2019版高中数学 第一章 计数原理疑难规律方法学案 苏教版选修2-3.doc
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1、- 1 -第一章第一章 计数原理计数原理1 两个计数原理的灵活应用计数问题是数学中的重要研究对象,除了分类计数原理和分步计数原理的理论支持,对于较复杂的计数问题要针对其问题特点,灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决,使问题的解决更加实用、直观下面通过典例来说明.1.列举法例 1 某公司电脑采购员计划用不超过 300 元的资金购买单价分别为 20 元、40 元的鼠标和键盘,根据需要,鼠标至少买 5 个,键盘至少买 3 个,则不同的选购方式共有_种解析 依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解若买 5 个鼠标,则可买键盘 3、4、5 个;若买 6 个鼠标,则可买键盘 3、4 个;若买
2、 7 个鼠标,则可买键盘 3、4 个;若买 8 个鼠标,则可买键盘 3 个;若买 9 个鼠标,则可买键盘 3 个根据分类计数原理,不同的选购方式共有 322119(种)答案 9点评 本题背景中的数量不少,要找出关键数字,通过恰当分类和列举可得列举看似简单,但在解决问题中显示出其实用性,并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律2树形图法例 2 甲、乙、丙三人传球,从甲开始传出,并记为第一次,经过 5 次传球,球恰好回到甲手中,则不同的传球方法的种数是_解析 本题数字不大,可用树形图法,结果一目了然如下图,易知不同的传球方法种数为 10.答案 10点评 应用两个计数原理时,如果涉及的问题较抽
3、象,且数量不太多时,可以用树状结构直观体现3列表法例 3 四个人各写一张贺年卡,放在一起,然后每个人取一张不是自己写的贺年卡,共有多- 2 -少种不同的取法?解 把四个人分别编号、,他们写的 4 张贺年卡的各种方法全部列举出来,如下表:四个人取贺年卡的方法222333444134144133441412212313221321方法编号123456789由表格可知,共有 9 种不同的方法点评 本题是一个错排问题,难以直接运用两个计数原理计算借助表格,把各种情况一一列出,使问题直观解决4直接法例 4 已知某容器中,H 有 3 种同位素,Cl 有 2 种同位素,Na 有 3 种同位素,O 有 4 种
4、同位素,请问共可组成多少种 HCl 分子和 NaOH 分子?解 因为 HCl 分子由两个原子构成,所以分两步完成:第 1 步,选择氢原子,共有 3 种;第2 步,选择氯原子,共有 2 种由分步计数原理得共有 6 种 HCl 分子同理,对于 NaOH 而言,分三步完成:第 1 步,选择钠原子,有 3 种选法;第 2 步,选择氧原子,有 4 种选法;第 3 步,选择氢原子,有 3 种选法由分步计数原理知,共有 NaOH 分子种数为 34336(种)点评 当问题情景中的规律明显,已符合分类计数原理或分步计数原理中的某一类型时,可直接应用公式计算结果,但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.-
5、3 -2 排列、组合的破解之术排列、组合,说它难吧,其实挺简单的,就是分析事件的逻辑步骤,然后计算就可说简单吧,排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情,同样难度的几道题,做顺了,三下五除二,几分钟内解决问题;做不顺,则如一团乱麻,很长时间也理不顺思路下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法!1特殊元素优先法对于有特殊要求的元素的排列、组合问题,一般应对有特殊要求的元素优先考虑例 1 将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列,记第i个数为ai(i1,2,6),若a11,a33,a55,a1a3a5,则不同的排列方法有_种解析 由题意,a11,a33,a55,a1a3a5
6、.第一步,可以先排a1,a3,a5,只有 5 种方法;第二步,再排a2,a4,a6,有 A 种方法由分步计数原理得,不同的排列方法有3 35A 30(种)3 3答案 302相邻问题捆绑法把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列例 2 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有_种解析 先将两位老人排在一起有 A 种排法,再将 5 名志愿者排在一起有 A 种排法,最后将2 25 5两位老人插入 5 名志愿者间的 4 个空位中有 C 种插入方法,由分步
7、计数原理可得,不同的1 4排法有 A A C 960(种)2 25 51 4答案 9603不相邻问题插空法某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间例 3 高三(一)班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是_解析 先排 4 个音乐节目和 1 个曲艺节目有 A 种方法,这 5 个节目之间以及两端共有 6 个5 5空位,从中选两个放入舞蹈节目,共有 A 种放法所以两个舞蹈节目不连排的排法共有2 6A A 3 600(种)5
