物理量子力学.pptx
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1、13.1 3.1 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示 二、二、算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质 三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符 RETURNRETURNRETURNRETURN第1页/共108页23.1 3.1 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符 引引 量子力学量特点:量子力学量特
2、点:任何状态下,一般具有一任何状态下,一般具有一系列可能值,每个可能值以一定的概率出现。系列可能值,每个可能值以一定的概率出现。经典力学量特点:经典力学量特点:任何状态下,都有确定解。任何状态下,都有确定解。力学量如何表示力学量如何表示 一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示第2页/共108页31.1.1.1.力学量的期望值与算符的关系力学量的期望值与算符的关系力学量的期望值与算符的关系力学量的期望值与算符的关系 (1)(1)坐标的期望值坐标的期望值同同 理:理:粒子处于处的概率密度粒子处于处的概率密度 所以 量子态的平均值(力学量量子态的平均值(力学
3、量F F在在 态中的平态中的平均值)称为期望值。均值)称为期望值。第3页/共108页4(2)(2)势能期望值势能期望值 (3)(3)动量的期望值动量的期望值 粒子动量概率密度粒子动量概率密度 粒子动量期望值粒子动量期望值 x分量:(以一维情况为例)分量:(以一维情况为例)其中其中 第4页/共108页5所以所以第5页/共108页6同同 理:理:推广至三维情况推广至三维情况 由此得到计算期望值的一个新的数学工具由此得到计算期望值的一个新的数学工具 算符算符 一般地,粒子的任何一个力学量一般地,粒子的任何一个力学量A的期望值:的期望值:第6页/共108页7结论结论:量子力学中力学量的期望值量子力学中
4、力学量的期望值A与相与相 应的算符对应应的算符对应 第7页/共108页82.2.力学量的可能值与算符的关系力学量的可能值与算符的关系 一维无限深势阱中运动粒子一维无限深势阱中运动粒子能量的可能值即为相应算符的本征值。能量的可能值即为相应算符的本征值。能量可能值能量可能值第8页/共108页9结论结论:力学量力学量F的可能值与相应算符的本征值对应的可能值与相应算符的本征值对应 量子力学中力学量与力学量算符的这种对量子力学中力学量与力学量算符的这种对应关系称之为:应关系称之为:力学量算符表示力学量。力学量算符表示力学量。基本假定:基本假定:如果力学量如果力学量F的相应算为的相应算为 ,则力学量则力学
5、量F的可能值即为的可能值即为 的本征值的本征值,当系当系统处于统处于 的本征态时的本征态时,力学量力学量F 有确定值,有确定值,亦即在亦即在态中态中 的本征值。的本征值。第9页/共108页103.3.3.3.量子力学中力学量算符的构成规则量子力学中力学量算符的构成规则量子力学中力学量算符的构成规则量子力学中力学量算符的构成规则 例例 角动量角动量 角动量算符角动量算符 如果量子力学中的力学量如果量子力学中的力学量F在经典力在经典力学中有相应的力学量,则表示这个力学学中有相应的力学量,则表示这个力学量的算符量的算符 由经典表示式由经典表示式F(r,p)中将中将r,p换成相应的算符而构成。换成相应
6、的算符而构成。RETURNRETURNRETURNRETURN第10页/共108页11二、二、二、二、算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质 2 2基本性质基本性质 其中其中为任意函数为任意函数,则称两算符相等则称两算符相等,即即1 1定义定义 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号的运算符号 (1 1)算符相等)算符相等(2 2)单位算符)单位算符如果两算符如果两算符 满足满足作用到任意函数作用到任意函数上上,不变不变第11页/共108页12(3 3)算符之和)算符之和满足:满足:加法交换律加法交换律 加法结合律加法结合律 (
