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1、1章末综合测评章末综合测评( (二二) ) 推理与证明推理与证明(满分:150 分 时间:120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在 R R 上是偶函数”的推理过程是( )A归纳推理B类比推理C演绎推理 D非以上答案C C 根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理,故选 C.2在ABC中,E、F分别为AB、AC的中点,则有EFBC,这个问题的大前提为( ) 【导学号:31062183】A三角形的中位线平行于第三边B三角形的中位线等于第三边的一半CEF为中位线DEFB
2、CA A 这个三段论推理的形式为:大前提:三角形的中位线平行于第三边;小前提:EF为ABC的中位线;结论:EFBC.3用数学归纳法证明:“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)” 从“k到k1”左端需增乘的代数式为( )A2k1 B2(2k1)C D2k1 k12k3 k1B B 当nk时左端的第一项为(k1),最后一项为(kk)当nk1 时,左端的第一项为(k2),最后一项为(2k2)左边乘以(2k1)(2k2),同时还要除以(k1)4下列推理正确的是( )A把a(bc)与 loga(xy)类比,则有 loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与 sin(xy)类比,则有 sin
3、(xy)sin xsin yC把a(bc)与axy类比,则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比,则有(xy)zx(yz)D D (xy)zx(yz)是乘法的结合律,正确5已知abc0,则abbcca的值( )【导学号:31062184】A大于 0 B小于 02C不小于 0 D不大于 0D D 法一:因为abc0,所以a2b2c22ab2ac2bc0,所以abbcca0.a2b2c2 2法二:令c0,若b0,则abbcca0,否则a、b异号,所以abbccaab0,排除 A、B、C,故选 D.6对“a,b,c是不全相等的正数” ,给出下列判断:(ab)2(bc)2(ca)20;ab与b
4、c及ac中至少有一个成立;ac,bc,ab不能同时成立其中判断正确的个数为( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个B B 若(ab)2(bc)2(ca)20,则abc,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,故正确ab与bc及ac中最多只能有一个成立,故不正确由于“a,b,c是不全相等的正数” ,有两种情形:至多有两个数相等或三个数都互不相等,故不正确7我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体下列几何体中,一定属于相似体的有( )两个球体;两个长方体;两个正四面体;两个正三棱柱;两个正四棱锥A4 个 B3 个C2 个 D1 个C
5、C 类比相似形中的对应边成比例知,属于相似体8观察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10( )A28 B76C123 D199C C 利用归纳法,ab1,a2b23,a3b3431,a4b4437,a5b57411,a6b611718,a7b7181129,a8b8291847,a9b9472976,a10b107647123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和9对任意的锐角,下列不等式中正确的是( )Asin()sin sin 3Bsin()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos D D 因为,为锐角,所以
6、0,所以 cos cos()又cos 0,所以 cos cos cos()10在等差数列an中,若a100,则有等式a1a2ana1a2a19n(n2,则x,y中至少有一个大于 1,在用反证法证明时,假设应为_. 【导学号:31062186】解析 “至少有一个”的反面为“一个也没有” ,即“x,y均不大于 1” ,亦即“x1 且y1” 答案 x,y均不大于 1(或者x1 且y1)14当n1 时,有(ab)(ab)a2b2,当n2 时,有(ab)(a2abb2)a3b3,当n3 时,有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4,当nN N*时,你能得到的结论是_解析 根据题意,由于当n1 时,有(
7、ab)(ab)a2b2,当n2 时,有(ab)(a2abb2)a3b3,当n3 时,有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4,当nN N*时,左边第二个因式可知为anan1babn1bn,那么对应的表达式为(ab)(anan1babn1bn)an1bn1.答案 (ab)(anan1babn1bn)an1bn115有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数字是_解析 法一:
8、由题意得丙的卡片上的数字不是 2 和 3.若丙的卡片上的数字是 1 和 2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3,则甲的卡片上的数字是 1 和 3,满足题意;若丙的卡片上的数字是 1 和 3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3,则甲的卡片上的数字是 1 和 2,不满足甲的说法5故甲的卡片上的数字是 1 和 3.法二:因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2,所以丙的卡片上必有数字 2.又丙的卡片上的数字之和不是 5,所以丙的卡片上的数字是 1 和 2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是 1,所以乙的卡片上的数字是 2 和 3,所以甲的卡片上的数字是 1 和 3.答案 1 和 316