8、 52 6- 4 -答案 3 6004至多至少问题间接法对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单,可先考虑无限制条件的排列,再减去其反面情况的种数例 4 从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_种解析 从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有 A种选法,其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有 C A 种,故共有 A C A 36(种)选3 51 2 2 43 51 2 2 4法答案 365多类元素组合分类取出当题目中元素较多,取出的情况也有多种时,可按
9、结果要求,分成不相容的几类情况分别计算,最后总计例 5 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有_种解析 如果用两种颜色,则有 C 种颜色可以选择,涂法有 2 种如果用 3 种颜色涂色,有2 6C 种颜色可以选择,涂法有 C C (C 1)18(种)3 61 31 21 2所以,不同涂色种数为 C 2C 18390(种)2 63 6答案 3906排列、组合混合先选后排对于排列与组合的混合问题,宜先用组合选取元素,再进行排列例 6 某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,
10、每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有_种解析 首先把 5 个班分成 4 组,即 2,1,1,1,有种方法然后把 4 组分配到 4 个工C2 5C1 3C1 2C1 1 A3 3厂,每个工厂安排一组有 A 种方法由分步计数原理可得不同的安排方法4 4有A 240(种)C2 5C1 3C1 2C1 1 A3 34 4答案 2403 排列、组合中的“分组”与“分配”辨析- 5 -分组分配问题在排列组合问题中占有很重要的位置,并且分组分配问题比较复杂,也是大家学习中的一个难点,下面通过实例来剖析各种各样的分组分配问题1互异元素的“均匀分组”例 1 6 本不同的书,分成三份,每份 2 本,共有多少
11、种不同的分法?解 因为平均分组与顺序无关,在 C C C 90 种分法中,每一种分法重复出现了 A 次,2 62 42 23 3只能算作一次如将 6 本书a,b,c,d,e,f分成ab,cd,ef三组是一种分法,而解答中考虑它们之间的顺序有 A 种分法,具体如下表.3 3步骤第一组第二组第三组分法 1abcdef分法 2abefcd分法 3cdabef分法 4cdefab分法 5efabcd分法 6efcdab以上的分法,实际上加入了组的顺序性,但像分法 1,2,3,4,5,6,实际上是同一种分法,所以要除以 A 来消除顺序,故共有15 种分法3 3C2 6C2 4C2 2 A3 32互异元素
12、的“均匀分配”例 2 6 本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人 2 本,共有多少种不同的分法?解 由例 1 可知,将 6 本不同的书均匀分成 3 组,共有种分法,然后将 3 组书再分配C2 6C2 4C2 2 A3 3给甲、乙、丙三人,与顺序有关,所以共有A C C C 90 种分法C2 6C2 4C2 2 A3 33 32 6 2 4 2 2也可这么理解:先取 2 本给甲有 C 种方法,再取 2 本给乙有 C 种方法,余下 2 本给丙有 C2 62 4种方法,取的过程实际已经将书进行了分配,故共有 C C C 90 种分法2 22 62 42 23互异元素的“非均匀分组”例 3 6 本不同的
13、书,分成三份,一份 3 本,一份 2 本,一份 1 本,共有多少种不同的分法?解 先取 1 本作一堆有 C 种方法,再取 2 本作一堆有 C 种方法,余下 3 本作一堆有 C 种1 62 53 3方法,由于每组的数目不同,所以不会出现重复的分法,故共有 C C C 60(种)分法1 62 53 34互异元素的“非均匀分配”例 4 6 本不同的书,分给甲、乙、丙三人,一人 3 本,一人 2 本,一人 1 本,共有多少种- 6 -不同的分法?解 先分组,再分配,甲、乙、丙三人得到的书不同(数目不同或数目相同但书不同)应视作是不同的分配方法,所以与顺序有关即:首先,不平均分成三堆有 C C C 种方
14、法,1 62 53 3然后再分给甲、乙、丙三人有 A 种方法,共有 C C C A 360(种)分法3 31 62 53 33 35互异元素的“部分平均分组”例 5 6 本不同的书,分成三份,有两份各 1 本,另一份 4 本,共有多少种不同的分法?解 三组中有两组是平均分组,这两组是无序的,应对这两组消序故共有15C1 6C1 5C4 4 A2 2种分法以上五类问题是十分典型的“分组分配”问题,它的每一个小题都是一种类型,我们要认真领会计数时常有下面的结论:“无对象的均匀分配”问题,只需按“有对象的均匀分配”问题列式后,再除以组数的全排列数,对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问
15、题,前者只需分步完成,后者先分组,后排列4 “隔板法”在计数问题中的妙用“隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景,并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决下面剖析一下隔板法适用条件,并选择几个实例来加以说明1隔板法的适用条件排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题,是排列组合中的难点问题,这类问题的基本模型是:将n个相同元素分组到m个不同对象中(nm),每个对象至少有一个元素这类问题必须满足三个条件:小球必须相同;盒子必须不同;每个盒子至少有一个小球当满足这三个条件时,我们可以采用隔板法2隔板法的实际应用应用 1 20 个相同的小球放入编号为 1 号、2 号、
