考研数学公式手册随身看.pdf
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1、.目 录 一、高等数学 1(一)函数、极限、连续 1(二)一元函数微分学 5(三)一元函数积分学 13(四)向量代数和空间解析几何 21(五)多元函数微分学 30(六)多元函数积分学 37(七)无穷级数 42(八)常微分方程 49 二、线性代数 54(一)行列式 54(二)矩阵 56(三)向量 59(四)线性方程组 62(五)矩阵的特征值和特征向量 64(六)二次型 66 三、概率论与数理统计 68(一)随机事件和概率 68(二)随机变量及其概率分布 72(三)多维随机变量及其分布 74(四)随机变量的数字特征 78(五)大数定律和中心极限定理 80(六)数理统计的根本概念 82(七)参数估计
2、 84(八)假设检验 86 经常用到的初等数学公式 88 平面几何 89.一、高等数学(一)函数、极限、连续 考试容 公式、定理、概念 函数和隐函数 函数:设有两个变量x和y,变量x的定义域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则,变量y有一个确定的值与之对应,则称变量y为变量x的函数,记作:yf x 根本初等函数的性质及其图 形,初等函数,函数关系的建立:根本初等函数包括五类函数:1 幂函数:yxR;2 指数函数xya(0a 且1a);3 对数函数:logayx(0a 且1a);4 三角函数:如sin,cos,tanyx yx yx等;5 反三角函数:如 arcsin,arccos,a
3、rctanyx yx yx等.初等函数:由常数C和根本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成,并可用一个数学式子表示的函数,称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及 其 性质,函数的左极限1000lim()()()xxf xAfxfxA 2000lim()()(),lim()0 xxxxf xAf xAa xa x其中 3(保号定理).与右极限 0lim(),0(0),0 xxf xAAA设又或则 一个,000(,),()0()0)xxxxxf xf x当且时,或 无穷小和无穷大的概念及其 关系,无穷小的性质及无穷小的比拟 lim)0,lim()0 xx设(()(1)lim0,()(
4、)xxxx若则是比(高阶的无穷小,记为(x)=o(x).()(2)lim,()()xxxx 若则是比(低阶的无穷小,()(3)lim(0),()()xc cxxx若则与(是同阶无穷小,()(4)lim1,()()xxxx若则与(是等价的无穷小,记为(x)(x)()(5)lim(0),0,()()kxc ckxxx若则是(的k 阶无穷小 0 x 常用的等阶无穷小:当时 sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx2111 cos21(1)1nxxxxn 无穷小的性质(1)有限个无穷小的代数和为无穷小(2)有限个无穷小的乘积为无穷小(3)无穷小乘以有界变量为无穷小.Th 在同
5、一变化趋势下,无穷大的倒数为无穷小;非零的无穷小的倒数为无穷大 极限的四则运算 lim(),lim().f xAg xB则(1)lim()()f xg xAB;(2)lim()()f x g xA B;()(3)lim(0)()f xABg xB 极限存在的两个准 则:单调有界准则和夹逼准则,两个重 要 极限:1()()(),xxf xx0夹逼定理)设在的邻域内,恒有(00lim()lim(),xxxxxxA且0lim()xxf xA则 2 单调有界定理:单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限:0sin(1)lim1xxx10(2)lim(1)exxx 重要公式:0010111011,lim
6、0,nnnnmmxmmanmba xa xaxanmb xb xbxbnm 4 几个常用极限特例 lim1,nnnlim arctan2xx lim arctan2xx lim arccot0,xx.lim arccotxxlim e0,xx lim e,xx 0lim1,xxx 函数连续的概念:函数连续 点的类 型:初等函数的连续性:闭区间上连续函数的性质 连续函数在闭区间上的性质:(1)(连续函数的有界性)设函数 f x在,a b上连续,则 f x 在,a b上有界,即常数0M,对任意的,xa b,恒有 fxM.(2)(最值定理)设函数 f x在,a b上连续,则在,a b上 f x至少取