7、4 4)算符乘积)算符乘积一般一般 ,则称二者不对易。则称二者不对易。则称两算符对易。则称两算符对易。若若 ,为任意函数为任意函数,即即两算符与之和定义为两算符与之和定义为两算符与之积定义为两算符与之积定义为第12页/共108页13则称两算符反对易。则称两算符反对易。若若 ,为任意函数为任意函数,即即(5 5)逆算符)逆算符或或 如果两算符满足如果两算符满足 则称两者互为逆算符则称两者互为逆算符.记记 且有且有设设 能唯一的解出能唯一的解出,则定义则定义 的逆算符为的逆算符为第13页/共108页14(6 6)算符的转置、复共轭及厄米共轭)算符的转置、复共轭及厄米共轭 量子系统任意两波函数的标积
8、:量子系统任意两波函数的标积:性质性质:算符的转置算符算符的转置算符 或或第14页/共108页15证明证明:第15页/共108页16 例题 求动量的转置算符。求动量的转置算符。所以所以 算符的复共轭算符算符的复共轭算符 把算符中的所有复量换成共轭复量。把算符中的所有复量换成共轭复量。如:动量的复共轭算符如:动量的复共轭算符 解 第16页/共108页17厄米共轭算符厄米共轭算符或或 因因,为任意函数为任意函数,于是于是 (7 7)幺正算符:)幺正算符:若若 或或 ,则称则称为么正算符。为么正算符。第17页/共108页18(8 8)算符的函数)算符的函数其中其中(9 9)线性算符)线性算符满足运算
9、规则满足运算规则的算符的算符 称为线性算符,称为线性算符,c1 1,c2 2是任意常数。是任意常数。第18页/共108页19(1010)厄米算符)厄米算符 可以证明可以证明:若若 ,即即 ,则称则称为厄米算符为厄米算符 例例 动量算符动量算符 是线性算符是线性算符 注:注:期望值为实数的算符必为厄米算符。期望值为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的期望值都是实数。厄米算符的期望值都是实数。所以所以 是实数。是实数。第19页/共108页20注:注:厄米算符的本征值必为实数。厄米算符的本征值必为实数。设设 因为因为 所以所以 则有则有 3 3算符的本征值方程算符的本征值方程 则称则称为为 的本征值,
10、的本征值,为属于为属于的本征函数,的本征函数,上述方程称为算符上述方程称为算符 的本征值方程。的本征值方程。如果算符如果算符 作用于一个函数作用于一个函数,结果等于,结果等于乘上一个常数乘上一个常数乘上这个函数乘上这个函数,即即第20页/共108页21 例题例题 证明动量算符是厄米算符。证明动量算符是厄米算符。解解 因为因为所以所以 或或 例题例题 证明证明 解解 所以所以 因为因为RETURNRETURNRETURNRETURN第21页/共108页22三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性
11、、厄米算符 1 1线性:线性:态叠加原理的要求。态叠加原理的要求。2 2厄米性:厄米性:因力学量的可能值为相应算符的因力学量的可能值为相应算符的 本征值,且应为实数,而厄米算本征值,且应为实数,而厄米算 符的本征值定为实数。符的本征值定为实数。结论:量子力学中表示力学量的量子力学中表示力学量的 算符应该为线性厄米算符。算符应该为线性厄米算符。RETURNRETURNRETURNRETURN第22页/共108页233.2 3.2 3.2 3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 一、动量算符一、动量算符一、动量算符一、动量算符 二、角动量算符二、角
12、动量算符二、角动量算符二、角动量算符 RETURNRETURNRETURNRETURN第23页/共108页243.2 3.2 3.2 3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 一、动量算符一、动量算符一、动量算符一、动量算符 本征值方程:本征值方程:三个分量方程:三个分量方程:解之得解之得第24页/共108页25归一化常数的确定:归一化常数的确定:动量的本征函数动量的本征函数所以所以 RETURNRETURNRETURNRETURN第25页/共108页26二、角动量算符二、角动量算符二、角动量算符二、角动量算符 直角分量:直角分量:角动量平方算符
