常微分方程_.ppt
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1、n第一节:常微分方程的基本概念n第二节:一阶微分方程n第三节:一阶微分方程的应用n第四节:二阶梯微分方程的应用12/18/20221一、微分方程一、微分方程一、微分方程一、微分方程第七章微第七章微第七章微第七章微 分分分分 方方方方 程程程程第一节第一节第一节第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解12/18/20222定义定义 1凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数(或微分或微分)的方程的方程,一、微分方程一、微分方程一、微分方程一、微分方程称为称为微分方程微分方程,有有时时简简称称为为方方
2、程程,未未知知函函数数是是一一元元函数的微分方程函数的微分方程称做常微分方程称做常微分方程,未未知知函函数数是是多多元元函数的微分方程函数的微分方程称做偏微分方程称做偏微分方程.本本教教材材仅仅讨讨论论常常微微分方程,并简称为微分方程分方程,并简称为微分方程.(1)y=kx,k 为常数;为常数;例例如如,下下列列方方程程都都是是微微分分方方程程(其其中中 y,v,均均为为未知函数未知函数).).(2)(y-2xy)dx+x2 dy=0;(3)mv(t)=mg-kv(t);12/18/20223微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为称为微分方程的
3、阶微分方程的阶.例如,方程例如,方程(1)-(3)为一阶微为一阶微分方程,分方程,通常,通常,n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,y(n)=0,其中其中 x 是自变量,是自变量,y 是未知函数,是未知函数,F(x,y,y,y(n)是已知函数,是已知函数,而且一定含有而且一定含有 y(n).(4)(5)方程方程(4)-(5)为二阶微分方程为二阶微分方程.12/18/20224定义定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都叫做该方程的解函数,都叫做该方程的解.二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解 若
4、若微微分分方方程程的的解解中中含含有有任意常数的个数与方程的阶数相同任意常数的个数与方程的阶数相同,且且任任意意常常数数之之间间不不能能合合并并,则则称称此此解解为为该该方方程程的的通通解解(或或一一般般解解).当当通通解解中中的的各各任任意意常常数数都都取取特特定定值值时时所所得得到到的的解解,称称为方程的为方程的特解特解.例例如如方方程程 y =2x 的的解解 y=x2+C 中中含含有有一一个个任任意常数且与该方程的阶数相同,意常数且与该方程的阶数相同,因此,这个解是方程的因此,这个解是方程的通解;通解;如果求满足条件如果求满足条件 y(0)=0 的解,代入通解的解,代入通解 y=x2+C
5、 中,中,得得 C=0,那那么么 y=x2 就就是是方方程程 y =2x 的的特特解解.12/18/20225二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是即即 y(x0)=y0 与与 y(x0)=y 0,一个微分方程与其初始条件构成的问题,称为一个微分方程与其初始条件构成的问题,称为初值问题初值问题.求解某初值问题,就是求方程的特解求解某初值问题,就是求方程的特解.用用来来确确定定通通解解中中的的任任意意常常数数的的附附加加条条件件一一般般称称为初始条件为初始条件.通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是12/18/20226例例 1 验证函数验证函数 y=3e x xe
6、x 是方程是方程y +2y +y=0的解的解.解解 求求 y=3e x xe x 的导数,的导数,y =-=-4e x+xe-x,y =5e x-xe-x,将将 y,y 及及 y 代入原代入原方程的左边,方程的左边,(5e x-xe-x)+2(-4e x+xe-x)+3e x xe x=0,即函数即函数 y=3e x xe x 满足原方程,满足原方程,得得有有所以该函数是所以该函数是所给二阶微分方程的解所给二阶微分方程的解.12/18/20227 得得 C=2,故故所所求特解为求特解为 y=2x2.例例 2 验证方程验证方程 的通解的通解 为为 y=Cx2 (C 为为任任意意常常数数),并并求