7、得最大值与最小值各一次,即,使得:max,a x bff xa b;min,a x bff xa b.(3)(介值定理)假设函数 f x在,a b上连续,是介于 f a与 f b(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在,a b 上至少一个,使得.fab.(4)(零点定理或根的存在性定理)设函数 f x在,a b上连 续,且 0f af b,则在,a b至少一个,使得 0.fab(二)一元函数微分学 考试容 对应公式、定理、概念 导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和 物理意义 1导数定义:0000()()()limxf xxf xfxx1 或 0000()()()limxxf xf xf
8、xxx 2 2 函数()f x在0 x处的左、右导数分别定义为:左导数:00000000()()()()()limlim,()xxxf xxf xf xf xfxxxxxxx 右导数:0000000()()()()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx 函数的可导性与连续性之间的关系,平面曲线的切线和 法线 Th1:函数()f x在0 x处可微()f x在0 x处可导 Th2:假设函数()yf x在点0 x处可导,则()yf x在点0 x处连续,反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:0()fx存在00()()fxfx 00()()(,)f xxxf xM xy0设函数
9、在处可导,则在处的 0000000-()()1-(),()0.()yyfxxxyyxxfxfx 切线方程:法线方程:.导数和微分的四则运算,初等函数的导数,四则运算法则:设函数()uu x,()vv x在点x可导则(1)()uvuv()d uvdudv(2)()uvuvvu()d uvudvvdu(3)2()(0)uvuuvvvv 2()uvduudvdvv 根本导数与微分表(1)yc常数 0y 0dy (2)yx(为实数)1yx 1dyxdx(3)xyalnxyaa lnxdyaadx 特例 (e)exx(e)exxddx(4)1lnyxa 1lndydxxa 特例 lnyx1(ln)xx
10、1(ln)dxdxx(5)sinyxcosyx(sin)cosdxxdx(6)cosyxsinyx (cos)sindxxdx (7)tanyx221seccosyxx 2(tan)secdxxdx(8)cotyx221cscsinyxx 2(cot)cscdxxdx (9)secyxsectanyxx(sec)sectandxxxdx(10)cscyxcsc cotyxx (csc)csc cotdxxxdx (11)arcsinyx211yx 21(arcsin)1dxdxx(12)arccosyx211yx 21(arccos)1dxdxx .(13)arctanyx211yx 21(a
11、rctan)1dxdxx(14)arccotyx211yx 21(arccot)1dxdxx (15)yshxychx()d shxchxdx(16)ychxyshx()d chxshxdx 复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分 法,1 反函数的运算法则:设()yf x在点x的*邻域单调连 续,在点x处可导且()0fx,则其反函数在点x所对应的 y处可导,并且有1dydxdxdy 2 复合函数的运算法则:假设()x在点x可导,而()yf 在对应点()x)可导,则复合函数()yfx在点x可 导,且()()yfx 3 隐函数导数dydx的求法一般有三种方法:(1)方程两边对x求导
12、,要记住y是x的函数,则y的函数是 x的复合函数.例如1y,2y,ln y,ey等均是x的复合函数.对x求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由(,)0F x y 知(,)(,)xyF x ydydxF x y,其中,(,)xF x y,(,)yFx y分别表示(,)F x y对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性.高 阶 导数,一阶微分形式的 不 变性,常用高阶导数公式 1()()()ln(0)(e)exnxnxnxaaaa 2()(sin)sin()2nnkxkkxn 3()(cos)cos()2nnkxkkxn 4()()(1)(1)mnm-nxm m-m-n+x 5()(1)(1
