概率论与数理统计答案_浙江大学主编.docx
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1、第一章概率论的基本概念注意:这是第一稿(存在一些错误)1 解:该试验的结果有 9 个:(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c).所以,(1)试验的样本空间共有9个样本点。(2)事件A包含3个结果:不吸烟的身体健康者,少量吸烟的身体健康者,吸烟较多的身 体健康者。即A所包含的样本点为(0, a), (1, a), (2, a),(3)事件B包含3个结果:不吸烟的身体健康者,不吸烟的身体一般者,不吸烟的身体有 病者。即B所包含的样本点为(0, a), (0, b), (0, c).2、解(1)abJ
2、bcJac.abcJabcJabcJabc ;(2)abJbcJac(提示:题目等价于.,B, 3至少有2个发生,与(1)相似);(3)abcJabcJabc;(4)或 ABC;(提示:A, B, 3至少有一个发生,或者A, B,。不同时发生):3错。依题得P(AB)=P(A)+P-p(AU8)= 0,但APIB#空集,故a、B可能 相容。(2)错。举反例(3)错。举反例(4)对。证明:由。5)=。-6 , P(B)= 0.7 知p(AB)= p(A)+ p(B)- p(A U B)= 1.3 p(A U B)0.3,即4和 b 交非空,故 A 和 B 定相容。4、解(1)因为A, B不相容,
3、所以A, 3至少有一发生的概率为:P(A|J B) = P(A) + P(B)=0.3+0.6=0.9(2) 4 B都不发生的概率为:P(/lUfi) = l-P(AUB) = 1-0.9 = 0.1:(3) A不发生同时8发生可表示为:Apjfi,又因为A, 8不相容,于是P(Ap|B) = P(B) = 0.6;5 解:由题知 P(AB U AC U BC)= 0.3 P(ABC)= 0.05因 p(AB U AC U BC) = p(AB)+ p(AC)+ p(BC)- 2p(ABC)得,p(AS)+p(AC)+p(SC)= 0.3 + 2p(ASC)=0.4故A,B,C都不发生的概率为
4、曲胫)=1- p(aUbUc)=1- Kp(A)+ p+ p(c)- P(AB)+ P(AC)+ p(BC)+ p(ABC)= 1-(1.2-0.4+ 0.05)= 0.156、解 设4 = “两次均为红球” , B= “恰有1个红球”, C = “第二次是红球”Q7若是放回抽样,每次抽到红球的概率是:,抽不到红球的概率是:,则 1010Q O(1) P(A) = X = 0.64;10 10OQ(2) P(B) = 2x x(l )=0.32; 1010(3)由于每次抽样的样本空间一样,所以:QP(C) = = 0.810若是不放回抽样,则尸=型;45(2) P呼的C 45,、c/小 a!a
5、+aa! 4(3)尸(C) = 3 72至=一。Ao 57解:将全班学生排成一排的任何一种排列视为一样本点,则样本空间共有30!个样本点。(1)把两个“王姓”学生看作-整体,和其余28个学生一起排列共有29!个样本点,而两个“王姓”学生也有左右之分,所以,两个“王姓”学生紧挨在一起共有229!个样本点。229!1即两个“王姓”学生紧挨在一起的概率为30!15。(2)两个“王姓”学生正好一头一尾包含228!个样本点,故2-28!1两个“王姓”学生正好一头一尾的概率为30!435 8,解(1)设4 = “1红1黑1白”,则安上;C; 35(2)设8=“全是黑球”,则r3 1尸=4=一;C; 35(
6、3)设。=第1次为红球,第2次为黑球,第3次为白球,则 %)=辽=2。7!359解:设4=悌1号车配对, i = 12,9若将先后停入的车位的排列作为一个样本点,那么共有史个样本点。由题知,出现每一个样本点的概率相等,当A发生时,第i号车配对,其余9个号可以任意 排列,故P&.(2) 1号车配对,9号车不配对指9号车选28号任一个车位,其余7辆车任意排列,共有 77个样本点。故(A讣 2仅出44)= p(4A8|AA)p(A4), p(4a81A4)表示在事件:已知1号和 9号配对情况下,28号均不配对,问题可以转化为28号车随即停入28号车位。记 B, = 第i+1 号车配对, i = l,
7、2,.,7o则 pW 41A4)= p(bi-b7)=i-p(bi U-Ufi7)由上知,PP(“君=加“/如P(4 当)=1tJ-7!。则0, P0 ,即p(A)p0,故P(A8)/P(A)P(8),即a,B不相互独立。与已知矛盾,所以A,B相容。(2)可能对。证明:由P(A)=0-6 P(5)= 0.7知p(AB)= p(A)+ p(B)-p(AUB)=1.3-p(AUB)0.3p p =0.6 x 0.7 = 0.42P(A8)与p(A)p(B)可能相等,所以A B独立可能成立。(3)可能对。对。证明:若A,B不相容,则P(A3)= 0。而P(A)0, P0,即p(A)p0, 故P(M*
8、Ma)P(8),即a,B不相互独立。18、证明:必要条件由于A, 8相互独立,根据定理152知,A与5也相互独立,于是:P(A IB) = P(A), PA IB) = P(A)即 P(A I B)= P(A I 初充分条件由于P(AIB) = 辿及P(AI后)=P(B)P(AB)P(B)陪穿结合已知条件成立P(A5) _ P(A)-P(A8)P(B) - l-P(B)化简后,得:P(AB) = P(A)P(B)由此可得到,A与8相互独立。20、解设A,分别为第i个部件工作正常的事件,8为系统工作正常的事件,则P(4)= p,(1)所要求的概率为:a = P(B) = P(AlA2A,jAiA
