无穷级数习题课.ppt
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1、第七章第七章 无穷级数习题课无穷级数习题课(一一)常数项级数常数项级数 一、定义及性质一、定义及性质 2敛散性定义敛散性定义 3性质性质 必要性必要性:线性运算性质线性运算性质:则级数收敛,否则级数发散。则级数收敛,否则级数发散。设级数设级数 为常数为常数 则则 设设 ,如果,如果 存在,存在,级数级数 收敛收敛 1常数项级数常数项级数 4常数项级数类型常数项级数类型 正项级数正项级数交错级数交错级数任意项级数任意项级数常数项级数常数项级数 二、判别常数项级数收敛的解题方法二、判别常数项级数收敛的解题方法 若成立,则需作进一步的判别。若成立,则需作进一步的判别。判别常数项级数判别常数项级数 的
2、敛散性,应先考察是否有的敛散性,应先考察是否有 成立。若不成立,则可判定级数发散;成立。若不成立,则可判定级数发散;此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数。此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数。对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法。若此对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别;二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别;若不收敛,但级数是交错级数,可考虑应用莱布尼兹判若不收敛,但级数是交错级数,可考虑应用莱布尼兹判别法,若能判别级数收敛,则原级数条件收敛;别法,若能判别级数收敛,则原级数条件收敛;
3、对于一般的任意项级数,则可考虑利用利用级数收敛定义、对于一般的任意项级数,则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。性质等判别。解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图如下图所示。对于任意项级数,一般应先考虑正项级数对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 是否收敛。是否收敛。若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;解题方法流程图解题方法流程图 Yes判断判断 的敛散性的敛散性比值法比值法根值法根值法比较法比较法 找正项收敛找正项收敛级数级数找正项发散找正项发散级数级数用其它方用其它方法证明法证明No 莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 YesNoNoNoYe
4、sNoYesNoYes 为正项级数为正项级数 为任意项级数为任意项级数 发散发散 收敛收敛 收敛收敛 发散发散条件收敛条件收敛 绝对收敛绝对收敛 为交错级数为交错级数 收敛收敛 且且 三、典型例题三、典型例题,由定义,由定义 所以原级数收敛,且和为所以原级数收敛,且和为1。【例【例1】判别级数】判别级数 的收敛性,并求级数的和。的收敛性,并求级数的和。分析:此级数为正项级数,由于分析:此级数为正项级数,由于因此可利用定义求。因此可利用定义求。解:解:由于由于由级数收敛的必要条件,原级数发散。由级数收敛的必要条件,原级数发散。【例【例2】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。分析:此级数为正项
5、级数,因为分析:此级数为正项级数,因为 分别求分分别求分子、分母的极限不为子、分母的极限不为0,由级数收敛的必要条件,原级数发散。,由级数收敛的必要条件,原级数发散。解:解:因为因为而而故由比较审敛法的极限形式,原级数收敛。故由比较审敛法的极限形式,原级数收敛。【例【例3】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。分析:此级数为正项级数,根据分析:此级数为正项级数,根据 的形式,可用的形式,可用 比较审敛法,也可采用比值审敛法。比较审敛法,也可采用比值审敛法。解法解法1:此级数为正项级数,:此级数为正项级数,而级数而级数 为等比级数收敛,为等比级数收敛,解法解法2:由比值审敛法:由比值审敛法故由
6、比值审敛法知原级数收敛。故由比值审敛法知原级数收敛。,由于由于 故转到应用比较判别法。由于故转到应用比较判别法。由于【例【例4】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。而而不存在不存在,所以,所以 不存在。不存在。分析:此级数为正项级数,设分析:此级数为正项级数,设 而级数而级数 收敛,从而级数收敛,从而级数 收敛;收敛;或将或将 拆成两个级数,拆成两个级数,分别判定级数的收敛性。分别判定级数的收敛性。同理同理 极限也不存在,即不能应用比值和根值判别法,极限也不存在,即不能应用比值和根值判别法,,由于由于 解法解法1:设:设而由比值法而由比值法 易知级数易知级数 收敛收敛,故由级数的比较判别法
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