2019年高中数学全一册学案湘教版选修2-2.doc
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1、12017-20182017-2018 学年高中数学学年高中数学 全一册学案全一册学案 湘教版选修湘教版选修 2-22-24 41.11.1 问题探索问题探索求自由落体的瞬时速度求自由落体的瞬时速度学习目标1理解并掌握平均速度的概念2通过实例的分析,经历平均速度过渡到瞬时速度的过程知识链接1一物体的位移s与时间t满足函数关系st2,则在时间段1,2内的平均速度_.v答案 3.v2212 212质点运动规律st23,则在时间(3,3d)中,相应的平均速度等于_答案 6d.v3d23323 3d3预习导引1伽利略通过实验得到的自由落体的下落距离s和时间t有近似的函数关系,其关系是s4.9t2.2瞬
2、时速度(1)在t0时刻的瞬时速度即指在时刻t0d,当d趋于 0 时,时间段t0,t0d内的平均速度(2)若物体的运动方程为sf(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)在d趋于 0 时的极限.ftdft d要点一 求平均速度例 1 已知一物体做自由落体运动,运动的方程为sgt2(位移单位:m,时间单位:s),1 2求:(1)物体在t0到t0d这段时间内的平均速度 .v2(2)物体在t10 s 到t10.1 s 这段时间内的平均速度解 (1)s(t0d)s(t0)g(t0d)2gt1 21 22 0gt0dgd2,1 2在t0到 t0d这段时间内,物体平均速度为v(t0
3、,d)gt0gd.gt0d12gd2 d1 2(2)由(1)知:t010 s,d0.1 s,平均速度为 10gg0.110.05g(m/s)1 2规律方法 物体的运动方程是s(t),则从tt1到tt2的平均速度是v(t,d).st2st1 t2t1跟踪演练 1 已知物体运动方程为s(t)2t22t(位移单位:m,时间单位:s),求:(1)物体在运动前 3 s 内的平均速度;(2)物体在 2 s 到 3 s 内的平均速度解 (1)物体在前 3 s 内的位移为:s(3)s(0)23223024(m),故前 3 s 内的平均速度为8(m/s)s3s0 324 3(2)物体在 2 s 到 3 s 内的
4、位移为s(3)s(2)24(22222)12(m)故物体在 2 s 到 3 s 这段时间内的平均速度为12(m/s)s3s2 32要点二 求瞬时速度例 2 已知一物体做自由落体运动,sgt2(位移单位:m,时间单位:s,1 2g9.8 m/s2)(1)计算t从 3 s 到 3.1 s,3.01 s,3.001 s 各段时间内平均速度;(2)求t3 s 时的瞬时速度解 (1)当t在区间3,3.1时,d3.130.1(s),s(3.1)s(3)g3.12g322.989(m),1 21 2129.89(m/s)vs3.1s3 d2.989 0.13同理,当t在区间3,3.01时,229.449(m
5、/s),v当t在区间3,3.001时,329.404 9(m/s)v(2)物体在3,3d上的平均速度是:g(6d)s3ds3 d1 2g3d21 2g 32d1 2当d0 时,上式表达式值为 3g,即物体在 3 s 时的瞬时速度为 3g29.4(m/s)规律方法 平均速度即位移增量与时间增量之比,而瞬时速度为平均速度在d0 时的极限值,二者有本质区别stdst d跟踪演练 2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是 5.0105 m/s2,枪弹从枪口中射出时所用的时间为 1.6103 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度解 运动方程为sat2.1 2v(t,d)1 2atd21 2at
6、2 dadat.1 2ad2atd d1 2当d趋于 0 时,adat的极限为at.1 2a5.0105 m/s2,t1.6103 s,枪弹射出枪口时的瞬时速度为 51051.6103 m/s,即 800 m/s.1一质点的运动方程是s42t2,则在时间段1,1d内相应的平均速度为( )A2d4 B2d4C2d4 D2d4答案 D解析 v(1,d)2d4.421d242 12 d4d2d2 d2已知物体位移s与时间t的函数关系为sf(t)下列叙述正确的是( )A在时间段t0,t0d内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度4B在t11.1,t21.01,t31.001,t41.000 1,这四个时刻
7、的速度都与t1 时刻的速度相等C在时间段t0d,t0与t0,t0d(d0)内当d趋于 0 时,两时间段的平均速度相等D以上三种说法都不正确答案 C解析 两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度3已知sgt2,从 3 秒到 3.1 秒的平均速度 _.1 2v答案 3.05g解析 3.05g.v1 2g3.121 2g32 3.134如果质点M的运动方程是s2t22,则在时间段2,2d内的平均速度是_答案 82d解析 v(2,d)82d.s2ds2 d1平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值,即用时间除位移得到,而瞬时速度是物体在某一时间点的速度,当时间段越来