9、现有一个关于平面图形的命题:同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个a2 4棱长为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为_. 【导学号:31062187】解析 解法的类比(特殊化),易得两个正方体重叠部的体积为.a3 8答案 a3 8三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 10 分)用综合法或分析法证明:(1)如果a,b0,则 lg ;ab 2lg alg b 2(2)22.6103证明 (1)当a,b0 时,有,ab
10、 2ablglg,ab 2ablg lg ab.ab 21 2lg alg b 2(2)要证22,6103只要证()2(22)2,6103即 22,这是显然成立的,6048所以,原不等式成立18(本题满分 12 分)观察:tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101,tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广,此推广是什么?并证明你的推广解 从已知观察到 10206090,1075590,因此猜测推广式为若,且,都不为k(kZ Z),则 tan tan 2 26tan tan tan tan
11、1.证明如下:由,得. 2 2因为 tan()tan.又因为 tan(),( 2)1 tan tan tan 1tan tan 所以 tan tan tan()(1tan tan )(1tan tan ),所1 tan 以 tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )tan tan 1tan tan tan tan 1 tan 1.19(本题满分 12 分)设a0,b0,ab1,求证: 8.试用综合法和分析1 a1 b1 ab法分别证明. 【导学号:31062188】解 法一(综合法)a0,b0,ab1,1ab2,
12、,ab ,4.abab1 21 41 ab又 (ab)2 4,1 a1 b(1 a1 b)b aa b 8(当且仅当ab 时等号成立)1 a1 b1 ab1 2法二(分析法)a0,b0,ab1,要证 8,1 a1 b1 ab只要证8,(1 a1 b)ab ab只要证8,(1 a1 b) (1 b1 a)即证 4,1 a1 b也就是证4,ab aab b即证 2.b aa b由基本不等式可知,当a0,b0 时, 2 成立,所以原不等式成立b aa b720(本题满分 12 分)已知函数f(x)ax(a1)x2 x1(1)证明:函数f(x)在(1,)上为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)0 没
13、有负数根. 【导学号:31062189】解 (1)法一:任取x1、x2(1,),不妨设x10,ax2x11 且ax10,ax2ax1ax1(ax2x11)0,又x110,x210,x22 x21x12 x11x22x11x12x21 x11x210,3x2x1 x11x21于是f(x2)f(x1)ax2ax10,x22 x21x12 x11故函数f(x)在(1,)上为增函数法二:f (x)axlnax1x2 x12axln a3 x12a1,ln a0,axln a0,3 x12f (x)0 在(1,)上恒成立,即f(x)在(1,)上为增函数(2)法一:设存在x00,ax00,x02 x01f
14、(x0)0.综上,x0,即方程f(x)0 无负数根821(本题满分 12 分) (1)椭圆C:1(ab0)与x轴交于A、B两点,点P是x2 a2y2 b2椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:为定ANBM值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题:双曲线1(a0,b0)与x轴交于A、B两点,点x2 a2y2 b2P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:AN为定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程). BM【导学号:31062190】解 (1)证明如下:设点P(x0,y0)(x0a)依题意,得A(a,0),B(a,0)
15、,所以直线PA的方程为y(xa),y0 x0a令x0,得yM.同理得yN.ay0 x0aay0 x0a所以yMyN.a2y2 0 a2x2 0又点P(x0,y0)在椭圆上,所以 1,x2 0 a2y2 0 b2因此y(a2x)2 0b2 a22 0所以yMyNb2.a2y2 0 a2x2 0因为(a,yN),(a,yM),ANBM所以a2yMyNb2a2.ANBM(2)(a2b2)22(本题满分 12 分)各项都为正数的数列an满足a11,aa2.2n12n(1)求数列an的通项公式;(2)求证:对一切nN N*恒成立1 a11 a21 an2n1解 (1)aa2,2n12n数列a为首项为 1,公差为 2 的等差数列,2na1(n1)22n1,2n又an0,则an.(nN N*)2n19(2)证明:由(1)知,即证 1.1312n12n1当n1 时,左边1,右边1,所以不等式成立当n2 时,左边右边,所以不等式成立假设当nk(k2,kN N*)时不等式成立,即 1,1312k12k1当nk1 时,左边11312k112k12k112k12k122k1 2k12k12 2k1 2k122k12k11所以当nk1 时不等式成立由知对一切 nN*不等式恒成立
限制150内