2019版高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5.doc
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1、13.23.2 均值不等式均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)基础初探教材整理 1 均值不等式阅读教材 P69P71,完成下列问题.1.重要不等式如果a,bR R,那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”).2.均值不等式abab 2(1)均值不等式成立的条件:a0,b0;(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号.3.算术平均数与几何平均数(1)设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为;ab 2ab(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何
2、平均数.判断(正确的打“” ,错误的打“”)(1)对任意a,bR R,a2b22ab,ab2均成立.( )ab(2)若a0,则a 24.( )4 aa4a(3)若a0,b0,则ab.( )(ab 2)2(4)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.( )ab 2ab(5)若ab1,a0,b0,则ab的最小值为 2.( )【解析】 (1).任意a,bR R,有a2b22ab成立,当a,b都为正数时,不等式ab2成立.ab2(2).只有当a0 时,根据均值不等式,才有不等式a 24 成立.4 aa4a(3).因为,所以ab.abab 2(ab 2)2(4).因为不等式a2b22ab成立的条件
3、是a,bR R;而成立的条件是ab 2aba,b均为非负实数.(5).因为a0,b0,所以ab22,当且仅当ab1 时取等号,故ab的ab最小值为 2.【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)教材整理 2 均值不等式的应用阅读教材 P70例 1P71例 3,完成下列问题.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.(2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.判断(正确的打“” ,错误的打“”)(1)两个正数的积为定值,一定存在两数相等时,它们的和有最小值.( )(2)若a0,b0 且ab4,则ab4.( )(3)当x1 时,函数f(x)x2,所以函数f(x)
4、的最小值是 2.( )1 x1x x1x x1(4)如果 log3mlog3n4,则mn的最小值为 9.( )(5)若x,yR R,且x4y1,则xy的最大值为.( )1 16【解析】 (1).由均值不等式求最值条件可知.(2).因为 2,所以ab4.abab 24 2(3).因为当x1 时,x10,则f(x)x(x1)121 x11 x113.x11 x1当且仅当x1,即x2 时,函数f(x)的取到最小值 3.1 x1(4).因为由 log3mlog3n4,得mn81 且m0,n0,而9,mn 2mn所以mn18,当且仅当mn9 时,mn取到最小值 18.3(5).因为x,yR R,而 4x
5、y ,所以xy.(x4y 2)2(1 2)21 41 16当且仅当x4y,即x ,y 时取等号.1 21 8【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)小组合作型利用均值不等式比较代数式的大小(1)已知a,b,c是两两不等的实数,则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_.(2)给出下列命题:若xR R,则x 2;1 x若a0,b0,则 lg alg b2;lg alg b若a0,b0,则ab2;1 ab不等式 2 成立的条件是x0 且y0.其中正确命题的序号是_.y xx y【精彩点拨】 (1)由于p是平方和的形式,而q是a,b,c两两乘积的和,联想均值不等式求解.(2)解本小题关键
6、是弄清均值不等式适用的条件.【自主解答】 (1)a,b,c互不相等,a2b22ab,b2c22bc,a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac).即a2b2c2abbcac,亦即pq.(2)只有当x0 时,才能由均值不等式得到x 22,故错误;当a0,b01 xx1x时,lg aR R,lg bR R,不一定有 lg a0,lg b0,故 lg alg b2不一lg alg b定成立,故错误;当a0,由均值不等式可得ab22,故1 abab1 ab正确;由均值不等式可知,当 0, 0 时,有 22 成立,这时只需x与yy xx yy xx yy xx y4同号即可,故错误.【答案】 (
7、1)pq (2)1.在理解均值不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件,即ab2成立的条件是aba0,b0,等号成立的条件是ab;a2b22ab成立的条件是a,bR R,等号成立的条件是ab.再练一题1.设a0,b0,试比较,的大小,并说明理由. ab 2aba2b2 22 1 a1 b【导学号:18082044】【解】 a0,b0, ,1 a1 b2ab即(当且仅当ab时取等号),ab2 1 a1 b又(ab 2)2a22abb2 4,a2b2a2b2 4a2b2 2(当且仅当ab时等号成立),ab 2a2b2 2而,故(当且仅当ab时等号
8、成立).abab 2a2b2 2ab 2ab2 1 a1 b不等式的证明已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:abc.abbcca【精彩点拨】 【自主解答】 a0,b0,c0,5ab20,bc20,ca20.abbcca2(abc)2(),abbcca即abc.abbcca由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立.abc.abbcca1.所证不等式一端出现“和式” ,而另一端出现“积式” ,这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征
9、是以“已知”看“可知” ,逐步推向“未知”.3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立;(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型,再使用.再练一题2.已知a0,b0,ab1,求证:9.(11 a)(11 b)【证明】 法一:因为a0,b0,ab1,所以 1 12 .同理 1 2 .1 aab ab a1 ba b故(11 a)(11 b) (2b a)(2a b)52549.(b aa b)所以9(当且仅当ab 时取等号).(11 a)(11 b)1 2法二:1 1
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