7、求满满足足初初始始条条件件 y|x=1=2 的的特特解解.解解 由由 y=Cx2 得得y =2Cx,将将 y 及及 y 代代入入原原方方程程的的左左、右右两两边边,左边有左边有 y=2Cx,所所 以以 函函 数数 y=C x2 满满 足足 原原 方方 程程.又因为该函数含有一个任意常数,又因为该函数含有一个任意常数,所所以以 y=Cx2 是是一一阶微分方程阶微分方程将初始条件将初始条件 y|x=1=2 代入通解,代入通解,12/18/20228例例 3设设一一个个物物体体从从 A 点点出出发发作作直直线线运运动动,在在任任一一时时刻刻的的速速度度大大小小为为运运动动时时间间的的两两倍倍.求求物
8、物体体运动规律运动规律(或称运动方程或称运动方程)解解首先建立坐标系:取首先建立坐标系:取 A 点为坐标原点,点为坐标原点,物体运动方向为坐标轴的正方向物体运动方向为坐标轴的正方向(如图如图),并设物体并设物体在时刻在时刻 t 到达到达 M 点,其坐标为点,其坐标为 s(t).显显然然,s(t)是是时时间间 t 的的函函数数,它它表表示示物物体体的的运运动动规规律律,是是本本题题中中待待求的未知函数,求的未知函数,s(t)的的导导数数 s(t)就就是是物物体体运运动动的的速速度度 v(t).由题意,知由题意,知v(t)=2t,以及以及s(0)=0.ASOMs(t)12/18/20229因为因为
9、 v(t)=s(t),因此,求物体的运动方程因此,求物体的运动方程已化成了求解初值问题已化成了求解初值问题 积分后,得通解积分后,得通解 s(t)=t2+C.故初值问题的解为故初值问题的解为 s(t)=t2,也是本题所求的物体的运动方程也是本题所求的物体的运动方程.再将初始条件再将初始条件 代入通解中,得代入通解中,得 C=0,12/18/202210例例 4已已知知直直角角坐坐标标系系中中的的一一条条曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点 P(x,y)处处的的切切线线斜斜率率等于该点的纵坐标的平方,求此曲线的方程等于该点的纵坐标的平方,求此曲线的方程.解解 设所
10、求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y=y(x),根根据据导导数数的的几何意义及本题所给出的条件,几何意义及本题所给出的条件,y =y2,即即积分得积分得又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点(1,2),代入上式,得,代入上式,得所以,求此曲线的方程为所以,求此曲线的方程为得得12/18/202211一一般般地地,微微分分方方程程的的每每一一个个解解都都是是一一个个一一元元函数函数 y=y(x),其其图图形形是是一一条条平平面面曲曲线线,我我们们称称它为微分方程的它为微分方程的积分曲线积分曲线.通通解解的的图图形形是是平平面面上上的的一族曲线,称为一族曲线,称为积分曲线族积分曲线族,特特解解的的图
11、图形形是是积积分分曲线族中的一条确定的曲线曲线族中的一条确定的曲线.这这就就是是微微分分方方程程的的通解与特解的几何意义通解与特解的几何意义.12/18/202212一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程第七章微第七章微第七章微第七章微 分分分分 方方方方 程程程程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程12/18/202213一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.12/18/202214一、可分离变量方程一、可分离变
12、量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程例如:形如例如:形如y =f(x)g(y)的微分方程,称为的微分方程,称为可分离变量方程可分离变量方程.(1)分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.的形式,的形式,12/18/202215(2)两边积分两边积分两边同时积分,得两边同时积分,得故方程通解为故方程通解为我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数,被积函数的一个原函数,而把积分所带来的任意常而把积分所带来的任意常数明确地写上数明确地写上.12/18/202216例例 1 求方程求
13、方程解解分离变量,得分离变量,得两边积分,得两边积分,得这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解12/18/202217例例 2 求方程求方程解解分离变量,得分离变量,得两边积分,得两边积分,得化简得化简得12/18/202218另外,另外,y=0 也是方程的解,也是方程的解,因此因此 C2 为任意常数为任意常数求解过程可简化为:求解过程可简化为:两边积分得两边积分得即通解为即通解为其中其中 C 为任意常数为任意常数.中中 的的 C2 可可以以为为 0,这样,方程的通解是这样,方程的通解是分离变量得分离变量得12/18/202219例例 3 求求方方程程 dx+xydy=y2dx+ydy 满满
