概率论与数理统计答案_浙江大学主编.pdf
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1、第一章概率论的基本概念注意:这是第一稿(存在一些错误)1 解:该试验的结果有 9 个:(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)o 所以,(1)试验的样本空间共有9个样本点。(2)事件A包含3个结果:不吸烟的身体健康者,少量吸烟的身体健康者,吸烟较多的身体健康者。即 A所包含的样本点为(0,a),(1,a),(2,a)。(3)事件B包含3个结果:不吸烟的身体健康者,不吸烟的身体一般者,不吸烟的身体有病者。即 B所包含的样本点为(0,a),(0,b),(0,c)。2、解(1)A B j B C j A C A B C y y A B
2、 C A B C j A B C;(2)AIJBCIJAC(提示:题目等价于X,B,乙至少有2个发生,与(1)相似);(3)ABCJABCJABC.(4)或 C;(提示:A,B,乙至少有一个发生,或者A,B,C不同时发生);3(1)错。依题得。(4 8)=。(4)+(3)-。(4 1 1 8)=(),但 408,空 集,故 A、B 可能相容。错。举反例(3)错。举反例(4)对。证明:由 P(A)=0-6 ,P(B)=0.7 知P(A B)=p(A)+p -p(A U 5)=1.3-p(A U B)0.3,即 人和 B 交非空,故 A 和 B 定相容。4、解(1)因为4 8 不相容,所以4 8
3、至少有一发生的概率为:尸(A|J B)=P(A)+F(B)=0.3+0.6=0.9(2)A,B都不发生的概率为:P(/l|j B)=l-P(/l|j B)=1-0.9 =0.1;(3)4不发生同时8 发生可表示为:又因为A 8 不相容,于是P(Ap|B)=P(B)=0.6;5 解:由题知 P(A8 U AC U 8C)=().3 P(A8C)=0.05因 p(A8U ACU3C)=p(AB)+p(AC)+p(BC)2P(4BC)得,p(AB)+p(AC)+p(BC)=0.3+2 p(ABC)=0.4故A,B,C都不发生的概率为p(ABC)l-p(A U U C)=1-(p(A)+p(8)+p(
4、C)-p(AB)+p(AC)+p(BC)+p(ABC)=1-(1.2-0.4+0.05)=0.156、解 设A=“两次均为红球”,8=“恰 有1个红球”,C=“第二次是红球”Q2若是放回抽样,每次抽到红球的概率是:2,抽不到红球的概率是:上,则10 10Q O(1)P(A)=X =0.64;10 10O O(2)尸 =2x x(l)=0.32;10 10(3)由于每次抽样的样本空间一样,所以:QP(C)=2 =O.810若是不放回抽样,则C_ 28(1)P(A)襦=石(2)P(B)C;C;16 C T=45(3)7解:将全班学生排成一排的任何一种排列视为一样本点,则样本空间共有30!个样本点。
5、(1)把两个“王姓”学生看作-整体,和其余28个学生一起排列共有29!个样本点,而两个“王姓”学生也有左右之分,所以,两 个“王姓”学生紧挨在一起共有29!个样本点。1229!即两个“王姓”学生紧挨在一起的概率为30!15。(2)两 个“王姓”学生正好一头一尾包含2 28!个样本点,故2-28!1两 个“王姓”学生正好一头一尾的概率为30!435。8、解(1)设4=“1红1黑1白”,则史上C;35(2)设8=“全是黑球”,贝I r3 1P=3=一;C;35(3)设。=第1次为红球,第2次为黑球,第3次为白球,则尸(0 =且型=2。7!359解:设A=第i号车配对 ,i=1 2,9若将先后停入的
6、车位的排列作为一个样本点,那么共有受个样本点。由题知,出现每一个样本点的概率相等,当A发生时,第i号车配对,其余9个号可以任意P二排列,故(1)9!。(2)1号车配对,9号车不配对指9号车选28号任一个车位,其余7辆车任意排列,共有7!个样本点。故 八 9!72.P(4 4 4 4)=。(为,P(A?闯4/19)表示在事件:已知 号和9号配对情况下,28号均不配对,问题可以转化为28号车随即停入28号车位。记 用=第i+1号车配对,i=l,2,7。则P(月 41A 4)=贰瓦 闲=1一 p U u a)p(B)=-=l)=-=.p(BBjBk)=-=-.由上知,7!7!4 2,(,J),-7!
