2019高中数学 第一章 1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3 定积分的概念学案 新人教A版选修2-2.doc
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1、11 15 5 定积分的概念定积分的概念1 15 51 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1 15 52 2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程1 15 53 3 定积分的概念定积分的概念学习目标:、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程,了解“以直代曲” “以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)自 主 预 习探 新 知1曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(1)曲边梯形的面积曲线梯形:由直线xa,xb(ab),y0 和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图 151所示)求曲边
2、梯形面积的方法把区间a,b分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲” ,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图 151所示)图 图图 151求曲边梯形面积的步骤:分割,近似代替,求和,取极限(2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动,速度函数vv(t),那么也可以采用分割,近似代替,求和,取极限的方法,求出它在atb内所作的位移s.2定积分的概念如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点ax0x1xi1xixnb将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi1
3、,xi上任取一点i(i1,2,n)作和式f(i)x f(i),当n时,上述和式无限接近某个常数,这ni1ni1ba n个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dxb ab a2.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分limnni1 ba nfi区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式思考:f(x)dx是一个常数还是一个变量?f(x)dx与积分变量有关系吗?b ab a提示由定义可得定积分f(x)dx是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上、b a下限,而与积分变量没有关系,即f(x)dxf(t)dtf(u)du
4、.b ab ab a3定积分的几何意义与性质(1)定积分的几何意义由直线xa,xb(ab),x轴及一条曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为S,则有: 图 152在区间a,b上,若f(x)0,则Sf(x)dx,如图 152所示,即f(x)dxS.b ab a在区间a,b上,若f(x)0,则Sf(x)dx,如图 152所示,即f(x)b ab adxS.若在区间a,c上,f(x)0,在区间c,b上,f(x)0,则Sf(x)dxf(x)c ab cdx,如图 152所示,即(SA,SB表示所在区域的面积)b afxdxSASB(2)定积分的性质kf(x)dxk f(x)dx(k为常数);b ab
5、 a3 f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx;b ab ab af(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)b ac ab c基础自测1思考辨析(1)f(x)dxf(t)dt.( )b ab a(2)f(x)dx的值一定是一个正数( )b a(3) 2xdx 2xdx( )1 02 0答案 (1) (2) (3)2在“近似代替”中,函数f(x)在区间xi,xi1上的近似值( )A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi,xi1)D以上答案均正确C C 作近似计算时,xxi1xi很小,误差可忽略,所以f(
6、x)可以是xi,xi1上任一值f(i)3图 153 中阴影部分的面积用定积分表示为( )图 153A. 2xdx1 0B. (2x1)dx1 0C. (2x1)dx1 04D. (12x)dx1 0B B 根据定积分的几何意义,阴影部分的面积为 2xdx 1dx (2x1)dx.1 01 01 04已知x2dx ,x2dx , 1dx2,则 (x21)dx_. 1 01 32 17 32 02 0【导学号:31062080】解析 x2dx ,x2dx , 1dx2,1 01 32 17 32 0 (x21)dxx2dxx2dx 1dx2 01 02 12 0 21 37 3 2.8 314 3
7、答案 14 3合 作 探 究攻 重 难求曲边梯形的面积求由直线x0,x1,y0 和曲线yx(x1)围成的图形面积图 154解 (1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,用分点 ,把区间0,1等分成n个小1 n2 nn1 n区间:,0,1 n 1 n,2 ni1 n,inn1 n,nn简写作(i1,2,n)i1 n,in每个小区间的长度为 x .过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个i ni1 n1 n小曲边梯形,它们的面积分别记作:S1,S2,Si,Sn.5(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积,在小区间上任取一点i1 n,ini(i1,2,n),为了计算方便,取i为小区间的左端点
8、,用f(i)的相反数f(i)为其一边长,以小区间长度 x 为另一边长的小矩形对应(i1 n)(i1 n1)1 n的面积近似代替第i个小曲边梯形面积,可以近似地表示为Sif(i)x (i1,2,n)(i1 n)(i1 n1)1 n(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值,所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值,即SSi(i)xn i1n i1fn i1(i1 n)(i1 n1)1 n021222(n1)2012(n1)n(n1)1 n31 n21 n31 6(2n1)1 n2nn1 2.n21 6n21 6(1 n21)(4)取极限当分割无限变细,即 x趋向
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