14、足足初初始始条条件件 y(0)=2 的特解的特解.解解将方程整理为将方程整理为分离变量,得分离变量,得两边积分,有两边积分,有12/18/202220化简,得化简,得即即将初始条件将初始条件 y(0)=2 代入,代入,为所求之通解为所求之通解.得得 C=3.故所求特解为故所求特解为12/18/202221例例 4解解分离变量得分离变量得即即12/18/202222两边积分,得两边积分,得经整理,得方程的通解为经整理,得方程的通解为也可写为也可写为12/18/202223二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式称
15、为一阶线性微分方程,简称称为一阶线性微分方程,简称一阶线性方程一阶线性方程.其中其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y,且均为且均为 y 或或 y 的一次项的一次项.它的特点它的特点是:右边是已知函数,是:右边是已知函数,12/18/202224称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程,简简称称线线性性齐齐次次方方程程,0,则称方程则称方程 为一阶线性非齐次微分为一阶线性非齐次微分方程,简称方程,简称线性非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.
16、若若 Q(x)若若 Q(x)0,则,则方程成为方程成为12/18/2022251 1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程.两边积分,得两边积分,得所以,方程的通解公式为所以,方程的通解公式为分离变量,得分离变量,得12/18/202226例例 6 求方程求方程 y +(sin x)y=0 的通解的通解.解解所所给给方方程程是是一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程,且且 P(x)=sin x,由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为则则12/18/202227例例
17、 7求方程求方程 (y-2xy)dx+x2dy=0 满足初始满足初始条件条件 y|x=1=e 的特解的特解.解解将所给方程化为如下形式:将所给方程化为如下形式:这是一个线性齐次方程,这是一个线性齐次方程,则则由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解将初始条件将初始条件 y(1)=e 代入通解,代入通解,得得 C=1.故所求特解为故所求特解为12/18/2022282 2.一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y=C(x)y1 是非齐次方程的解,是非齐次方程的解,将将 y=C(x)y1(其其中中 y1 是是齐齐次次方方程程
18、y +P(x)y=0 的的解解)及及其其导导数数 y =C (x)y1+C(x)y 1 代入代入方程方程则有则有即即12/18/202229因因 y1 是对应的线性齐次方程的解,是对应的线性齐次方程的解,因此有因此有其中其中 y1 与与 Q(x)均为已知函数,均为已知函数,代入代入 y=C(x)y1 中,得中,得容易验证,上式给出的函数满足线性非齐次方程容易验证,上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分所以可以通过积分求得求得12/18/202230且且含含有有一一个个任任意意常常数数,所所以以它它是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程的通解的通解在运算过程中,我们取线性齐次方程的
19、一个解为在运算过程中,我们取线性齐次方程的一个解为于是,一阶线性非齐次方程的通解公式,就可写成:于是,一阶线性非齐次方程的通解公式,就可写成:上上述述讨讨论论中中所所用用的的方方法法,是是将将常常数数 C 变变为为待待定定函数函数 C(x),再通过确定再通过确定 C(x)而求得方程解的方法,而求得方程解的方法,称为称为常数变易法常数变易法.12/18/202231例例 8 求方程求方程 2y -y=ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式:将所给的方程改写成下列形式:这是一个线性非齐次方程,它所对应的线性齐次方这是一个线性非齐次方程,它所
