数学经典易错题会诊与-高考试题预测13.doc
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1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题预测(十三)预测(十三)考点考点 13 概率与统计概率与统计 求某事件的概率 离散型承受机变量的分存列、期望与方差 统计 与比赛有关的概率问题 以概率与统计为背景的数列题 利用期望与方差解决实际问题 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 求某事件的概率求某事件的概率 1 (典型例题)从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三 位数,其各位数字之和等于 9 的概率为 ( )12519.12518.12516.12513.DCBA考场错解 基本事件总数为 53=125,而各位数字之和等
2、于 9 的情况有:(1)这三个数字 为 1,3,5;(2)这三个数字为 2,3,4;(3)这三个数字都为 3。第(1)种情况有 A33 个,第(2)种情况有 A33 个,第(3)种情况只有 1 个。各位数字之各等于 9 的概率为12513。选 A专家把脉考虑问题不全面,各位数字之和等于 9 的情况不只三种情况,应该有五种情况, 考虑问题的分类情况,应有一个标准,本题应这样来划分:(1)三人数字都不相同; (2)三个数字有两个相同;(3)三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的 错误。 对症下药 基本事件总数为 555=125,而各位数字之和等于 9 分三类:(1)三个数字 都不相同,有
3、(1,3,5) , (2,3,4) ;共 2A33=12 个;(2)三个数字有两个相同,有 (2,2,5) , (4,4,1) ,共 2C13个三位数;(3)三个数字都相同,有(3,3,3) ,共 1个三位数。所求概率为12519 1251612。选 D。2 (典型例题)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对 其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试, 至少答对 2 题才算合格。 (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;#*(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。考场错解 (1)由已知从 10 道题中,任选一道,
4、甲答对的概率为53,那么选 3 道题甲至少答对 2 道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.甲合格的概率为.125112)54(52)53(333232CC专家把脉 相互独立事件的概念理解错误,只有当事件 A 发生与否对事伯 B 没有任何影响 时,才能说 A 与 B 相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对“答对第二题” 这人事件有影响。所以它们之间不独立。 对症下药 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,那么对于 A:基本事件总数 为 C310,而考试合格的可能有:(1)答对 2 题,共 C26C14;(2)答对 3 题,共 C36。.1514)(.32)(103416
5、263BP CCCCAP同理(2)由(1)知 A 与 B 相互独立,甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(BA)=,451)15141)(321 ()()(BPAP甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1-P)(BA=1-.4544 4513 (典型例题)某人有 5 把钥匙,其中有 1 把可以打开房门,但忘记了开门的是哪一把, 于是他逐把不重复地试开,那么恰好第三次打开房门的概率是_. 考场错解 基本事件总数为 A55=120,而恰好第三次打开房门的可能为 A24=12,故所求概率为.101专家把脉 在利用等可能事件的概率公式 P(A)=nm时,分子、分母的标准不一致,分母是将五把钥匙全排列
6、,而分子只考虑前三次,导致错误。正确的想法是:要么分子分母都 考虑 5 次,要么都只考虑前三次,或者干脆都只考虑第三次。 对诊下药 (方法一)5 把钥匙的次序共有 A55 种等可能结果。第三次打开房门,看作正确的钥匙恰好放在第三的位置,有 A44种,概率 P=.51 5544 AA(方法二)只考虑前 3 把的次序,概率 P=.51 5542 AA(方法三)只考虑第 3 把钥匙,概率 P=.514 (典型例题)20 典型例题)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是43 32和。假设两人射击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响。 (1)求甲射击 4 次,至少 1 次