8、越小的过程中,平均速度就越来越接近一个数值,这个数值就是瞬时速度,可以说,瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于 0 时的“飞跃” 2求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为sf(t),则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为:(1)从t到td这段时间内的平均速度为,其中f(td)f(t)称为位ftdft d移的增量;(2)对上式化简,并令d趋于 0,得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.一、基础达标1设物体的运动方程sf(t),在计算从t到td这段时间内的平均速度时,其中时间的增量d( )Ad0 Bds甲,所以s乙 d即快到终点时,乙的平均速度大于甲的平均速度,所以乙比甲跑得快s甲 d 三、探究与创新8
9、13质量为 10 kg 的物体按照s(t)3t2t4 的规律做直线运动,求运动开始后 4 秒时物体的动能解 st4s4 t3t25,3t42t443 4244 t当 t0 时,3t2525.即 4 秒时刻的瞬时速度为 25.物质的动能为mv2 102523 125(J)1 21 24 41.21.2 问题探索问题探索求作抛物线的切线求作抛物线的切线学习目标理解并掌握如何求抛物线的切线知识链接1设函数yf(x),当自变量x由x0改变到x0d时,函数的改变量 y为_答案 f(x0d)f(x0)2函数yx2在x1 处的切线斜率k_.答案 2x2(x0)y x1x212 x预习导引求曲线上点P处切线斜
10、率的方法设P(u,f(u)是函数yf(x)的曲线上的任一点,则求点P处切线斜率的方法是:(1)在曲线上取不同于P的点Q(ud,f(ud),计算直线PQ的斜率k(u,d).fudfu d(2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u,d)中,让d趋于 0,如果k(u,d)趋于确定的数值k(u),则k(u)就是曲线在P处的切线斜率.要点一 有关曲线的割线斜率的探索9例 1 点P(3,9)为抛物线yx2上的一点,A1(1,1),A2(2,4),A4(4,16),A5(5,25)为抛物线上另外四点(1)分别求割线PA1,PA2,PA4,PA5的斜率;(2)若A(x0,x)为曲线yx2上异于P的动点,当A逐渐
11、向P趋近时,说明割线斜率的变化2 0情况解 (1)kPA14,kPA25,19 1349 23kPA47,kPA58.169 43259 5316 2(2)当A沿曲线趋近于P点时,x0的值趋近于 3,不妨设x03d(d0),当x03 时,d0,则kPAx03(3d)36d,x2 09 x03当d0 时,kPA6,表明随A点无限趋近于P,割线PA的斜率无限趋近于 6.规律方法 割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程,也是d趋于 0 的过程,这一过程实现了从割线到切线质的飞跃跟踪演练 1 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)为函数yx3曲线上两不同点(1)当x11,x22 时,求kAB;(2
12、)求当x1x0,x2x0d时,A、B两点连线斜率kAB.解 (1)kAB7.fx2fx1 x2x12313 21(2)kABfx2fx1 x2x1x0d3x3 0 d3x2 0d3x0d2d3 d3x3x0dd2.2 0要点二 有关切线方程的探索例 2 已知曲线方程为yf(x)x32x,求曲线在点P(1,3)处的切线方程解 f(x0d)f(x0)f(1d)f(1)(1d)32(1d)(1321)3d3d2d32d5d3d2d3.则k(1,d)53dd2,5d3d2d3 d10当d0 时,k(1)5,则切线方程为y35(x1)即 5xy20.规律方法 求曲线上点(x0,y0)处切线方程的步骤:(
13、1)求割线斜率;(2)求切线斜率;(3)求切线方程跟踪演练 2 求yf(x)x21 在x1 处的切线斜率及切线方程解 f(x0d)f(x0)f(1d)f(1)(1d)21(121)d22d,d22(d0),d22d d即在x1 处切线斜率为 2.f(1)0,切线方程为y2(x1),即 2xy20.要点三 求切点坐标例 3 在曲线y4x2上求一点P使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件:(1)平行于直线yx1;(2)垂直于直线 2x16y10;(3)倾斜角为 135.解 设f(x)4x2且P点坐标为(u,f(u)在曲线上取另一点Q(ud,f(ud),计算直线PQ的斜率k(u,d)fudfu d8