7、21 0,(,J(女)M 4 当)=(用7!。则,=o 电 兀.4)=夕 师.初(4 4)1上浮$之印故i=0 ,/=0 I,10、解由已知条件可得出:P(B)=l P(8)=l-0.6=0.4;P(A B)=P(A)P(AZ)=0.7-0.5=0.2;P(A(J B)=P(A)+P(3)P(A6)=0.9;(1)P(AAJB)=P(A(AUB)P(4|j8)P(A)=7(2)P(A B)=P(B)-P(AB)=0.4-0.2=0.2P(R J B)=P(A)+P(B)-P(A B)=0.5于是 P(A I A|JB)=G 4 Q(7 UB)尸仪UB)P(A B)_ 2P(A|jB)-5 :(
8、3)P(ABAJB)=P(A8(A U 3)P(A|j8)P(A B)_ 2 P(AjB)9n解:由题知 P(A)=0.5,p(B)=0.3 p(C)=0.4 P(B|A)=0,2 p(A U 刷=0.6则 p(A U 8 U C)=p(A U 5 U C|C)p(C)+p(A U 8 U c|c)p(c)=p(C)+p(A U 桐p 0)=p(C)+p(AU 8 p(A U/C)p(C)=p(C)+p(A)+p-p(AB)-p(A U 8|C)p(C)=P(C)+P(A)+p-p(8|A)p(A)-p(A u Bc)p(c)=0.8612、解 设 A=该职工为女职工,8=该职工在管理岗位,由
9、题意知,P(A)=0.45,P=0.1,P(AB)=0.05所要求的概率为 U(2)P(AIB)=P(AB P(B)P(A B)1P(6)P(B)213、解:P(y=2)=p(y=2|x=l)p(x=l)+p(y=2|x=2)(x=2)+p(y=2|x=5)p(x=5),.1 1 1 1 1 1 1 1 1=0 x+X+X+X+X5 2 5 3 5 4 5 5 5_ 7 7-3 0 01 4、解 设 4 =此人取的是调试好的枪,8=此人命中,由题意知:3 3 -1P(A)=-,P(B IA)=-,P(B A)=4 5 2 0所要求的概率分别是:3 7(1)P=P(A)P(B 1 4)+P(A)
10、P(B I A)=;8 0(2)P(AIB)P(AB)P(A)尸(8 I A)1P(6)P(B)3 71 5解:设4 =入市时间在1年以内 ,4 =入市时间在1年以上不到4年,4 =入市时间在4年以上,用=股 民 赢 ,邑=股民平,当=股 民 亏 则p(周 A)=o.l p(B2|A,)=0.2 p(&|A)=0.7 p(图七)=0.2 痘 )=0.3P(B3|A2)=0.5 画&)=0.4 p(固4)=0.4 P(B3|A3)=0.2,p(5 1)=P A)P(A )+P(阂 4)p(4)+p Qi 1 4)P(4 3 )=0.2 2 前 同 二 端二p网 A,P(AJ(当|4)(4)+P(
11、M|4)P(A 2)+P(8 3%)P(4)7 0.5 3 81 316、解 设A,B分别为从第 、二组中取优质品的事件,C,。分别为第一、二次取到得产品是优质品的事件,有题意知:P(4)=M P1520(1)所要求的概率是:1 1 13P(C)=”A)+”小亦。.541713(2)由题意可求得:P(D)=P(C)=241 20 10 1 5 15 八0/P(CD)=x x +x x 0.21362 30 29 2 20 19所要求的概率是:P(C D)P(CD)P(D)28257163X 0.3944。17解:(1)第三天与今天持平包括三种情况:第2天平,第3天平;第2天涨,第3天跌;第2天
12、跌,第3天涨。则Pi-fz3/3+aia2+a/、(2)第4天股价比今天涨了 2个单位包括三种情况:第2天平,第3、4天涨:第2、4天涨,第3天平;第2、3天涨,第4天平。则p2=2a 3/乌+19对。证明:假设A.B不相容,则P(M=0。而p(A)0,p(8)0,即p(A)p 0,故P(A8)#M A)P(8),即A,B不相互独立。与已知矛盾,所以A,B相容。(2)可能对。证 明:由P(A)=0.6,P=0.7知p(A8)=p(A)+p -p(4U 8)=1.3-p(AU8)0.3p(A)p(5)=0.6x0.7=0.42P(AB)与P(A)P(8)可能相等,所以A B独立可能成立。(3)可