16、3 号的三个盒子里,要求每个盒子都不空,问有多少种放法?解 如下图,用“0”表示小球,0000|00000000|00000000在上图中,在 0 与 0 之间的 19 个空档中插入 2 块隔板即可将小球分成 3 组,同时能够保证每组中至少有一个小球,所以一共有 C171 种放法2 19点评 解决此类问题的关键是,看题目情景是否满足隔板法的条件,若满足,则直接套用公式即可应用 2 方程x1x2x3x420 的正整数解有多少个?- 7 -解 该问题转化为:将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是 4 个盒子得到的小球数,右边的 20看成是 20 个相同的小球这样就相当于 20 个相同的小球放入
17、4 个盒子里,要求每个盒子至少有一个小球,共有多少种不同的分配方法?这样,类似应用 1 可知,所以共有 C9693 19种点评 不定方程x1x2x3xmn(n,mN N*,nm)的正整数解个数问题可以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象(nm),每个对象至少有一个元素”的模型,进而采用隔板法求解整体概括:通过对隔板法的应用,可得下列结论结论 1:把n个相同的元素分成m组分配给m个人,每组不允许落空,则可将n个元素排成一排,从n1 个间隔中,选出m1 个插上隔板,每一种隔板的插法对应一种分配方法,则分配方法数NC.m1n1结论 2:把n个相同的元素分成m组分配给m个人,某些组允许落空,则可将m
18、1 个隔板和n个元素排成一排,每一种隔板的插法对应一种分配方法,则分配方法数NC.m1mn1试一试1将 7 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种?(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种?解 (1)将 7 个相同的小球排成一排,在中间形成的 6 个空格中插入无区别的 3 个“隔板”将球分成 4 份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则不同的放入方式共有C 20 种3 6(2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列,即从 10 个位置中选 3 个位置安排隔板,故共有 C120 种放入方式3 102某市教委准备在当地的
19、 9 所重点中学中选派 12 名优秀青年教师参加在职培训,每所学校至少一个名额,求不同的分配方案的种数解 从结果入手,理解相同元素的分堆问题,设计“隔板法分堆” ,将一种分配方法和一个组合建立一一对应,实际问题化归为组合数求解该事件的实质为将 12 个相同的元素分成9 堆,每一堆至少一个元素, “隔板法分堆” ,即在 12 个相同元素构成的 11 个空中插入 8 个隔板,其方法有 C165 种.8 115 排列、组合中的数学思想1分类讨论思想- 8 -例 1 如果一个三位正整数形如“a1a2a3” ,满足a1a2,且a3a2,则称这样的三位数为凸数(120,363,374 等),那么所有的凸数
20、个数为_解题提示 本题中的三位正整数,要求中间一位数字最大,需根据中间数字所有可能的情况分类讨论;另外要注意首位与个位上的数字允许重复解析 由题意知:a10,a22.下面只需对a22,a23,a29 分别进行讨论,并求其值后求和当a22 时,a1,a3只能从 0,1 中取,a1只能取 1,a3可取 0,1,排出“a1a2a3”共有 2 种;当a23 时,a1从 1,2 中任取一个有 C 种,a3从 0,1,2 中任取一个有1 2C 种,所以共有 C C 种;当a24 时,a1从 1,2,3 中任取一个有 C 种,a3从 0,1,2,3 中1 31 21 31 3任取一个有 C 种,所以共有 C
21、 C 种;当a29 时,a1从 1,2,3,8 中任取一个有1 41 31 4C 种,a3从 0,1,2,8 中任取一个有 C 种,共有 C C 种综上,可得组合成所有的1 81 91 81 9凸数个数为 2C C C C C C C C C C C C C C 240.1 21 31 31 41 41 51 51 61 61 71 71 81 81 9答案 240点评 本题中分类的标准非常明确,即中间数字的取值情况对于分类标准明确、分类情况多的题目,要有耐心逐个求解,最后求和正确地进行求解运算也是求解此类题目的一个关键点例 2 从3,2,1,0,1,2,3,4 八个数字中任取 3 个不重复的
22、数字分别作为a、b、c的值构成二次函数yax2bxc.试问:(1)共可组成多少个不同的二次函数?(2)在这些二次函数图象中,以y轴为对称轴的有多少条?经过原点且顶点在第一或第三象限的有多少条?解题提示 二次函数要求a0,可以优先考虑a的取值;也可以用排除法结合顶点在第一象限或第三象限对a,b,c的符号要求进行分析是解决第(2)问的关键解 (1)方法一 因为yax2bxc是二次函数,所以a0.因此,可从3,2,1,1,2,3,4 中选取一个排在a的位置上,有 C 种选法b,c的取值没有特殊1 7要求,所以从剩余的 6 个非零元素加上 0 共 7 个元素中选取两个有 C 种选法,再把它们排2 7在
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