13、:角动量平方算符:第26页/共108页27在球坐标系中:在球坐标系中:第27页/共108页28因为因为第28页/共108页29所以所以第29页/共108页30第30页/共108页31角动量平方算符的本征函数和本征值角动量平方算符的本征函数和本征值 分离变量分离变量 代入上式,再乘以代入上式,再乘以 ,得,得 由由 第31页/共108页32由周期性条件由周期性条件所以所以得得由归一化条:由归一化条:得得第32页/共108页33令令 ,则化为连带勒让德方程则化为连带勒让德方程 x=1 1是正则奇点,其余点均为常点是正则奇点,其余点均为常点,利用级数解法,利用级数解法,时,时,当当得物理上允许的解:
14、得物理上允许的解:第33页/共108页34所以所以,角动量动量平方算符的本征函数角动量动量平方算符的本征函数球谐函数球谐函数由归一化条件:由归一化条件:角动量平方算符的本征值:角动量平方算符的本征值:角动量角动量z分量算符的本征函数和本征值:分量算符的本征函数和本征值:第34页/共108页35注:注:角动量平方、角动量角动量平方、角动量z分量算符的本征值分量算符的本征值对应于对应于 的一个本征值:的一个本征值:2L2)1(h,+ll有有2 2l+1+1个不同的本征函数,称为个不同的本征函数,称为2 2l+1+1度简并的,度简并的,l称角量子数,称角量子数,m称磁量子数。称磁量子数。封闭性:封闭
15、性:RETURNRETURNRETURNRETURN第35页/共108页363.3 3.3 3.3 3.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性 一、正交性一、正交性一、正交性一、正交性 二、完备性二、完备性二、完备性二、完备性 三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值 RETURNRETURNRETURNRETURN第36页/共108页373.3 3.3 3.3 3.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完
16、备性厄米算符本征函数的正交性和完备性 一、正交性一、正交性一、正交性一、正交性 1.1.定义:定义:如果两函数满足如果两函数满足 则称两函数相互正交。则称两函数相互正交。2.2.定理:定理:厄米算符的属于不同本征值的两个厄米算符的属于不同本征值的两个 本征函数相互正交。本征函数相互正交。证明:设厄米算符的本征函数为证明:设厄米算符的本征函数为 相应的本征值为相应的本征值为 第37页/共108页38对于不同本征值的本征函数,如对于不同本征值的本征函数,如 所以,两函数正交。所以,两函数正交。注:注:对于属于对于属于 的简并的波函数,的简并的波函数,一般相互间不一定正交,但可采用施密特正交化一般相
17、互间不一定正交,但可采用施密特正交化方法使其正交归一化。方法使其正交归一化。第38页/共108页393.3.正交归一系正交归一系 满足条件:满足条件:函数系函数系 构成正交归一系。构成正交归一系。l l 或或k例:例:(1 1)线性谐振子能量本征函数构成正交归一系)线性谐振子能量本征函数构成正交归一系 )(2221xHeNnxnnaa-=或或第39页/共108页40(2 2)角动量)角动量z z分量算符的本征函数构成正交归一系分量算符的本征函数构成正交归一系 (3 3)角动量平方算符的本征函数构成正交归一系)角动量平方算符的本征函数构成正交归一系 (4 4)一维无限深方势阱(宽为)一维无限深方
18、势阱(宽为a)的能量本征函数)的能量本征函数 构成正交归一系构成正交归一系 RETURNRETURNRETURNRETURN第40页/共108页41二、完备性二、完备性二、完备性二、完备性 1.1.定理定理 厄米算符厄米算符F的本征函数的本征函数 构成一完备的正构成一完备的正交函数系,由该函数系为基矢所张开的空间称交函数系,由该函数系为基矢所张开的空间称为希尔伯特空间(函数空间)。体系的任何一为希尔伯特空间(函数空间)。体系的任何一个状态个状态 可以可以 为基展开为级数,即为基展开为级数,即 (F具有分立谱)具有分立谱)(F具有连续谱)具有连续谱)或或 其中其中其中其中第41页/共108页42
19、2.2.本征函数完备性条件本征函数完备性条件封闭性关系封闭性关系 分立谱:分立谱:上式中上式中 其中其中第42页/共108页43连续谱:连续谱:封闭性关系:封闭性关系:既有分立谱又有连续谱:既有分立谱又有连续谱:封闭性关系:封闭性关系:其中其中第43页/共108页44(1 1)归一化条件归一化条件 (2 2)任一力学量平均值)任一力学量平均值 注:注:物理意义:物理意义:表示任意表示任意 态中态中,系统处于系统处于 (本征值为(本征值为 )的概率。)的概率。2nCn nl l的物理意义的物理意义 RETURNRETURNRETURNRETURN第44页/共108页45三、力学量的可能测值三、力