7、未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击。问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的 概率是多少?#*考场错解 第(3)问,乙恰好射击 5 次后,被中止,则乙前 3 次都击中,4、5 次未击中, 所求概率为.102427 41 41)43(3专家把脉 乙恰好射击 5 次后,被中止射击,则 4、5 次未击中,但前 3 次不一定全部击 中,可能有 1 次未击中,也可能有 2 次未击中。对症下药(1)甲射击 4 次,全部击中的概率为4)32(,则至少 1 次未击中的概率为.8165)32(14
8、(2)甲恰好击中目标 2 次的概率为2224)31()32(C乙恰好击中目标 3 次的概率为,)41()43(134C甲恰好击中 2 次且乙恰好击中 3 次的概率为.81 41)43()31()32(3432224CC(3)依题意,乙恰好射击 5 次后,被中止射击,则 4、5 两次一定未击中,前 3 次若有 1 次 未击中,则一定是 1、2 两次中的某一次;前 3 次若有 2 次未击中,则一定是 1、3 两次, 但此时第 4 次也未中,那么射击 4 次后就被停止,这种情况不可能;前三次都击中也符 合题意。所求事件的概率为.102445)43()43(41)41(32122 C考场思维训练考场思
9、维训练 1 (典型例题)掷三枚骰子,求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是 ( )31.61. 32. 31.55DCBA答案: C 解析:基本事件总数是:63,而这数点数是最小数点数的两倍包括:(1,1,2), (1,2,2),(2,2,4),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,6),(3,4,6),(3,5,6), (3,6,6)其中(1,1,2),(1,2,2),(2,2,4),(2,4,4),(3,3,6),(3,6,6)各包含13C种结果,共有 613C种结果;(2,3,4),(3,4,6),(3,5,6)各包含33A种结果,共有 333A种结果所求概率为61636 333
10、13 AC选 C 2 (典型例题)同时抛掷 3 枚均匀硬币 16 次,则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反 而的概率_(用式子作答) 。答案:1-(85)16解析:事件 A:出现两个正面一个反面的概率为85)(,83)21(323ApC则,而事件 B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件B:“没有一次出现两个正面一个反面”的概率 P(B)=(85)16所求事件的概率为 1-(85)16.#*3 (典型例题)设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的, 现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动,若抛出的点数是奇数,则棋子不动;若抛出的 点数是偶数,棋子移动到另一
11、顶点,若棋子的初始位置为 A,则: (1)投掷 2 次骰子,棋子才到达顶点 BA 的概率; 答案:“棋子才到达顶点 B” 包括两种可能:(1)第一次掷出奇数,第二次掷出偶数;(2)第一次掷出偶数,第二次掷出偶数它们的概率分别为 P1=.21 31 32 212,31 21 21P所求事件的概率为 P=Pl+P2=365.(2)投掷次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率是多少? 答案:设 Pn表示掷 n 次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率,Pn-1表示掷 n-1 次骰子,棋子恰 巧在顶点 B 的概率,掷 n 次骰子, “棋子恰巧在顶点 B”包括两种可能:掷 n-1 次骰子, 棋子恰巧在顶点 B,第
12、n 次掷出奇数,棋子在 B 处不动;掷 n-1 次骰子,棋子不在 B,第n 次掷出偶数,棋子从别的顶点移向 BPn=21pn-1+(1-Pn-1)61 31 31 21 1nP,而 P1=61 31 21.P2=5413,92 3P 所求事件的概率为:5413.专家会诊专家会诊 对于等可能性事件的概率,一定要注意分子分母算法要一致,如分母考虑了顺序,则分子 也应考虑顺序等;将一个较复杂的事件进行分解时,一定要注意各事件之间是否互斥,还要注意有无考虑全面;有时正面情况较多,应考虑利用公式 P(A)=1-P(A) ;对于 A、B 是否独立,应充分利用相互独立的定义,只有 A、B 相互独立,才能利用
13、公式 P(AB) =P(A)P(B) ,还应注意独立与互斥的区别,不要两者混淆。 命题角度命题角度 2 2 离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量的分布列、期望与方差 1 (典型例题)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个, 标号为 5 的球 3 个。第一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到 每个球的可能性都相同) 。记第一次与第二次取得球的标号之和为 。 (1)求随机变量 的分布列; (2)求随机变量 的期望。 考场错解 (1)依题意, 的取值是 3,6,7,它们所对应的概率分别为 0.24,0.18,0.
