2021_2022学年高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修52483.pdf
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1、.下载后可自行编辑修改,页脚下载后可删除。3.2 均值不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解均值不等式的证明过程 2能利用均值不等式证明简单的不等式及比拟代数式的大小(重点、难点)3熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题(重点)1.通过均值不等式的证明过程的学习,表达了学生的逻辑推理的素养 2借助利用不等式求最值的学习,培养学生的数学运算的素养.1重要不等式 如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取“)2均值不等式abab2(1)均值不等式成立的条件:a0,b0;(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号 3算术平均值与几何平均值(1)设a0,b0,那么a,b的算术平均值为
2、ab2,几何平均值为ab;(2)均值定理可表达为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值 4用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值(2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值 1假设x0,那么x4x的最小值是()A2 B3 C2 2 D4 D x0,4x0,x4x2x4xx4x,即x2 时,等号成立 2a,bR,且ab0,那么以下结论恒成立的是()Aa2b22ab Bab2ab C1a1b2ab Dbaab2.下载后可自行编辑修改,页脚下载后可删除。D 利用均值不等式需注意各数必须是正数,不等式a2b22ab的使用条件是a,bR.对于 A,当ab时,a2b
3、22ab,所以 A 错误;对于 B,C,虽然ab0,只能说明a,b同号,当a,b都小于 0 时,B,C 错误;对于 D,因为ab0,所以ba0,ab0,所以baab2baab,即baab2 恒成立 3假设 0ab且ab1,那么以下四个数中最大的是()A12 Ba2b2 C2ab Da B a2b2(ab)22ab(ab)22ab2212.a2b22ab(ab)20,a2b22ab 0ab且ab1,a0,y0 且xy1,那么xy的最大值为_ 14 当x0,y0 时,xy2xy,xyxy2214.当且仅当xy12时,等号成立 利用均值不等式比拟大小【例 1】(1)ma1a2(a2),n22b2(b
4、0),那么m,n之间的大小关系是()Amn Bmq(1)a2,ama1a2(a2)1a22,m2a21a224,即m4,)由b0 得b20,2b22,22b24,即nn.(2)a,b,c互不相等,a2b22ab,b2c22bc,a2c22ac 2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac,亦即pq.1在理解均值不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条件 2 运用均值不等式比拟大小时应注意成立的条件,即ab2ab成立的条件是a0,b0,等号成立的条件是ab;a2b22ab成立的条件是a,bR,等号成立的条件是ab 1设a0,b0,试比拟ab2,ab,a2b22,21a1b的
5、大小,并说明理由 解 a0,b0,1a1b2ab,即ab21a1b(当且仅当ab时取等号),又ab22a22abb24 a2b2a2b24a2b22,ab2a2b22(当且仅当ab时等号成立),而abab2,故a2b22ab2ab21a1b(当且仅当ab时等号成立).下载后可自行编辑修改,页脚下载后可删除。不等式的证明【例 2】a,b,c为正数,且abc1,证明:1a1b1c9.证明 1a1b1cabcaabcbabcc 3baabcaaccbbc 32229.当且仅当abc13时,等号成立 1 所证不等式一端出现“和式,而另一端出现“积式,这便是应用均值不等式的“题眼可尝试用均值不等式证明
6、2利用均值不等式证明不等式的策略 从已证不等式及问题的条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“看“可知,逐步推向“未知 3利用均值不等式证明不等式的注意点(1)屡次使用均值不等式时,要注意等号能否成立;(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型,再使用 2a0,b0,ab1,求证:11a11b9.证明 法一:因为a0,b0,ab1,所以 11a1aba2ba.同理 11b2ab.故11a11b2ba2ab 52baab549.下载后可自行编辑修改,页脚下载后
7、可删除。所以11a11b9(当且仅当ab12时取等号)法二:11a11b11a1b1ab1abab1ab12ab,因为a,b为正数,ab1,所以abab2214,于是1ab4,2ab8.因此11a11b189(当且仅当ab12时等号成立)均值不等式的实际应用【例 3】如下图,动物园要围成一样面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成现有 36 m 长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?解 设每间虎笼长x m,宽y m,那么由条件知,4x6y36,即 2x3y18.设每间虎笼面积为S,那么Sxy.法一:由于 2x3y2 2x3y2 6xy,所
8、以 2 6xy18,得xy272,即Smax272,当且仅当 2x3y时,等号成立 由 2x3y18,2x3y,解得 x4.5,y3.故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使每间虎笼面积最大 法二:由 2x3y18,得x932y.x0,0y6,Sxyy932y32y(6y)0y0.S326yy22272.当且仅当 6yy,即y3 时,等号成立,此时x4.5.故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使每间虎笼面积最大.下载后可自行编辑修改,页脚下载后可删除。1在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立
9、相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案 2对于函数yxkx(k0),可以证明x(0,k及k,0)上均为减函数,在k,)及(,k上都是增函数求此函数的最值时,假设所给的范围含k,可用均值不等式,不包含k就用函数的单调性 3某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用 12 万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加 4 万元该船每年捕捞总收入 50 万元(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?解(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元,
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