同余法解题.pdf
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1、五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的:两个整数,a,b,如果他们同时除以一个自然数 m,所得的余数相同,则称 a,b 对于模 m同余。记作 ab(mod.m)。读作:a 同余于 b 模 m。同余的性质也比较多,主要有以下一些:1.对于同一个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。例如 201?95 的乘积对于除数 7,与 2017 的余数 5 和 957 的余数 4 的乘积 20 对于7 同余。2.对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。例如 519 和 399 对于一个除数同余,那么这个除数一定是
2、519 与 399 的差的因数,即 519与 399 的差一 定能被这个除数整除。3.对于同一个除数,如果两个数同余,那么他们的乘方仍然同余。例如 20 和 29 对于一个除数同余,那么 20 的任何次方都和 29 的相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。4对于同一个除数,若三个数 ab(mod m),bc(mod m),那么 a,b,c 三个数对于除数 m 都同余(传递性)例如 60 和 76 同余于模 8,76 和 204 同余于模 8,那么 60,76,204 都同余于模 8。5.对于同一个除数,若四个数 ab(mod m),cd(mod m),那么 accd(mod m),
3、(可加减性)6.对于同一个除数,若四个数 ab(mod m),cd(mod m),那么 accd(mod m),(可乘性)二、中国剩余定理解法一个数被 3 除余 1,被 4 除余 2,被 5 除余 4,这个数最小是几解法:求 3 个数:第一个:能同时被 3 和 4 整除,但除以 5 余 4,即 12X224第二个:能同时被 4 和 5 整除,但除以 3 余 1,即 20X240第三个:能同时被 3 和 5 整除,但除以 4 余 2,即 15x230 这 3 个数的最小公倍数为60,所以满足条件的最小数字为 2440+30-60=3412X22420X24015x230 中 2 的来历。三、解题
4、技巧同余口诀:“差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍 n 倍加”这是同余问题的口诀。1)、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。例:“一个数除以 4 余 1,除以 5 余 2,除以 6 余 3”,因为 4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为 60-3 或者 60n-32)、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。例:“一个数除以 4 余 3,除以 5 余 2,除以 6 余
5、1”,因为 4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为 60n+7。3)、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。例:“一个数除以 4余 1,除以 5 余 1,除以 6 余 1”,因为余数都是 1,所以取+1,表示为 60n+1。4)、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3 中的 60n)都满足条件,称为:“最小公倍 n 倍加”,也称为:“公倍数作周期”。三、例题解评例 1:判定 288 和 214 对于模 37 是否同余思路点拨:可直接由定义判断。解:288-2
6、14=74=372288214(mod 37)例 2、用 412、133 和 257 除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几【解析】假设这个自然数是 a,因为 412、133 和 257 除以 a 所得的余数相同,所以 a(412133),a(412257),a(257133),说明 a 是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个差的最大公约数。(155,124,279)=31,所以 a 最大是 31。例 3、249388234 除以 19,余数是几【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以 19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。因为 2492(mdo19
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