质点与刚体的运动微分方程.ppt
《质点与刚体的运动微分方程.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《质点与刚体的运动微分方程.ppt(43页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第三篇 动力学第三篇第三篇 动力学动力学返回 在静力学中,我们研究了物体在力系作用下的平衡问题。在运动学中,我们仅从几何的角度研究物体的运动规律,而未涉及物体运动变化的原因。在动力学中,我们将研究物体运动的变化与其质量、作用于其上的力之间的关系。可见动力学是理论力学的主体,静力学只是动力学的特殊情况,运动学是为动力学作必要的准备。动力学是在生产实践过程中形成和发展的,随着现代工业和科学技术的发展,在机械、水利、建筑、采矿、化工、航空航天等工程实际中,都需要应用动力学的基本理论。在土木工程中要解决动力基础的隔振与减振,桥梁和水坝在动荷载作用下的振动及抗震,高层建筑中出现的新问题等更离不开动力学的
2、理论。我们在动力学部分着重介绍质点及刚体的运动微分方程、动能定理、达朗贝尔原理等三部分内容,为专业课的学习和今后的工作打好必要的理论基础。第七章 质点与刚体的运动微分方程第七章第七章 质点与刚体的运动微分方程质点与刚体的运动微分方程7.1 质点运动微分方程质点运动微分方程 7.2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 返回7.3 转动惯量及其计算转动惯量及其计算 本章在介绍动力学基本方程的基础上,给出质点及刚体平动、定轴转动、平面运动的运动微分方程,并应用它们求解质点和刚体动力学的两类基本问题。7.4 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 目录目录7.1 质点运动微分方程质点运动微分方
3、程7.1.1 动力学基本方程动力学基本方程 第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 在力学中把大小和形状可以忽略不计且具有质量的物体称为质质点点。作用于质点上的力与质点运动之间的关系,由牛顿第二定律表述如下:质点受到力的作用时质点受到力的作用时,所获得的加速度的大小与力的大小所获得的加速度的大小与力的大小成正比成正比,而与物体的质量成反比而与物体的质量成反比;加速度的方向与力的方向相同加速度的方向与力的方向相同。用公式表示为 ma=F 式中:m质点的质量;F作用于质点上的所有力的合力;a质点获得的加速度。该式是研究质点动力学问题的基本依据,称为动力学基本方程动力学基本方程。第七章 质
4、点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 根据动力学基本方程,当质点不受力的作用(合力为零)时,其加速度必为零,此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性惯性。两个质点受力相同时,质量大的加速度小,说明其运动状态不容易改变,即它的惯性大;质量小的加速度大,说明其运动状态容易改变,即它的惯性小。因此,质量是质点惯性的度量质量是质点惯性的度量。目录目录7.1.2 质点运动微分方程质点运动微分方程 第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 设质量为m的质点M,在合力F的作用下沿某一曲线运动,质点M的位置用对于坐标原点O的矢径r表示(如图),由运动学知该质
5、点的加速度a与矢径r的关系为 xyzOrvaM式中:v质点的速度。将上式代入牛顿第二定律公式得这就是矢量形式的质点运动微分方程。在具体计算中,都采用上式的投影形式,根据坐标系的不同有以下两种:目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程(1)直角坐标形式的质点运动微分方程 将公式 向直角坐标轴上投影,得 式中:x、y、z质点M的坐标;X、Y、Z各力在x、y、z轴上投影的代数和。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程(2)弧坐标形式的质点运动微分方程 当质点M作平面曲线运动时,将公式 向质点运动轨迹的切向和法向投影,得 式中:s质点的弧坐标;v质点的速度;曲率半径;
6、F、Fn 各力在轨迹的切向、法向上投影的代数和。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程【7.1】质量为m的质点M在坐标平面oxy内运动(如图),其运动方程为x=acos t,y=bsin t,其中:a、b、都是常量。求作用于质点上的力F。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程【解】【解】由质点的运动方程消去时间t,得 可见质点的运动轨迹是以a、b为长、短半轴的椭圆。将质点的运动方程代入弧坐标形式的运动微分方程,可求得力F的投影为 因此力F为 F=Xi+Yj=m2(xi+yj)或 F=m2r 式中:r质点M的矢径。可见力F的大小与矢径r的大小成正比,其方向则与
