数学物理方法第一章.ppt
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1、1数学物理方法特色:在于数学与物理的紧密结合。课程的主要内容有:复变函数论和数学物理方程在高等数学和普通物理学的基础上论述古典数学物理中的常用方法普通物理专业物理数学物理方法描述物理模型的数学方法2教材及指导书 一、教材:梁昆淼编,数学物理方法,第四版,高等教育出版社二、主要的参考书:吴崇试编著,数学物理方法 北京大学出版社成绩测定:作业20%考试80%联系方式:Mathematical methods in the physical science (Mary L.Boas)3第一篇 复变函数论微积分复变函数论?为什么(两者的差别)实数复数微积分:f 可微 左极限=右极限4复变函数:f 可微
2、 任意路径的极限相等说明:微积分中存在一些不好的性质在x0各阶导数均存在,在x=0各阶导数均存在,其值为0例f(x)可微 存在 (满足泰勒展开条件)5复变函数论(theory of complex functions):研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支,主要研究对象是解析函数。复数函数发展简史复数函数发展简史 早在16世纪,一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了虚数的基本思想,给出了虚数的符号和运算法则。1 复数起源于代数方程求根 1484 年,法国数学家舒开(N.Chuquet,14451500)在算术三编中指出二次方程 的根没有意义。这是历史上首次形式上出现负数的平方根。
3、6 1545年,意大利数学家卡丹(G.Cardano,1501-1576)在大术中提出“把10分为两部分,使其乘积为40”的问题,并给出书中给出了卡丹公式 与卡丹同时代的意大利数学家邦贝利(R.Bombelli,约15261573)是第一个认真看待虚数并认识到虚数应用价值的人。他在代数中建立了虚数运算法则。如对于邦贝利发现有一个根他证明了7 法国的笛卡尔(R.Descartes,1596-1690)称其为虚数(“虚幻数”imaginary number)由于 在实数范围内无意义,在很长时间内,直到19世纪中叶,这类数仍然是不合法的。2Bernoulli和Leibniz的争论 17121713B
4、ernoulli:负数的对数是实数Leibniz:不可能有负数的对数只对正数成立3Euler 在1747年对这场争论作了中肯的分析差一常数81740年,Euler 给Bernoulli的信中说:和是同一个微分方程的解,因此应该相等1743年,发表了Euler公式欧拉(L.Euler,1707-1783)先确立了负数的对数又给出了复数对数的适当定义欧拉像使用实数一样有效地使用复数,数学家们也因此对复数产生了一些信心。在18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复数,但无论欧拉还是别的数学家对这些数都还不甚清楚。9 Euler 认为复数仅在想象中存在,1777年,Euler采用 i 代表5十九世纪,
5、有三位代表性人物:柯西(Cauchy,17891857)维尔斯特拉斯(Weierstrass,18151897)黎曼(Rieman,18261866)经过他们的不懈努力,终于建立了系统的复变函数论4 复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777-1855),1799年,他把复数的思想融入到对代数学基本定理的证明中。10111.1 复数与复数运算(一)复数的基本概念复数定义复数定义:复数形如 z=x+iy 的数(x,y 为实数,i2=1,i:虚数单位,一种记号约定)将有争议的虚数合法化:一维实数 二维实数第一章 复变函数核心问题:如何定义复数?复数是否有物理意义?-1的平