14、u4d.4ud24u2 d在所求得的斜率表达式中让d趋于 0,表达式趋于 8u,所以P点处切线斜率为 8u.(1)因为切线与直线yx1 平行,所以 8u1.u ,f(u).1 81 16即P( ,)1 81 16(2)因为切线与直线 2x16y10 垂直,所以 8u()1,2 168u 1.1 8u1,f(u)4,即P(1,4)(3)因为切线倾斜角为 135,所以 8utan 1351,11u ,f(u),1 81 16即P( ,)1 81 16规律方法 解答此类题目,切点横坐标是关键信息,因为切线斜率与之密切相关同时应注意解析几何知识的应用,特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识跟踪演
15、练 3 在抛物线yx2上求一点P,使点P到直线y4x5 的距离最小解 设P点坐标为(u,f(u),在抛物线上另取一点Q(ud,f(ud)直线PQ的斜率k(u,d)fudfu d2ud,ud2u2 d在所求得的斜率表达式中让d趋于 0,表达式趋于 2u, 所求过P点处切线斜率为 2u,当过P点的切线与直线y4x5 平行时,P点到直线y4x5 的距离最小,所以 2u4,u2.P点在抛物线yx2上,f(u)4,所求P点坐标为(2,4).1一物体作匀速圆周运动,其运动到圆周A处时( )A运动方向指向圆心OB运动方向所在直线与OA垂直C速度与在圆周其他点处相同D不确定答案 B2若已知函数f(x)2x21
16、 的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1d,1y),则等于( )y dA1 B2d C42d D4d答案 C解析 42d.y d21d212 121 d3过曲线y2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为_答案 112解析 由平均变化率的几何意义知,k1.21 104已知函数f(x)x2x的图象上一点(1,2)及邻近一点(1d,2y),则_.y d解析 yf(1d)f(1)(1d)2(1d)(2)d23d.d3.y dd23d d答案 d31求曲线yf(x)上一点(x0,y0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量 y,即f(x0d)f(x0)(2)化简,用x0与d表示化简结果y d(3)
17、令d0,求的极限即所求切线的斜率y d2过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(u,v)处的切线方程”和“过点(u,v)的切线方程” 前者以点(u,v)为切点,后者点可能在曲线上,也可能不在曲线上,即使在曲线上,也不一定是切点3曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势,刻画了曲线在这一区间升降的程度,而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态,它实现了由割线向切线质的飞跃一、基础达标1已知曲线y2x2上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于( )A2 B4C66d2d2 D6答案 B2已知曲线yx22 上的一点P(1, ),
18、则过点P的切线的倾斜角为( )1 23 213A30 B45C135 D165答案 B3如果曲线y2x2x10 的一条切线与直线y5x3 平行,则切点坐标为( )A(1,8) B(1,13)C(1,12)或(1,8) D(1,7)或(1,1)答案 B4曲线y在点P(3,1)处的切线斜率为( )x2A B0 C. D11 21 2答案 C解析 3x2 32x.x11x1x11当 x0 时, .1x111 25若曲线yx21 在曲线上某点处的斜率为 2,则曲线上该切点的坐标为_答案 (1,2)6曲线yx22 在点P(1,3)处的切线方程为_答案 2xy10解析 x2,1x22122 x当 x0 时
19、,x22.所以曲线yx22 在点P(1,3)处的切线斜率为 2,其方程为y32(x1)即为 2xy10.7抛物线yx2在点P处的切线与直线 2xy40 平行,求点P的坐标及切线方程解 设点P(x0,y0),d2x0,fx0dfx0 dx0d2x2 0 dd0 时,d2x02x0.抛物线在点P处的切线的斜率为 2x0,由于切线平行于 2xy40,2x02,x01,即P点坐标为(1,1),切线方程为y12(x1),即为 2xy10.14二、能力提升8曲线y 在点(1,1)处的切线方程为( )1 xAyx2 ByxCyx2 Dyx2答案 A解析 ,1 x11 1 x11 x1 x1 x1当 x0 时
20、,1.1 x1曲线y 在点(1,1)处的切线的斜率为 1,切线方程为y11(x1),即yx2.1 x9曲线f(x)x23x在点A(2,10)处的切线的斜率为_答案 7解析 f2xf2 xx7,2x232x223 2 x当 x0 时,x77,所以,f(x)在A处的切线的斜率为 7.10曲线f(x)x23x在点A处的切线的斜率为 7,则A点坐标为_答案 (2,10)解析 设A点坐标为(x0,x3x0),2 0则fx0xfx0 xx0x23x0xx2 03x0 xx(2x03),当 x0 时,x(2x03)2x03,2x037,x02.x3x010.A点坐标为(2,10)2 011已知抛物线yx21
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