13、能对。(4)对。证 明:若A,B不相容,则P(M =。而P(A)0,P 0,即MNP。,故。(A 5 HP(A)P,即A,B不相互独立。18、证明:必要条件由于A,8相互独立,根据定理152知,A与否也相互独立,于是:P(A 15)=P(A),P(AB)=P(A)即 PA IB)=P(A IB)充分条件由于P(AIB)3及 (4|a=诞=二诞P(B)P(B)l-F(B),结合已知条件,成立P(A6)_ P(A)P(AB)P(B)-1-P(8)化简后,得:P(叫=P(A)尸(8)由此可得到,A 与 B 相互独立。2。、解 设 a 分别为第i 个部件工作正常的事件,8 为系统工作正常的事件,则尸(
14、a)=p,(1)所要求的概率为:a=P(B)=尸(A 4 4 U A/2 A4|j4A3A,LJA2 A3AJ=p(4 4 A)+&4 4 4)+p(4&a)+p(&A )-3P(A H&Aq)=P1P2P3+PP2P4 +PP3P4 +P2P3P4-3。超2P3P4(2)设C 为 4 个部件均工作正常的事件,所要求的概率为:4=P(C I 8)=PP2P3P七。a(3)/=C;/(一0)o21解:记 6 =第i次出现正面,i=l,2(1)(2)p(4)=P(C G.)=P(G)P(C“)P(C)=(1-P尸P )=P(GC2c3c4)+p(C|C2c3c4)=p2(l-p)P 6峭=2(1-
15、)p(a)PP(4 忸4”端L*=pp(A)P Q-p)22、解 设 A=照明灯管使用寿命大于1000小时,B=照明灯管使用寿命大于2000小时,C=照明灯管使用寿命大于4000小时,由题意可知P(A)=0.95,P(5)=0.3,P(C)=0.05(1)所要求的概率为:产 田=3=些=1P(A)0.9 5 1 9(2)设 4分别为有i 个灯管损坏的事件(i =0,1,2,3 ),。表示至少有3个损坏的概率,则尸(4)=P(8)=(0.3)=0.0 0 0 0 0 5 9P(4)=C;o P(B)了(1-P(B)=0.0 0 0 1 3 7 8P(A2)=C;)P(8)T(1-P(B)2=0.
16、0 0 1 4 4 6 7所要求的概率为:a =1 P(4)-P(4)-P(4)=0.9 9 8 42 3 解:设 4=系统能正常工作,B =系统稳定,C =系统外加电压正常,则 p(C)=0.9 9 P|C)=0.9 P )=0 2 p(A 忸)=0.8 P(乖)=0.9MP(A)=P(A|8)P(5)+P(AR)0)=p(A 忸 加/c)p(c)+P(B|C)P(C)+I-P(A|B)1P(B|C)P(C)+P(B|C)P(C)=0.8 X(0.9 X 0.9 9 +0.2 x 0.0 1)+(1-0.9)x (1-0.9)x 0.9 9 +(1-0.2)x 0,0 1 11 9(2)记
17、A=第i 个元件正常工作,则 P 4p(A U U A 5 L 1 -P(A|A 5)=1-p(A)p&)0.9 9 8 4第二章随机变量及其概率分布注意:这是第 一 稿(存在一些错误)1解:X 取值可能为2,3,4,5,6,则 X 的概率分布律为:p(X=2)=甲=*p(X=3)=军 莺 35P(X=爷啥P”)爷啧p(X =6)=尊.2、解(1)由题意知,此二年得分数X 可取值有0、1、2、4,有P(X=0)=1 02=0.8p(x =l)=0.2x(l 02)=0.16 9P(X=2)=0.2x0.2x(l 0.2)=0.032p(x =4)=0.2x0.2x0.2=0.008从而此人得分
18、数X 的概率分布律为:x o 1 2 4P 0.8 0.16 0.032 0.008(2)此人得分数大于2 的概率可表示为:P(X 2)=P(X=4)=0.008.(3)已知此人得分不低于2,即 X N 2,此人得分4 的概率可表示为:P(X=4 1 X 2 2)p(X=4)_ 0008P(X 2)-0.032+0.0083解:(1)没有中大奖的概率是P|=(1 1 0-7 丫;(2)每一期没有中大奖的概率是p=(1-1 0 一 7 ,n期没有中大奖的概率是p2=p =(IT O-。4、解(1)用 X 表示男婴的个数,则 X 可取值有0、1、2、3,至少有1 名男婴的概率可表示为:P(X 1)
19、=1-P(X ;(2)P(X 42.5)=尸(X=1)+P(X=2)=p+p(l p)=p(2 p)。7解:(1)a =(l-0.1)30.12+;(l-0.1)40.1+/(l-O.l)5=0.991,/?=l-0.23(l-0.2)2+/0.24(l-0.2)+/0.25=0.942 o(2)诊断正确的概率为p=0.7a +0.3=0.977。(3)此人被诊断为有病的概率为p=0.7a +0.3(1-)=0.711。7、解(1)用X表示诊断此人有病的专家的人数,X的取值有1、2、3、4、5。在此人有病的条件下,诊断此人有病的概率为:a =P(X N3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=