7、之相反,即力F的方向恒指向椭圆中心,这种力称为有心力有心力。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 例例7.2 液压减振器(如图)的活塞在获得初速度v0后,在液压缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力F正比于活塞的速度v,即F=v,其中为比例系数。求活塞相对于液压缸的运动规律,并确定液压缸的长度值。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 解解 把活塞看作一质点,作用于活塞上的力为液体的阻力F。如图所示,取活塞初始位置为坐标原点,建立x轴。列出活塞的运动微分方程 或,则上式成为 分离变量后进行积分解得活塞的速度为 v=v0e-kt 目录目录第七章 质点与刚体的运动
8、微分方程质点运动微分方程将上式写为 再次积分 解得即为活塞的运动规律。当t时,e-kt0,由v=v0e-kt 可知,活塞的速度趋于零;由上式可知,此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为 目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 【例【例7.3】如图所示,单摆由长l的细绳和质量为m的小球悬挂于O点构成。当细绳与铅垂线之间的夹角为0时,单摆由静止释放,若不计空气阻力,求绳所受的最大拉力。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 【解】【解】取小球为研究对象。小球受重力W和绳的拉力F的作用。沿小球的轨迹(以O为圆心、l为半径的圆弧)建立弧坐标,原点在铅垂位置,正方向
9、为由左向右。列出小球的运动微分方程(a)(b)由式(a)得 或 vdv=gsin ds=glsin d两边积分 得 v2=2gl(cos-cos 0)目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程代入式(b)得 2mg(cos cos 0)=Fmgcos 故 F=3mgcos 2mgcos 0显然,当=0时绳的拉力最大,最大拉力为 Fmax=mg(32cos 0)目录目录7.1.3 刚体平移的微分方程刚体平移的微分方程 第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 刚体作平移时,刚体内各点的轨迹形状相同,且同一瞬时各点的速度v 相同,加速度a也相同。因此,可以取刚体内一个点的运动
10、来代替整个刚体的运动。刚体的质心C 是一个特殊点,现用它的运动来代替刚体的平移。设质心C的速度和加速分别为vC、aC,矢径为rC,根据质点运动微分方程和质心的定义,可以证明:式中:m刚体的质量;F e 作用于刚体的所有外力的合力。该式称为矢量形式的刚体平动的微分方程,通常称为质心运动质心运动定理定理。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 将刚体平动微分方程投影到固定的直角坐标轴上,得质心运动定理的投影形式。式中:xC、yC、zC 质心的直角坐标;vCx、vCy、vCz,aCx、aCy、aCz 质心的速度和加速度在直角坐标轴上的投影;X、Y、Z 作用于刚体上的外力在直角坐标轴
11、上投影的代数和。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 【例例7.4】如图所示,将重为W 的构件沿铅垂方向吊起,在开始阶段的加速度为a,绳索与水平方向的夹角为,求绳索的张力。目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程 【解】【解】构件可看作刚体,起吊时沿铅垂方向向上作直线平移,可应用质心运动定理求解。取构件为研究对象,作用于构件上的力有重力W,绳索在A,B 处的拉力FA、FB,受力如图所示。建立相对于地面静止的直角坐标系 Oxy,由质心运动定理可得 构件以加速度a沿y 轴正向作平移,可知aCx=0、aCy=a,代入上两式,得 目录目录第七章 质点与刚体的运动微分
12、方程质点运动微分方程FA=FB故 目录目录7.2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程 设刚体在外力作用下以角速度、角加速度绕固定轴z转动,如图所示。考虑刚体内任意一点M i,由运动学知其绕z轴作圆周运动。若该质点的质量为mi,它到转动轴z的距离为ri,则它的切向加速度为 ai=ri 根据弧左边形式的运动微分方程,列出质点Mi在运动轨迹切向的微分方程 式中:Fi作用于该质点所有力的合力Fi在轨迹切向上的投影。将上式两边同乘以ri,得 目录目录第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程式中:Firi作用于该质点所有力的合力Fi对z
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 质点 刚体 运动 微分方程
限制150内