2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修1-1.doc
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1、12.3.22.3.2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质学习目标:1.了解双曲线的几何性质(重点) 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等(重点) 3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程1(a0,b0)x2 a2y2 b21(a0,b0)y2 a2x2 b2图形范围xa或xaya或ya对称性对称轴:x轴,y轴,对称中心:原点O顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)离心率e c a渐近线yxb ayxa b2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线的离心率e.23离心率对双曲线开口大
2、小的影响以双曲线1(a0,b0)为例x2 a2y2 b2e ,故当 的值越大,渐近线yx的斜率越大,双曲线的开口c aa2b2a1b2a2b ab a越大,e也越大,所以e反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大基础自测1判断正误:(1)等轴双曲线的离心率是.( )2(2)方程1(a0,b0)的渐近线方程为yx.( )y2 a2x2 b2b a(3)离心率越大,双曲线1 的渐近线斜率绝对值越大( )x2 a2y2 b22【解析】 (1).因为ab,所以ca,所以e .2c a2(2).由1,得yx,所以渐近线方程为yx.y2 a2x2 b2a ba b(3).由 (e1),
3、所以e越大,渐近线yx斜率的绝对值越b ac2a2ae21b a大【答案】 (1) (2) (3)2双曲线x21 的渐近线方程为_,离心率e_. y2 3【导学号:95902117】【解析】 a1,b,渐近线方程为yx,33离心率e 2.c a131【答案】 yx 23合 作 探 究攻 重 难由双曲线的标准方程求几何性质求双曲线nx2my2mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程思路探究 化为标准 方程形式求出a、b、c得双曲线的 几何性质【自主解答】 把方程nx2my2mn(m0,n0),化为标准方程1(m0,n0),x2 my2 n由此可知,实半轴长a
4、,虚半轴长b,c,mnmn焦点坐标(,0),(,0),离心率e .mnmnc amnm1nm顶点坐标为(,0),(,0)渐近线的方程为yxx.mmnmmnm规律方法 1由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤:(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置,确定a、b的值(3)由c2a2b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质2(1)由双曲线方程求其几何性质时,要与椭圆区分开,不能混淆,如对椭圆3a2b2c2,而对双曲线则是c2a2b2;对椭圆e ,对双曲线则是e c a1b2a2c a.1b2a2(2)求双曲线的渐近线方程时,只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到跟踪
5、训练1求双曲线x23y2120 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【导学号:95902118】【解】 将方程x23y2120 化为标准方程为1,a2,b2,c4,因此顶点A1(0,2),A2(0,2),焦点坐标F1(0,4),y2 4x2 123F2(0,4),实轴长 2a4,虚轴长 2b4,离心率e2,渐近线方程为yx.333由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线标准方程:(1)离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于;3(2)顶点间距离为 6,渐近线方程为yx;3 2(3)与双曲线x22y22 有公共的渐近线,且过点M(2,2)思路探究 分析双曲线 的几何
6、性质求a,b,c确定讨论焦点位置求双曲线的标准方程【自主解答】 (1)依题意,b, 2a1,c2,3c a双曲线的方程为x21 或y21.y2 3x2 3(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)3 2x2 4y2 9当0 时,a24,2a26 ;49 4当0,b0)和椭圆1 有相同的焦点,且双曲线的离x2 a2y2 b2x2 16y2 9心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_. 【导学号:95902119】【解析】 由题意知,椭圆的焦点坐标是(,0),离心率是.故在双曲线中c774,e ,故a2,b2c2a23,故所求双曲线的方程是1.72 74c ax2 4y2 3【答案】 1x2 4
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