2023年高考人教版数学(理)大一轮复习讲义: 第十二章.DOC
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1、第一节绝对值不等式教材细梳理知识点不等式的性质和绝对值不等式(1)解绝对值不等式的基本思想解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号,常采用的方法是讨论符号或平方,例如:若a0,则|x|aaxax2a2;|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x);|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(2)注意利用绝对值三角不等式证明含有绝对值的问题|a|b|ab|a|b|;|a|b|ab|a|b|,注意等号成立的条件拓展推论1:若|ab|a|b|ab0;推论2:若|ab|a|b|ab0;推论3:若|ab|a|b|ab0;推论4:若|ab|a|b|ab0.四基精演练1(知识点)不等式|x1|3的
2、解集为_源自选修45P16例4答案:(2,4)2(知识点)|x3|x1|0的解集为_源自选修45P17例5答案:1,)3(知识点)|xa|2的解集为3,1,则a_.源自选修45P17例5答案:14(知识点)函数y|x3|x1|的最大值为_源自选修45P19习题T5答案:4考点一绝对值不等式的解法探究变通例1(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围解:(1)当a1时,f(x)|x1|x1|,即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1
3、)时|ax1|1成立若a0,则当x(0,1)时|ax1|1;若a0,则|ax1|1的解集为0x,所以1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2形如|xa|xb|c(或c)型不等式的两种解法1零点分区法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(,a,(a,b,(b,)(此处设ab)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集2几何法:利用|xa|xb|c(c0)的几何意义:数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体,|xa|xb|xa(xb)|ab|.提醒易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式,不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏
4、1(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围解:(1)当a1时,f(x)解得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|,当且仅当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(,62,)大一轮复习数学(理)第十二章不等式选讲考点二绝对值不等式性质及应用创新贯通例2(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象;(2)当x0,)时,f(x)axb,求ab的最小值解:(1)f(x)yf(x)的图
5、象如图所示(2)由(1)知,yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)axb在0,)成立,因此ab的最小值为5.绝对值不等式性质的应用利用不等式|ab|a|b|(a,bR)和|ab|ac|cb|(a,bR),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以(1)求最值(2)证明不等式2已知x,yR,且|xy|,|xy|,求证:|x5y|1.证明:因为|x5y|3(xy)2(xy)|.所以由绝对值不等式的性质,得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.有关
6、绝对值的讨论对于含参数的绝对值问题,找到分类的标准是讨论的关键,甚至可减少讨论或者不讨论,从函数角度,绝对值函数与二次函数有相似之处例3一题多解已知aR,函数f(x)a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是_思路一:注意到x这一结构,我们可以想到换元,通过换元就可以将绝对值内的函数变为一次函数,结构更加简洁不妨设tx,则将问题转化为|ta|a5恒成立,且存在t使得|ta|a5成立,可以考虑利用平方法去绝对值符号,最后检验所得a的取值范围解析:解法一:设tx,则t1.令t0,解得x2.因为x1,4,所以t4,5则问题转化为y|ta|a在t4,5上的最大值是5,即|ta|a5,且存在t使得|
7、ta|a5成立由|ta|5a两边平方,进一步转化为t22at10a250在t4,5上恒成立,不妨设h(t)t22at10a25,只需所以a.下面证明当a时,f(x)a在区间1,4上的最大值是5.当a4时,f(x)ax5,符合题意,当4a时,f(x)maxmaxf(1),f(2),f(4),又f(1)f(4)5,f(2)2a45,所以f(x)max5,综上所述a.思路二:不妨将“f(x)a在区间1,4上的最大值是5”转化为a5在区间1,4上恒成立,且存在x使得a5成立,我们可以先直接去绝对值解关于绝对值不等式的恒成立问题,然后再说明充分性即可解法二:设h(x)x,所以h(x)1.令h(x)0,解
8、得x2.因为x1,4,所以h(x)4,5f(x)a在区间1,4上的最大值是5等价于a5在区间1,4上恒成立,且存在x使得a5成立所以5axa5a在区间1,4上恒成立即52ax5在区间1,4上恒成立只需52a4,所以a.以下同解法一思路三:绝对值与平方形成一种微妙的等价运算,我们知道ya(xh)2k(a0)表示抛物线,类比这一结构我们不难得到绝对值函数ya|xh|k(a0)的相关性质:函数ya(xh)2k(a0)ya|xh|k(a0)图象a0,开口向上,a0,开口向下(上图均为a0时的函数图象)顶点(h,k)对称轴直线xh因此我们也可以类比二次函数进行讨论解法三:设tx,因为x1,4,所以t4,
9、5,则问题转化为:y|ta|a在t4,5上的最大值是5,类比二次函数,进行定区间动轴讨论当a4时,ytaa5,y的最大值是5,显然成立;当a5时,yt2a,所以ymax42a,则42a5,此时a,与a5矛盾;当4a5时,ymaxmax|4a|a,|5a|a,则或所以4a.综上所述,a.思路四:数形结合思想也是我们解决含绝对值函数的重要方法,我们可以类比二次函数的图象,由ya|xh|k(a0)的性质画出y|ta|a,t4,5的草图进行分析,将解法三进一步优化解法四:结合y|ta|a,t4,5的图象,不难分析出|ta|a5,t4,5恒成立,只需所以a.以下同解法一在进行分类讨论时,分类讨论的时机、
10、分类讨论的对象、分类的标准都是重要的思考点,此外不容忽视的是对分类讨论各种结果的整合(取并集).另外对绝对值问题,若从函数角度分析最值问题,则会有高屋建瓴之感,定性判断在一定程度上避免了分类讨论的烦琐.限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018广东潮州二模)设函数f(x)|2x3|x1|.(1)解不等式f(x)4;(2)若x,不等式a1f(x)恒成立,求实数a的取值范围解:(1)f(x)|2x3|x1|,f(x)f(x)4或或x2或0x1或x1.不等式f(x)4的解集为(,2)(0,)(2)由(1)知,当x时,f(x)3x2,当x时,f(x)3x2,a1,即a.实数a的取值范
11、围为.2(2018河北石家庄二模)设函数f(x)|x1|2x1|的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图象;(2)若a22c23b2m,求ab2bc的最大值解:(1)因为f(x)|x1|2x1|,所以f(x)画出图象如图(2)由(1)可知m.因为ma22c23b2(a2b2)2(c2b2)2ab4bc,所以ab2bc,当且仅当abc时,等号成立所以ab2bc的最大值为.B级能力提升练3(2018河南郑州二模)已知函数f(x)|2x1|,g(x)|x|a.(1)当a0时,解不等式f(x)g(x);(2)若存在xR,使得f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围解:(1)当a0时,由f(x)g(x)
12、得|2x1|x|,两边平方整理得3x24x10,解得x1或x,原不等式的解集为(,1.(2)由f(x)g(x)得a|2x1|x|,令h(x)|2x1|x|,则h(x)故h(x)minh,所以实数a的取值范围为a.4(2018山西太原一模)已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立,求实数m的最大值;(2)当a时,函数g(x)f(x)|2x1|有零点,求实数a的取值范围解:(1)f(x)|xa|,f(xm)|xma|,f(x)f(xm)|xa|xma|m|,|m|1,即1m1,实数m的最大值为1.(2)当a时,g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|g(x)ming
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