2023年高考人教版数学(理)大一轮复习讲义: 第五章.DOC
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1、第一节数列的概念与简单表示法教材细梳理知识点1数列的有关概念(1)用函数的观点定义数列为:数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)为定义域的函数anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值(2)数列的三种表示法:列表法、图象法、解析法知识点2数列的分类按项与项间的大小关系分类:(1)递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列;(2)递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列;(3)常数列:各项都相等的数列;(4)摆动数列:从第2项起有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列知识点3数列的两种常用公式表示法(1)通项公式:数列的通项公式就
2、是相应函数的解析式(2)递推公式:如果已知数列an的第一项(或前几项),且任一项an(n2)与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,如anf(an1)(或anf(an1,an2)等,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式思考:是不是所有数列都有通项公式?若有是否唯一?提示:有的数列没有通项公式,即使有也不唯一知识点4数列an的前n项和为Sn则Sn与an的关系是:an.四基精演练1,思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(2)1,1,1,1,不能构成一个数列()(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列()(4)如果数列an
3、的前n项和为Sn,则对nN*,都有an1Sn1Sn.()答案:(1)(2)(3)(4)2,(知识点3)在数列an中,a11,an1(n2),则a5等于()A.BC. D解析:选D.a212,a31,a413,a51.3,(知识点1、3)数列1,的一个通项公式an_.解析:由已知得,数列可写成,故通项公式可以为an.答案:4,(知识点4)已知数列an的前n项和Snn21,则an_.解析:当n1时,a1S12,当n2时,anSnSn1n21(n1)212n1,故an答案:考点一已知数列的前几项求通项基础练通1,数列0,的一个通项公式为()Aan(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(nN
4、*)解析:选C.注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可2,数列,的一个通项公式为_解析:这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an(1)n.答案:an(1)n3,数列1,5,1,5,1,5,的一个通项公式为_解析:已知数列可以变换为32,32,32,32,所以数列的一个通项公式为an3(1)n2.答案:an3(1)n24,数列9,99,999,9999,的一个通项公式为_解析:数列的前4项可以写成101,1001,1 0001,10 0001,所以它的一个通项公式为an10n1.答案:an10n1由数列前几项求数列通项
5、的常用方法及策略1常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法2具体策略:根据分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(1)k或(1)k1,kN*处理大一轮复习数学(理)第五章数列考点二由数列的递推关系求通项探究变通例1(1)(2018湖南四校联考)在数列an中,a12,an1anln,则an等于()A2ln nB2(n1)ln nC2nln n D1nln n解析:由已知,an1a
6、nln,a12,所以anan1ln(n2),an1an2ln,a2a1ln,将以上n1个式子叠加,得ana1lnlnlnlnln n.所以an2ln n(n2),经检验n1时也适合故选A.答案:A(2)(2018唐山模拟)设an是首项为1的正项数列,且(n1)anaan1an0(n1,2,3,),则它的通项公式an_.解析:因为(n1)aan1anna0,所以(an1an)(n1)an1nan0,又an1an0,所以(n1)an1nan0,即,所以,所以an.答案:母题变式1,若本例(1)条件变为a11,且an1ann1(nN*),则数列的第20项为_解析:因为an1ann1,所以,当n2时,
7、an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)1.又a11适合上式,所以an(nN*),即,所以.答案:2,若本例(2)变为已知数列an满足a11,anan1nanan1(nN*),则an_.解析:由anan1nanan1,得n,则由累加法得12(n1),又因为a11,所以1,所以an(nN*)答案:(nN*)3,若本例(2)变为:a11,且an1(nN*),则an_.解析:由an1取倒数得1,故数列是首项为1,公差为1的等差数列,n,即an.答案:由递推公式求通项公式的常用方法1累加法:已知a1且anan1f(n)(n2)可用累加法求an,即an(anan1)(an1an2)(
8、a2a1)a1.2累乘法:已知a1且f(n)(n2),可用累乘法求an,即ana1.3构造法:对于特殊的递推公式可合理变形构成等差(比)数列进而求通项,如an1xany的形式可构造成等比数列等提醒要注意验证n1时是否符合an.考点三an与Sn关系式的应用创新贯通命题点1已知Sn求an例2(1)(2018长沙模拟)已知数列an的前n项和Sn542n,则其通项公式为_解析:a1S154213,anSnSn1(542n)(542n1)(n2)当n1时,2a1,an答案:an(2)设数列an满足a13a2(2n1)an2n,则an_.解析:因为a13a2(2n1)an2n,故当n2时,a13a2(2n
9、3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2,所以an(n2)又由题设可得a12,满足上式,从而an的通项公式为an(nN*)答案:(nN)*命题点2由an与Sn的关系式求an、Sn例3(1)设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1SnSn1,则Sn_.解析:由已知得an1Sn1SnSn1Sn,两边同时除以Sn1Sn,得1,故数列是以1为首项,1为公差的等差数列,则1(n1)n,所以Sn.答案:(2)(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1,则S6_.解析:由Sn2an1,得Sn12an11,an12an12an,即an12an,又a11,an是首项为1,公比为2的等比
