数学经典易错题会诊与-高考试题预测9.doc
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1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题预测(九)预测(九)考点考点 9 圆锥曲线圆锥曲线 对椭圆相关知识的考查 对双曲线相关知识的考查 对抛物线相关知识的考查 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 对轨迹问题的考查 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线 轨迹问题 圆锥曲线中的定值与最值问题 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 对椭圆相关知识的考查对椭圆相关知识的考查 1(典型例题)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若FlPF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )12.22
2、.212.22.DCBA考场错解 A专家把脉 没有很好地理解椭圆的定义,错误地把|21 PFPF当作离心率对症下药 D 设椭圆的方程为2222byax=l (a,b 0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k,|PF1|=2k,则 e=12 222 kkk ac2(典型例题)设双曲线以椭圆92522yx=1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 ( )A2 B34C21D43考场错解 D 由题意得 a=5,b=3,则 c=4 而双曲线以椭圆92522yx=1 长轴的两个端点为焦点,则 a=c =4,b=3 k=43ab专家把脉 没有很好理解 a、b、c 的实际意
3、义对症下药 C 设双曲线方程为2222byax=1,则由题意知 c=5,ca2=4 则 a2=20 b2=5,#*而 a=25 b=5 双曲线渐近线斜率为ab=21 3(典型例题)从集合1,2,3,11中任选两个元素作为椭圆方程2222nymx=1 中的 m 和n,则能组成落在矩形区域 B=(x,y)x|312+32=12 应用结论时也易混淆对症下药 (1)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3,代入 3x2+y2=, 整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0设 A(x1,y1)、B(x2、y2),则 x1,x2是方程的两个不同的根,=4(k2+3
4、)-3(k-3)20,且 x1+x2= 3)3(2 2kkk,由 N(1,3)是线段 AB 的中点,得1221 xx,A(k-3)=k2+3解得 k=-1,代入得,12,即 的取值范围是(12,+)于是,直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0解法 2:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有 2222212133yxyx(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0依题意,x1x2,kAB=- 2121)(3 yyxx N(1,3)是 AB 的中点,x1+x2=2,yl+y2=6,从而 kAB=-1又由 N(1,3)在椭圆内,312+32=12, 的
5、取值范围是(12,) 直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0 ()解法 1:CD 垂直平分 AB,直线 CD 的方程为 y-3 =x-1,即 x-y+2=0,代入椭圆方 程,整理得 4x2+4x+4 又设 C(x3,y3),D(x4,y4),CD 的中点为 M(x0,y0),则 x3, x4是方程的两根,x3+x4=-1,且 x0=21(x3+x4)=-21,y0=x0+2=23,即 M(-21,23)于是由弦长公式可得|CD|=. )3(2|)1(1432xxk#*将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程得 4x2-8x+ 16-=0 同理可得|AB|=.
6、)12(2| .1212xxk 当 12 时,)3(2)12(2,|AB|12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心点 M到直线 AB 的距离为 d=.2232|423 21|2|4|00 yx于是,由、式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+.|2|23 212 29|2|22CDAB故当 12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心,|2|CD为半径的圆上 (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A、B、C、D 共圆ACD 为直角三角形,A 为直角|AN|2 =|CN|DN|,即)2|)(2|()2(2dCDdCDAB. 由式知,式左边=