20、5)=Cj(l-0.1)3-0.12+Cj(l-0.1)4 O.l+Cf(l-O.l)5=0.991在此人无病的条件下,诊断此人无病的概率为:=P(X 3)=P(X=O)+P(X=1)+P(X=2)0.2)5+。;(1-02)4 0 2+C;(l-0.2)3 0 22=0.942(2)用了表示诊断正确的概率,诊断正确可分为两种情况:有病条件下诊断为有病、无病条件下诊断为无病,于是:/=0.7a+0.3/?=0.977;(3)用7;表示诊断为有病的概率,诊断为有病可分为两种情况:有病条件下诊断此人为有病、无病条件下诊断此人为有病,于是:7=0.7a +0.3x(l-)=0.711:8、解 用A表
21、示恰有3名专家意见一致,8表示诊断正确的事件,则P(A8)=0.7 xP(X=3)+0.3 xP(X=2)=0.1121(4)=0.7 x 尸(X=3X=2)+03 xP(X=2或乂=3)=0.1335所求的概率可表示为:P(8IA)=t 3=0.842尸(A)9解:(1)由题意知,候车人数X=%的概率为p(X=%)=-,贝ij p(X=0)=1 ,从而单位时间内至少有一人候车的概率为p=l e-,所以1一6=1 一e5)=-P(X 5)=-11、解:山题意知,被体检出有重大疾病的人数近似服从参数为/L=np=3000 x 一=3的泊松分布,即 p(X=A)=-k=0,1,2,k!则至少有2人
22、被检出重大疾病的概率为p=l p(x =0)-p(x =1)=1-1 3/a0.801。1 2、解(1)由于尸 0X 4 1)+P(24X 4 3)=+=1,因此X的概率分布函数为:2 20%1F(x)=P(X x)=l x 2 ,X 1 c c-2 x 32 5-1 3(2)P X 解:(1)由 /(工 四=j:c(4一 元2蛆=1解得0 =得。(2)易知x W O 时,F(x)=0;-N2时,F(x)=l;当0X 2时,*x)=()3,=怖 1(4 产 的=;)x 0,所以,X的分布函数为*x)=0 x 2.(3)/?(-1%1)=F(1)-F(-1)=F(1)=(4)事件 1 X 1 恰
23、好发生2次的概率为p =p -X 1)2(1-p(-l X 1)3=5220.1 4 4 2 o14、解(1)该学生在7:2 0过X分钟到站,X U(0,25),由题意知,只有当该学生在7:2 0 7:3 0期间或者7:4 0 7:4 5期间到达时,等车小时1 0分钟,长度一共1 5分钟,所以:P 该 学 生 等 车 时 间 小 于1 0分 钟=P X 1 0 =|=|;(2)由题意知,当该学生在7:2 0 7:2 5和7:3 5 7:4 5到达时,等车时间大于5分钟又小 于1 5分钟,长度为1 5分钟,所以:1 5 3P 该 学 生 等 车时间大于5分 钟 又 小 于1 5分 钟 =P 5
24、X 5 =2=,P X 5 =d竺=,于是P 该学生乘上7:3 0的班车I X 5 =L4 4515、解:由题知,X服从区间(-1,3)上的均匀分布,则X的概率密度函数为1 ,、(、7,-l x 2.5)=尸(上2 至二W)=P(AZ -2.5)a a a=1-P(土N -2.5)=1-(-2.5)a=0)(2.5)=0.9 9 3 8(2)P(X 3.5 2)=P(土上 3 5 2-4)=p(1L _L 4 8)y y (-1.4 8)=1-0(1.4 8)=1-0.9 3 0 6 =0.0 6 9 4(3)nP(,4.Xv 6)=Pn(,4 /.X.-R 6 /)=P(-l -X-1)cr
25、 cr cr a=W)1 7 0)=J 7 0-勺(j a=P(AZ2 O)T=1-0(0)=0.5(2)该青年男子身高大于1 6 5 cm 且小于1 7 5 cm 的概率为:Z1 z1 6 5 u X u 1 7 5 、,X u 、P(1 6 5 X 1 7 5)=P(-)=F(-l -1)(J(J(7 7=一(一 1)=2 一 1=1.6 8 2 6 1 =0.6 8 2 6(3)该青年男子身高小于1 7 2 cm 的概率为:P(X 1 7 2)=P(土 工 172-)=P(土 型 0.4)C T T (J=0(0.4)=0.6 5 5 4(2()()_ 2 2()11 9、解:系统电压小
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