13、)!(ln)(1)nnnnxx 6莱布尼兹公式:假设()()u x,v x均n阶可导,则()()()0()nniin-ini=uvc u v,其中(0)u=u,(0)v=v 微分中值 定理,必达法则,泰勒公式 Th1(费马定理)假设函数()f x满足条件:(1)函数()f x在0 x的*邻域有定义,并且在此邻域恒有 0()()f xf x或0()()f xf x,(2)()f x在0 x处可导,则有 0()0fx Th2(罗尔定理)设函数()f x满足条件:(1)在闭区间,a b上连续;(2)在(,)a b可导,则在(,)a b一个,使 ()0f Th3(拉格朗日中值定理)设函数()f x满足
14、条件:(1)在,a b上连续;(2)在(,)a b可导;则在(,)a b一个,使 ()()()f bf afba Th4(柯西中值定理)设函数()f x,()g x满足条件:(1)在,a b上连续;(2)在(,)a b可导且()fx,()g x均存在,.且()0g x则在(,)a b一个,使 ()()()()()()f bf afg bg ag 洛必达法则:法则 (00型)设函数 ,f xg x满足条件:00lim0,lim0 xxxxf xg x;,f xg x在0 x的邻域可导(在0 x处可除外)且 0gx;0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx
15、 法则I(00型)设函数 ,f xg x满足条件:lim0,lim0 xxfxg x;一个0X,当xX 时,f xg x可导,且 0gx;0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx 法则(型)设函数 ,f xg x满足条件:00lim,limxxxxf xg x ;,f xg x在0 x 的邻域可.导(在0 x处可除外)且 0gx;0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx同理法则II(型)仿法则I可写出 泰勒公式:设函数()f x在点0 x处的*邻域具有1n阶导 数,则对该邻域异于0 x的任意点x,在0 x与x之
16、间至少 一个,使得 2000001()()()()()()2!fxfxfxxxfxxx()00()()()!nnnfxxxRxn 其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn称为()f x在点0 x处的n阶泰勒余项.令00 x,则n阶泰勒公式()21(0)()(0)(0)(0)()2!nnnffxffxfxxRxn(1)其中(1)1()()(1)!nnnfRxxn,在 0 与x之间.(1)式称为麦克劳林公式 常用五种函数在00 x 处的泰勒公式 1211e12!(1)!nxnxxxxenn .或 2111()2!nnxxxo xn 1311sinsinsin()3!2(1)!2nnxn
17、xnxxxnn 或 31sin()3!2nnxnxxo xn 1211cos1coscos()2!2(1)!2nnxnxnxxnn 或 211cos()2!2nnxnxo xn 1231111(1)ln(1)(1)23(1)(1)nnnnnxxxxxxnn 或 23111(1)()23nnnxxxxo xn 2(1)(1)(1)(1)12!mnm mm mmnxmxxxn 11(1)(1)(1)(1)!nm nm mmnxn 或 2(1)(1)12!mm mxmxx(1)(1)()!nnm mmnxo xn 函数单调性的判别,函数的极值,函数的图形的凹凸性,拐点1 函数单调性的判断:Th1 设
18、函数()f x在(,)a b区间可导,如果对(,)xa b,都有()0fx 或()0fx ,则函数()f x在(,)a b是单调增加的或单调减少 Th2 取极值的必要条件 设函数()f x在0 x处可导,且在0 x.及渐近线,用函数图形描绘函数最大值和最小值,处取极值,则0()0fx.Th3 取极值的第一充分条件设函数()f x在0 x的*一邻域可微,且0()0fx或()f x在0 x处连续,但0()fx不存在.(1)假设当x经过0 x时,()fx由+变-,则0()f x为极大值;(2)假设当x经过0 x时,()fx由-变+,则0()f x为极小值;(3)假设()fx经过0 xx的两侧不变号,
19、则0()f x不是极值.Th4(取 极 值 的 第 二 充 分 条 件)设()f x在 点0 x处 有()0fx,且0()0fx,则 当0()0fx时,0()f x为极大值;当0()0fx时,0()f x为极小值.注:如果0()0fx,此方法失效.2 渐近线的求法:(1)水平渐近线 假设lim()xf xb,或lim()xf xb,则yb 称为函数()yf x的水平渐近线.(2)铅直渐近线 假设0lim()xxf x,或0lim()xxf x,则0 xx 称为()yf x的铅直渐近线.(3)斜渐近线 假设()lim,lim()xxf xabf xaxx,则 yaxb称为()yf x的斜渐近线