9、2A4jAiAA4jA2AiA4)= P(A,A2A3)+P(Ai12A4) + P(A1A(A4) + P(A2A34)-3P(A1VA3A4)=PlP2P3 + P1P2P4 + PlP3P4 + P2P3P4 - 3Plp2P3P4(2) 设C为4个部件均工作正常的事件,所要求的概率为:尸=P(C I 8) = PlP2P3P2。a(3) y = C;a?(l a) o 21解.记6 = 第i次出现正面 i = l,2n p(4) = p(G c,_)= p(cJP(C-i)p(G ) = p(i - p)” pM = p(G c2c3c4)+p(c,c2c3c4)= p2(i-p)(2
10、)MG 畸*,)(3)*)=嚅P,(1-P)= D p2(l-p)22、解设A =照明灯管使用寿命大于1000小时, B =照明灯管使用辱命大于2000小时, C=照明灯管使用寿命大于4000小时,由题意可知P(A) = 0.95, P(5) = 0.3, P(C) = 0.05(1) 所要求的概率为:P(CA) =P(ACP(A)0.05 _ 1 K95 -I?(2)设A,分别为有i个灯管损坏的事件(i = 0,l,2,3),a表示至少有3个损坏的概率, 则p(4)= p(8)=(O.3)10 = 0.0000059P(4)= C: P 7 (1- P(B) = 0.0001378P(4)=
11、 Gj P(B)(1- P(B)2 = 0.0014467所耍求的概率为:a = l- P(&)-P(A,) - P(4) = 0.998423解:设4=系统能正常工作, B = 系统稳定, C = 系统外加电压正常,则 p(C)= 0.99 p(B|C)=0.9 P(B|C)= 0.2 p05)= 0.8 /丽)=0.9()P(A)= P(A忸)p(B)+ p(A|B)p(B)=ps)p(叫 c)p(c)+ p(b|c)p(c)+ i- p(乖)p 舸 c)p(c)+ p(b|c)p(c)=0.8 x(0.9 X 0.99 + 0.2 x 0.01)+(1- 0.9)x (1- 0.9)x
12、0.99 + (1-0.2)x 0.011=19(2)记4 = 第i个元件正常工作,则p(A)=而p(4 UU4)=1 - p(4 4)= l-p(A).p(4) 0.9984第二章随机变量及其概率分布注意:这是第一稿(存在一些错误)1解:X取值可能为2,3,4,5,6,则X的概率分布律为:=2)=高=/p(X=3)+ = *妙二 9P(X =4)= 丁 =/p(X=5)专综P(X =6) = -r = y。2、解(1)由题意知,此二年得分数X可取值有0、1、2、4,有P(X =0) = 1-0.2 = 0.8p(x =l) = 0.2x(l-0.2) = 0.16 9P(X =2) = 0.
13、2 X 0.2 X (1-0.2) = 0.032fP(X =4) = 0.2x0.2x0.2 = 0.008从而此人得分数X的概率分布律为:x o 124P 0.80. 160.0320.008(2)此人得分数大于2的概率可表示为:P(X 2) = P(X = 4) = 0.008 .t(3)已知此人得分不低于2,即XN2,此人得分4的概率可表示为:P(X = 41X2 2) =P(X =4)P(X 2)0.0080.032 + 0.0083解:(1)没有中大奖的概率是P|=(i-i(r7);(2)每一期没有中大奖的概率是n期没有中大奖的概率是p2 = pn=(l-10-7),1) = 1-
14、P(X 1) = 1-P(X = 0) = 1-(1-0.51)3 = 0.8824;(2)恰有1名男婴的概率可表示为:P(X =l) = C;0.51x(l-0.51)2 =0.3674:(3)用a表示第1,第2名是男婴,第3名是女婴的概率,则a=0.512x(l-0.51) = 0.127 ;(4)用尸表示第1,第2名是男婴的概率,则夕= 0.512 =0.260。5解:X取值可能为0,1,2,3; Y取值可能为0,123p(x = 0)= (l-p,)(l-p2)(l-p3),= 1) = p, (1-p2)(l -/?3) +p2 (1-)(1-p3)+/?3(l-p, )(1-p2)
15、,P(X = 2)=P42(1-P3)+P|P3(1-P2)+P3P2(1-PJ,P = 3)=P|P2P3。Y取每一值的概率分布为:p(y = o) = Pi,p(y= i)=(i-pjp2,p(y=2)=。一 pJ(iP2)P3,p(y=3)=(i-p,)(i-p2)(i-p3).6、解由题意可判断各次抽样结果是相互独立的,停止时已检查了 X件产品,说明第X次抽样才有可能抽到不合格品。X的取值有1、2、3、4、5,有p(x =k) = p(l-p)J,k = 1,2,3,4,P(X=5) = (l-p)4;(2)尸(X 4 2.5) = P(X =1) + P(X =2) = p + p(
16、l-p) = p(2-p)。7 解:(1) a = (l-0.1)3 0.12 + /(1-0.1)4 0.1+ /(l-O.l)5 =0.991,夕=1一额.23(1-0.2y+ ;o240_o.2)+ /0.25 =0.942 o(2)诊断正确的概率为p = 0.7a+ 0.34=0.977。(3)此人被诊断为有病的概率为p = 0.7a + 0.3(l-夕)= 0.7。7、解(1)用X表示诊断此人有病的专家的人数,X的取值有1、2、3、4、5。在此人有 病的条件下,诊断此人有病的概率为:a = P(X N3) = P(X =3) + P(X =4) + P(X =5)= C(l-0.1)
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