20、学量的可能测值三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值 态下态下,多次测量力学量的平均值趋于一个多次测量力学量的平均值趋于一个确定值,而每次测量的结果,围绕平均值有一确定值,而每次测量的结果,围绕平均值有一个涨落个涨落,若体系处于一种特殊状态,使得测量力学若体系处于一种特殊状态,使得测量力学量所得的结果是完全确定的,即涨落为零量所得的结果是完全确定的,即涨落为零 对于特殊状态显然有对于特殊状态显然有 为常数。为常数。第45页/共108页46记记基本假定:基本假定:测量力学量时,所有可能出现的值测量力学量时,所有可能出现的值 都是相应的线性厄米算符的本征值。都是相应的线性厄米算符的本征值。第46
21、页/共108页47 解解 根据根据 把把 按动量本征函数展开按动量本征函数展开 其中其中因为因为,例题例题 已知氢原子处于基态,已知氢原子处于基态,求其电子动量的概率分布。求其电子动量的概率分布。第47页/共108页48所以,动量几率分布密度:所以,动量几率分布密度:RETURNRETURNRETURNRETURN第48页/共108页493.4 3.4 3.4 3.4 算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系 不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系 一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系 二、对易关系的物理意义二、对易关系的物
22、理意义二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义 三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系 RETURNRETURNRETURNRETURN第49页/共108页503.4 3.4 3.4 3.4 算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系 不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系 一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系 1.1.基本对易式基本对易式 因为因为所以所以第50页/共108页51同理:同理:2.2.角动量算符的对易式角动量算
23、符的对易式 同理:同理:第51页/共108页52角动量算符定义:角动量算符定义:Levi-Civita符号符号 同理可证:同理可证:即即其中其中第52页/共108页53 例题例题 证明证明因因 是任意的函数,所以是任意的函数,所以 解解 取任意函数取任意函数 ,由于,由于第53页/共108页54 解解 例题例题 证明证明 。,因为因为所以所以又因又因同理同理同理同理RETURNRETURNRETURNRETURN第54页/共108页55二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义 证明:证明:设设 ,1.1.定理:定理:定理:定理:如果两个算符如果两
24、个算符 和和 有一组共同的本征有一组共同的本征 函数,而且组成完备系,则算符函数,而且组成完备系,则算符 和和 对易。对易。Fnf fGFG因为因为即有即有一般情况:设任意波函数态为一般情况:设任意波函数态为,因,因 组成完备组成完备 系,所以系,所以nf f第55页/共108页56即有即有 设设 ,则,则 因为因为所以所以证明:证明:(1 1)非简并)非简并 2.2.定理:定理:定理:定理:如果两个算符如果两个算符 、对易,则这两个算符对易,则这两个算符 有共同的本征函数,这些本征函数组成有共同的本征函数,这些本征函数组成 完备系。完备系。F G即即 也是本征值为也是本征值为 的本征函数的本
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