7、212,由和知,式右边=,212)29 23 223 2)3(2)(223 2)3(2(式成立,即 A、B、C、D 四点共圆解法 2:由()解法 1 及 12, CD 垂直平分 AB,直线 CD 方程为 y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得 4x2+4x+4-=0 将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得 4x2-8x+16-=0解和式可得 xl,2=.231,2122 4 , 3x不妨设 A(1+)233,231(),233,231(,12213 ,1221DC)21233,23123()21233,23123(CACA计算可得0CACA,A 在以 CD 为直径的圆上又 B
8、 为 A 关于 CD 的对称点,A、B、C、D 四点共圆 (注:也可用勾股定理证明 ACAD) 专家会诊专家会诊 1重点掌握椭圆的定义和性质,加强直线与椭圆位置关系问题的研究 2.注重思维的全面性,例如求椭圆方程时只考虑到焦点在,轴上的情形;研究直线与椭圆#*位置关系时忽略了斜率不存在的情形 3注重思想方法的训练,在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦 长公式韦达定理联系去解决;关于参数范围问题常用思路有:判别式法,自身范围法 等求椭圆的方程常用方法有:定义法,直接法,待定系数法,相关点法,参数法等 考场思维调练考场思维调练 1 已知椭圆的中心 O 是坐标原点,A 是它的左顶
9、点,F 是它的左焦点,l1,l2分别为左右准 线,l1与 x 轴交于 O,P、Q 两点在椭圆上,且 PMl1于 M,PNl2于 N,QFAO,则 下列比值中等于椭圆离心率的有( )|)5( ;|)4( ;|)3( ;|)2( ;|) 1 (BFQF BAAF BOAO PNPF PMPFA.1 个 B2 个 C.4 个 D5 个 答案: C 解析:对(1),(4)的正确性容易判断;对(3),由于caa BOAO 2|=e,故(3)正确;对(5),可求得|QF|=,2ab|BF|=cbcca22 ,eBFQF|故,故(5)正确;(2)显然不对,所选 C2 椭圆有这样的光学性质:从随圆的一个焦点出
10、发的光线,经椭圆壁反射后,反射光线经 过随圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长 轴长为 20,焦距为 2c,静放在点 A 的小球 (小球的半径不计),从点 A 沿直线出发, 经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 ( )A4a B2(a-c)C.2(a+c) D以上答案均有可能 答案: D 解析:(1)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁右 顶点反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 2(d-c),则选 B; (2)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁左顶点反弹后第一次 回到
11、点 A 时,小球经过的路程是 2(a+c),则选 C; (3)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁非左右顶点反弹后第 一次回到点 A 时,小球经过的路程是 4a,则选 A. 于是三种情况均有可能,故选 D.3 已知椭圆22ax+y2=1(a1),直线 l 过点 A(-a,0)和点 B(a,ta)(tt0)交椭圆于 M直线 MO交椭圆于 N(1)用 a,t 表示AMN 的面积 S;(2)若 t1,2,a 为定值,求 S 的最大值 答案:易得 l 的方程为了 y=2t(x+a)1 分由#*, 1) 1(22 22 y axxty 得(a2t2+4)y2-4aty=0
12、解得了 y=0 或 y= 44 22taat即点 M 的纵坐标 yM= 44 22taatS=SAMN=2SAOM=|OA|yM= 44 22taat(2)由(1)得, S= 44 22taat= tata2244(t0)令 V=t4+a2t,V=-24t+a2由 V=Oat2当时 ta2时,V0;当 02,则 00,b0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点A,OAF 的面积为22a(O 为原点),则两条渐近线的夹角为 ( )A30 B45 C60 D90考场错解 B#*专家把脉 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角对症下药 D 由题意得 A(cab ca,2 )sOAF=21cbaaa
13、bcab2212 ,则两条渐近线为了 y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 903(典型例题)双曲线2222byax=1(a1,b0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s54c,求双曲线的离心率 e 的取值范围考场错解 直线 l 的方程为by ax=1 即 bx+ay-ab=0 点(-1,0)到直线 l 的距离:22) 1(baab,点(1,0)到直线 l 的距离: 22) 1(baab 22) 1(baab+ 22) 1(baab=ccabbaab 542222 得 5a2222cac于是得
14、52221ee即 4e4-25e2+250 解不等式得45e25,所以 e 的取值范围是.5,2525,5专家把脉 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e1对症下药 解法:直线 J 的方程为by ax=1,即 bx+ay-ab=0由点到直线的距离公式,且 a1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1=.) 1(22baab同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2=.) 1(22baabs=d1+d2=.2222cabbaab 由025254.215.25,542,542222222eeeecacaccabcs即于是得即得解不等式,得.525, 01. 5452eeee的取值范围