6、方根是否有意义?复数的本质:有序实数对(x,y)12复数定义复数定义:设一对有序实数(x,y)遵从下列运算规则x 为其实部,y 为虚部加法 (x1,y1)(x2,y2)(x1 x2,y1 y2)乘法 (x1,y1)(x2,y2)(x1 x2y1y2,x1y2 x2y1)则这一对有序实数(x,y)定义了一个复数,z(x,y)复数相等:复数相等:两复数的实部和虚部分别相等实数复数扩大数域,定义运算规则复数:i2=1,为什么?高斯:正十七边形作图 简单概念的引入可解决世界性的难题13(1,0)具有和实数1同样的运算效果特殊的复数:实数1(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)(x,y)(x,y)(1
7、,0)1定义了虚数单位 i(0,1)特殊的复数:虚单位 i(0,1)(0,1)(1,0)1i 21复数 z 可记为特殊的复数:0(x,y)+(0,0)(x,y)(x,y)(0,0)(0,0)14复数减法:复数加法的逆运算复数除法:复数乘法的逆运算复数的共轭:与互为共轭15zyx0几何表示几何表示x 轴为实轴,y 轴为虚轴,构成复数平面复数 z 为此平面上的一点从几何上看,复数又是此平面上的一个矢量,为矢量长度,为幅角。记主值复共轭称为模定义指数复数 具有实指数函数相同的性质练习16补充:欧拉公式的证明设可以证明级数在整个复数范围是绝对收敛的 定义它的和函数为 z为纯虚数iy时 指数函数的性质1
8、7小结:复数 z 是两个独立变量(x,y)的集合。它在数值计算中是一个整体,服从通常的四则运算规则。练习:证明复数的运算服从下列规律交换律结合律分配律两个复数相乘,其模等于它们模的乘积,其幅角等于它们幅角的和。定理:是超越实数,四个似乎毫无关系的数,极其美妙地结合在一起,这反应了欧拉公式的深刻内涵意义。18(二)无限远点复平面上有些个点比较特殊,比如:零点和无穷远点。(1)复数零的幅角无意义,模为0。(2)无穷远点的模为,幅角没有意义。关于无穷远点的定义需要借助测地投影法。复球面复平面的无限远处看成一个“点”无限远点包括有无限远点的复数平面称为扩充了的复平面实数:(-,+)-,+模有限的复数跟
9、复平面上的有限远点一一对应模为无限大的复数也跟复平面上一点对应(无限远点无限远点)19如图,一球的南极与复数平面的原点相切,平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连,直线与球相交于 A。由此,每一有限的复数 投影到球上一点。这个投影叫测地投影测地投影,这个球叫复数球复数球。所有的无穷大复数(平面上无限远点无限远点)投影到唯一的北极 N。故我们为方便,将无穷远点看作一个点。其模无穷大,幅角无意义。20(1)的实部,虚部及幅角都无意义,(2)b0(但可为)时,(3)a时,(4)运算,0,无意义关于新“数”还需作如下几点规定:扩充复平面的一个几何模型就是复球面21加法加法减法减法乘法乘法除法除法幂
10、(幂(n整数)整数)根根逼近逼近(三)复数的运算(三)复数的运算交换律、结合律、分配律成立交换律、结合律、分配律成立22例例 求求1的的n次方根,讨论根在复平面单位圆周上的位置次方根,讨论根在复平面单位圆周上的位置.复数的方根复数的方根23课后阅读:正课后阅读:正1717边形问题边形问题复数在几何学的一个应用复数在几何学的一个应用费马数费马数 24作业:P6,1,3(7)(8)例:不等式 所确定的点集2526例:271.2 复变函数 在复平面上一点集在复平面上一点集 E 中每一点中每一点z,都有一个或几个,都有一个或几个复数复数w与之对应,称与之对应,称w为为 z 的函数,的函数,E 为定义域
11、,记为定义域,记 w=f(z),z E。实函数定义实函数定义:对于实数域中一区域对于实数域中一区域 B 中的每一实数中的每一实数 x 都有唯一的一个实数都有唯一的一个实数 y 与之对应。则称与之对应。则称 y 为为 x 的函数。的函数。B为此函数的定义域,记为此函数的定义域,记 y=f(x)。连续:连续:可微:可微:Cn:n 次可微次可微,C :无限可微无限可微(一一)复变函数的定义复变函数的定义例例28(二二)区域的概念区域的概念邻域邻域定义定义由不等式由不等式(为任意小的正数为任意小的正数)所确定的平面点集所确定的平面点集(简称点集简称点集),就是,就是以以z0为中心的为中心的邻域或邻域。
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- 数学 物理 方法 第一章
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