20、对应的线性齐次方程的通解为程的通解为将将 y 及及 y 代入该方程,得代入该方程,得设设所所给给线线性性非非齐齐次次方方程程的的解解为为12/18/202232于是,有于是,有因此,原方程的通解为因此,原方程的通解为解法解法二二 运用通解公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式:将所给的方程改写成下列形式:12/18/202233则则代入通解公式,得原方程的通解为代入通解公式,得原方程的通解为12/18/202234例例 9 求解初值问题求解初值问题解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式:将所给的方程改写成下列形式:则与其对应的线性齐次方程则与其对应的线性
21、齐次方程的通解为的通解为12/18/202235设所给线性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为于是,有于是,有将将 y 及及 y 代入该方程,得代入该方程,得12/18/202236因此,原方程的通解为因此,原方程的通解为将初始条件将初始条件 y(p p)=1 代入,得代入,得 C=p p,所所 以以,所求的特解,即初值问题的解为所求的特解,即初值问题的解为12/18/202237例例 10求方程求方程 y2dx+(x-2xy-y2)dy=0 的通解的通解.解解将原方程改写为将原方程改写为这这是是一一个个关关于于未未知知函函数数 x=x(y)的的一一阶阶线线性性非非齐齐次次方程,方程
22、,它的自由项它的自由项 Q(y)=1.12/18/202238代入一阶代入一阶线性非齐次方程的通解公式,有线性非齐次方程的通解公式,有即所求通解为即所求通解为12/18/202239第七章微第七章微第七章微第七章微 分分分分 方方方方 程程程程第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例例例 1 设设曲曲线线过过点点(1,1),且且其其上上任任意意点点 P 的的切切线在线在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍,求此曲线方程轴上截距是切点纵坐标的三倍,求此曲线方程.解解设设所所求求的的曲曲线线方方程程为为 y=y(x),P(x,y)为为其其
23、上上任意点,任意点,则则过过点点 P 的的切切线线方方程为程为其中其中(X,Y)是切线上动点是切线上动点,(x,y)是曲线上任意固定的点是曲线上任意固定的点.xyOP(x,y)L12/18/202240令令 X=0,得切线在得切线在 y 轴上的截距为轴上的截距为 Y=y-xy,y-xy =3y,这是一阶线性齐次方程,其通解为这是一阶线性齐次方程,其通解为因曲线过点因曲线过点(1,1).代入方程,得代入方程,得 C=1.所所 以以 曲曲 线线方程为方程为由题意得由题意得12/18/202241例例 2 设设跳跳伞伞员员开开始始跳跳伞伞后后所所受受的的空空气气阻阻力力与与他下落的速度成正比他下落的
24、速度成正比(比例系数为常数比例系数为常数 k 0),起起跳跳时时的的速速度度为为 0.求求下下落落的的速速度度与与时时间间之之间间的的函函数关系数关系.解解设下落速度为设下落速度为 v(t),则则加加速速度度 a=v (t)运运动动,物体所受的外力为:物体所受的外力为:F=mg kv,于是,由牛顿第二定律可得于是,由牛顿第二定律可得 mg-kv=mv ,12/18/202242又由题意得初始条件又由题意得初始条件v|t=0=0,可见,初值问题可见,初值问题 是一个一是一个一阶线性非齐次微分方程,其通解为阶线性非齐次微分方程,其通解为由由 v(0)=0 得得 C=mg.即为所求的函数关系即为所求
25、的函数关系.所以,特解所以,特解12/18/202243例例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却,假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却,物物体体的的初初始始温温度度为为 200 C,且且由由 200 C 冷冷却却到到 100 C 需需要要 40 s.已已知知(冷冷却却定定律律):冷冷却却速速率率与与物物体体和和介介质质的的温温度度差差成正比成正比.其介质其介质(冷却剂冷却剂)温度始终保持为温度始终保持为 10 C,并并求求物物体温度降到体温度降到 20 C 所需的时间所需的时间.解解设物体温度为设物体温度为 =(t),则则物物体体的的冷冷却却速速率率为为 (t).由由冷冷却却定定律律可可得得
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