10、数列,Sn12n,故S612663.答案:63母题变式若本例(2)变为数列an的前n项和为Sn,若a11,an13Sn(nN*),则an_.解析:解法一:由an13Sn得Sn1Sn3Sn,Sn14Sn,又S1a110,Sn是首项为1,公比为4的等比数列,Sn4n1.当n2时,anSnSn14n14n234n2,又n1时,不适合上式,an.解法二:由an13Sn得,当n2时,an3Sn1,两式相减得,an1an3an,即an14an(n2)又a11,a23S13,数列an从第2项开始是公比为4的等比数列an34n2,故an答案:an数列的通项an与前n项和Sn的关系是,an当n1时,a1若适合S
11、nSn1,则n1的情况可并入n2时的通项an;当n1时,a1若不适合SnSn1,则用分段函数的形式表示.(2018陕西四校联考)已知数列an满足条件a1a2a3an2n5,则数列an的通项公式为_解析:由题意可知,数列an满足条件a1a2a3an2n5,则a1a2a3an12(n1)5,n1,两式相减可得:2n52(n1)52,an2n1,n1,nN*.当n1时,7,a114,综上可知,数列an的通项公式为:an答案:an数列单调性、最值与函数、导数的交汇创新数列是特殊函数,所以可用函数的观点和方法研究数列的性质、单调性,最大(小)项数列与函数、不等式、导数等交汇命题是高考的热点(1)解决数列
12、单调性的常用方法:用作差比较法,根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列用作商比较法,根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断结合相应函数的图象直观判断(2)数列的最值求解策略:利用数列的单调性求函数最值 例4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值为_解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由等差数列前n项和公式可得解得nSnn2a1d3n2(n3n2)n3.构造函数f(x)x3x2(x0)令f(x)0,解得x0(舍去)或x.当x时,f(x)单调递增;当0x时,f(x)单调递减nN*,当n7时,nSn取最小值,(nSn)mi
13、n7349.答案:49(2)(2018南昌模拟)已知数列an的通项为an2n1,又数列bn满足bn2log2an1,记Snb1b2bn,若nN*都有成立,则正整数k的值为_解析:an2n1,bn2log2an12n.所以Snb1b2bnn2n,令cn.则cn1cn.所以当n1时,c1c2;当n2时,c3c2;当n3时,cn1cn0,即c3c4c5,所以数列cn中最大项为c2和c3.所以存在k2或3,使得任意的正整数n,都有.答案:2或3素材库1,(2018浙江杭州二模)已知数列an满足an,若对于任意的nN*都有anan1,则实数a的取值范围是()A. BC. D解析:选D.对于任意的nN*都
14、有anan1,数列an单调递减,即a1.又由题意知a9a8,即92a87,解得a,故a1.2,(2018石家庄市高三摸底考试)已知数列an的前n项和为Sn,若a11,an0,anan12Sn1,则a2n_.解析:因为a11,anan12Sn1,所以a23,当n2时,anan1an1an2an,又an0,所以an1an12,所以数列a2n是以3为首项,2为公差的等差数列,所以a2n3(n1)22n1.答案:2n1限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1,已知数列,2,则2是这个数列的()A第6项B第7项C第19项 D第11项解析:选B.数列,据此可得数列的通项公式为:an,由2,解得,
15、n7,即2是这个数列的第7项2,(2018河南许昌二模)已知数列an满足a11,an2an6,则a11的值为()A31 B32C61 D62解析:选A.数列an满足a11,an2an6,a3617,a56713,a761319,a961925,a1162531.3,(2018株洲模拟)数列an的前n项和Sn2n23n(nN*),若pq5,则apaq()A10 B15C5 D20解析:选D.当n2时,anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5,当n1时,a1S11,符合上式,所以an4n5,所以apaq4(pq)20.4,(2018银川模拟)已知数列an的通项公式是ann2kn2,若对
16、所有的nN*,都有an1an成立,则实数k的取值范围是()A(0,) B(1,)C(2,) D(3,)解析:选D.an1an,即(n1)2k(n1)2n2kn2,则k(2n1)对所有的nN*都成立,而当n1时,(2n1)取得最大值3,所以k3.5,(2018长春模拟)设数列an的前n项和为Sn,且a11,数列Snnan为常数列,则an()A. BC. D解析:选B.由题意知当n1时,Snnan2,当n2时,Sn1(n1)an12,所以(n1)an(n1)an1,即,从而,则an,当n1时上式成立,所以an.6,对于数列an,“an1|an|(n1,2,)”是“an为递增数列”的()A必要不充分
17、条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选B.当an1|an|(n1,2,)时,|an|an,an1an,an为递增数列当an为递增数列时,若该数列为2,0,1,则a2|a1|不成立,即an1|an|(n1,2,)不一定成立综上知,“an1|an|(n1,2,)”是“an为递增数列”的充分不必要条件7,(2018咸阳模拟)已知正项数列an中,(nN*),则数列an的通项公式为()Aann Bann2Can Dan解析:选B.,(n2),两式相减得n(n2),ann2(n2)又当n1时,1,a11,适合上式,ann2,nN*.故选B.8,数列an满足an1,a82,则a1_
18、.解析:由an1,得an1,因为a82,所以a71,a611,a512,所以数列an是以3为周期的数列,所以a1a7.答案:9,(2018厦门调研)若数列an满足a1a2a3ann23n2,则数列an的通项公式为_解析:a1a2a3an(n1)(n2),当n1时,a16;当n2时,故当n2时,an,所以an答案:an10,(2018武汉调研)已知数列an的前n项和Snn21,数列bn中,bn,且其前n项和为Tn,设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式;(2)判断数列cn的增减性解:(1)a12,anSnSn12n1(n2)bn(2)cnbn1bn2b2n1,cn1cn0,cn是递减数列
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