14、24,故随机变量 的分布列如下:367P024018024专家把脉 随机变量 的取值不正确,当然随之概率之和不等于 1,由于两次可能取到 同标号的球,所以承受机变量 的取值应为 2,3,4,6,7,10。 对症下药 (1)由题意可得,随机变量 的取值是 2,3,4,6,7,10。且 P(=2)=0.30.3=0.09,P(=3)=C120.30.4=0.24,P(=4)=0.40.4=0.16,P(=6)=20.30.3= 0.18,P(=7)20.40.3=0.24,P(=10)=0.30.3=0.09.故随机变量 的分布列如下:2345710P009024016018024009#*(2)
15、随机变量 的数学期望E=20.09+30.24+40.16+60.18+70.24+100.09=5.2. 2 (典型例题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题竞赛规则规定:每题回答正 确得 100 分,回答不正确得-100 分,假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题 回答正确与否相互之间没有影响。 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望; (2)求这名同学总得分不为负分(即 0)的概率。 考场错解 (1)由于这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互 之间没有影响, 服从二项分布。E=1000.8。 专家把脉 二项分布的概念理解错误,把
16、 n 次独立重复试验事件 A 发生的次数作为随机变 量,则这个随机变量服从二项分布,而本题中的得分不是这种随机变量,所以不服从二项 分布,实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。 对症下药 (1)设这名同学回答正确的个数为随机变量 ,则依题意 B(3,0.8), E=2.4,又 =-300=180. =0 时,=-300; =1 时,=-100; =2 时,=100; =3 时,=300.所以 的分布列如下表所示:-300-100100300P0008009603840512(2)这名同学总得分不为负分的概率为 P(0)=0.384+0.512=0.986. 3 (典型例题)某电器商经过多年经
17、验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机 变量,它的分布列如下:12312P 121 121 121 121设每售出一台电冰箱,电器商获利 300 元,如销售不出而囤积于仓库,则每台每月需花保 养费 100 元,问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大?考场错解 (解答 1)由题意, 的期望 E=121(1+2+12)=213,由期望的意义知:电器商月初购进 6 台或 7 台电冰箱才能使自己平均收益最大。 (解答 2)设月初购进 x 台电冰箱,则获利也是随机变量,取值为 300-(x-1)100,600-(x-2)100,,300x,它们的概率均为121,获利的期望为),2(3
18、25 121 2)300100400(2xxxxx1x2.x=12 时期望最大,月初购进 12 台电冰箱。专家把脉 解答 1,错把期望当作与实际等同,E=213表示平均能卖213台,不是一定能卖213台,总之是期望理解错误;解答 2 中当获利的取值为 300x 时,概率也为121是错误的,错误认为只有 x 台,卖出比 x 大的台数不可能。实际上获利的取值为 300x 时,概率应为1213x。#*对症下药 设月初进 x 台,则获利 是一个随机变量取值为 300-(x-1)100,600- (x-2)100,300x,共 x 个值,它的分布列如下:300-(x-1)100600-(x-2)1003
19、00xP121 121 1213xE=121(400-100x+800-100x+300x-400)+300x1213x=350(x2-19x).当 x=9 或 x=10时,E 最大,即月平均收益最大。 月初购进 9 台或 10 台电冰箱才能使月平均收益最大。 4 (典型例题)一接等中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线 的概率为 0.5,电话 C、D 战线的概率为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响,假设 该时刻有 部电话占线,试求随机变量 的概率分布和它的期望。 考场错解 由已知得, 的取值为 0,1,2,3,4。且 P(=0)=0.520.62=0.0
20、9,P(=1)=0.520.62+0.520.40.6=0.15,P(=2)=0.520.62+0.520.40. 6+0.520.42=0.23,P(=4)=0.520.42=0.04,P(=3)1-0.09-0.15-0.23-0.04=0.49. E=10.15+20.23+40.04+30.49=2.4 专家把脉 P(=1) ,P(=2) ,P(=3)的计算有错误。P(=1)表示一部电话占线 的概率,它有两种情况:(1)A、B 当中有一部占线,C、D 都不占线;(2)A、B 都不占 线,C、D 当中有一部占线,而对于(1) ,A、B 当中有一部占线应为两次独立重复试验发生 一次的概率,
21、(1)的概率应为 C120.520.62; 同理(2)的概率应为 C120.520.40.6. P(=1)=C1+0.520.62+C120.520.40.6=0.3.同理可求 P(=2) ,P(=3) 。 对症下药 由题意知 的取值为 0,1,2,3,4,它们的概率分别是:P(=0)=0.520.62=0.09, P(=1)=C120.520.62+C120.520.40.6=0.3, P(=2)=0.520.62+C12C120.520.40.6+0.520.42=0.37, P(=3)=C120.520.40.6+C120.520.42=0.2, P(=4)=0.520.42=0.04。
22、 的概率分布如下:01234P0090303702004E=00.09+10.3+20.37+30.2+40.04=1.8. 5 (典型例题)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人浏览这三个景点的概率分别 为 0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响,设 表示客人离开该城市时浏览的 景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值。 (1)求 的分布及数学期望; (2)记“函数 f(x)=x2-3x+1,在区间2,+上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率。考场错解 (1) 的取值为 1,3,=3 表示客人浏览了 3 个景点,P(=3)=0.40.50.6=0.12. P(=1)=1
23、-0.12=0.88,E=0.36+0.88=1.24.#*专家把脉 =3 表示的事件应为两个互斥事件,而错解中的 =3 表示一个事件,所以错 误,这是很容易出现的错误,所以在做概率分布的题目时,特别应分析随机变量取某个值, 对应哪些事件。 对症下药 (1)客人浏览的景点数的可能取值为 0,1,2,3,相应地,客人没有浏览的 景点数的可能取值为 3,2,1,0,所以 的取值为 1,3.P(=3)=0.40.50.6+0.60.50.4=0.24,P(=1)=1-0.24, E=10.76+30.24=1.48. (2)当 =1 时,函数 f(x)=x2-3x+1 在区间上单调递增;当 =2 时
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