15、是所以由于专家会诊专家会诊 1注意双曲线两个定义的理解及应用,在第二定义中,要强调 e1,必须明确焦点与准线 的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程,常用待定系数法,当焦点位置不确定时,方程可能有两 种形式,应防止遗漏 3掌握参数 a、b、c、e 的关系,渐近线及其几何意义,并注意灵活运用 考场思维训练考场思维训练 1 已知 F1,F2为双曲线2222byax=1(a0,b0)的两个焦点,过 F2作垂直 x 轴的直线,它与双曲线的一个交点为 P,且pF1F2=30,则双 曲线的渐近线方程为 ( )#*xyDyCxyBxyA2.33.3.22.答案: D 解析:由已知有 212 | FFPF=t
16、an30=acb 22 ,所以 2a2=b2渐近线方程为 y=x2,所以选取 D2 若 Fl、F2双曲线2222byax=1 的左、右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线左支上,M 在右准线上,且满足 |,11OPOFOPOFOMOPOMOPPMOF (1)求此双曲线的离心率; 答案:由 PMDF1知四边形 PF1OM 为平行四边形,又由| 11 OPOMOPOMOFOPOFOP知 OP 平分F1OM, PF1OM 菱形,设半焦距为 c,由|1 OF=c知eacaccPMPF PFPFPMPF | ,22|,|1121又,即 c+eca1e2-e-2=0, e=2(e=-1 舍去)(2)若此双曲
17、线过点 N(2,3),求双曲线方程: 答案:e=2=,acc=2a, 双曲线方程为)3, 2(,1 32222 将点 ayax代入,有3a, 1 4342 22 aa即所求双曲线方程为9322yx=1.(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为 B1,B2(B1在 y 轴正半轴上),求 B2作直线 AB 与双曲线交于 A、B 两点,求BBAB11时,直线 AB 的方程 答案:依题意得 B1(0,3) ,B2(0,-3),设直线 AB 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)则由193. 0186)3(32222yxkxxkkxy双曲线的渐近线为 y=x3,当 k=3时,AB 与双曲线
18、只有一个交点,#*即 k3.x1+x2=. 318, 36 2212kxx kk y1+y2=k(x1+x2)-6=2318k,y1y2=k2x1x2-k(x1+x2)+9=9又 AB1(x1,y1 -3), BB1=(x2,y2 -3), AB1 BB1, 09)(3212121yyyyxx09 31839 318 22 kk, ,即 k2=5, k=5.故所求直线 AB 的方程为 y=5x-3 或 y=-5x-3.3 设双曲线42x-y2=1 的右顶点为 A、P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP(O 为坐标原点)分别交于 Q 和 R 两点(1)
19、证明:无论 P 点在什么位置,总有|2AROQOP;答案:设 OP:y=kx 与 AR:y=联立)2(21x解得),212,212(kk kOR同理可得),212,212(kk kOQ所以|OQOR|, |41|44 22kk设|OP|2=(m,n),则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m2=, 414, 414 222 2kkn k 所以|OP|2=m2+n2=| 4144 22 OROQkk(点在双曲线上,1-4k20);(2)设动点 C 满足条件:)(21ARAQAC,求点 C 的轨迹方程答案:),(21ARAQAC点 C 为 QR 的中心,设 C(x,y),则有 22412412kk
20、ykx,消去 k,可得所求轨迹方程为 x2-x2-4y2=0(x0).命题角度命题角度 3 对抛物线相关知识的考查。对抛物线相关知识的考查。 1(典型例题)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标 之和等于 5,则这样的直线 ( )A.有且仅只有一条 B有且仅有两条#*C.有无穷多条 D不存在考场错解 D 由题意得|AB|=5 p=4,通径长为 24=8 54,则这 样的直线有且仅有两条,解法二:用待定系数法设直线方程为 y=k(x-1)采用设而不求的方 法求出 k 有两个值,即直线有且仅有两条 2(典型例题 1)设 A(x1,y1),B(x2,y2)两
21、点在抛物线 y=2x2上,l 是 AB 的垂直平分线(1)当且仅当 x1+x2取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论;()当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围考场错解 (),设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b,过点 A、B 的直线方程可写为 y=,21mx 与 y=2x2联立得2x2+21x-m=0得 x1+ x2=-41;设 AB 的中点 N 的坐标为(x0,y0)则 x0=21(x1+x2)=-81,y0=-21x0+m=161+m由 Nl,得161+m=-41+b,于是 b=165 165 m即得 l 在 y
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