,如图所示关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数,则,即,解得5a8,又aZ,所以a6,7,8,所有符合条件的a的值之和是67821.选C.6.(2018深圳中学模拟)已知ab0,c0,下列不等关系中正确的是()Aacbc BacbcCloga(ac)logb(bc) D解析:选D.因为c0,ab,所以acbc,故A错误;当c0时,幂函数yxc在(0,)上是减函数,所以acbc,故B错误;若a4,b2,c4,则loga(ac)log482logb(bc)log26,故C错误;0,所以成立,故D正确选D.7.
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