20、3 函数凹凸性的判断:Th1(凹凸性的判别定理假设在 I 上()0fx 或()0fx ,则()f x在 I 上是凸的或凹的.Th2(拐点的判别定理 1)假设在0 x处()0fx,或()fx不存 在,当x变动经过0 x时,()fx变号,则00(,()xf x为拐点.Th3(拐点的判别定理 2)设()f x在0 x点的*邻域有三阶导数,且()0fx,()0fx,则00(,()xf x为拐点 弧微分,曲率的概念,曲率半径 1.弧微分:21.dSy dx 2.曲率:曲线()yf x在点(,)x y处的曲率322.(1)yky 对于参数方程(),()xtyt3222()()()().()()ttttkt
21、t 3.曲率半径:曲线在点M处的曲率(0)k k 与曲线在点M处的曲率半径有如下关系:1.k(三)一元函数积分学.考试容 对应公式、定理、概念 原函数和不定积分的概念,不定积分的根本性质 根本性质 1()()kf x dxkf x dx 0k 为常数 21212()()()()()()kkf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx 3 求导:()()f x dxf x 或微分:()()df x dxf x dx 4()()F x dxF xC或()()dF xF xCC是任意常数 根本积分 公式 111kkx dxxCk 1k 211dxCxx 12dxxCx 1lndxxCx(0,
22、1)eelnxxxxaa dxCaadxCa cossinsincosxdxxCxdxxC 221sectancosdxxdxxCx 221csccotsindxxdxxCx 1cscln csccotsindxxdxxxCx1secln sectancosdxxdxxxCx.sectanseccsccotcscxxdxxCxxdxxC tanln coscotln sinxdxxCxdxxC 2221arctanarctan1dxxdxCxCaaaxx 222arcsinarcsin1dxxdxCxCaaxx 222111lnln2211dxaxdxxCCaaxxaxx 2222lndxxx
23、aCxa 重要公式(1)(),f xl l设在上连续,则 0()()()lllfx dxfxfxdx00,2(),lfxfx dxfx当()为奇函数当()为偶函数 2f xTa()设()是以为周期的连续函数,为任意实数,则202()()().TaTTTafx dxfx dxfx dx 22201(3)4aax dxa 2200131,22 2(4)sincos1321,23nnnnnnnxdxxdxnnnnn当 为偶数当 为奇数.20,5sincossincos0,nmnxmxdxnxmxdxnm-()20sincossincos0nxmxdxnxmxdx 20,coscoscoscos00,
24、nmnxmxdxnxmxdxnm 定积分的概念和根本性质,定积分中值定理 1 定积分的根本性质(1)()()()bbbaaaf x dxf t dtf u du定积分只与被积函数和积分限有关,而与积分变量无关,即(2)()()baabf x dxf x dx (3)badxba(4)()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx(5)()()(bbaakf x dxkf x dx k为常数)(6)()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx(7)()(),()().bbaaf xg x xa bf x dxg x dx比较定理:设则(),()0;baf
25、xxa bf x dx推论:1.当0,时,2.|()|()|bbaaf x dxf x dx.(8)(),()()()bamf xM xa bm Mm baf x dxM ba估值定理:设其中为常数,则(9)(),()()()baf xa ba bf x dxba f积分中值定理:设在上连续,则在上至少 一个使1()()baff x dxba平均值公式 积分上限的函数及其导数,牛顿莱布尼兹公式 Th1()xaf xabxabF xf t dtx设函数()在,上连续,则变上限积分()对 可导()()()()xaddFxF xf t dtfxdxdx且有()()(),()()().xaF xf t
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