2019九年级数学上册 专题突破讲练 切线长定理和三角形的内心试题 (新版)青岛版.doc
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1、1切线长定理与三角形的内心切线长定理与三角形的内心1.1. 切线长的概念切线长的概念经过圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。说明:“切线”和“切线长”是两个不同的概念, “切线”是直线,不可度量,是无限长的;而“切线长”是切线上一条线段的长,即圆外一点与切点之间的距离,可以度量,是有一定长度的。2.2. 切线长定理切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。符号语言:PA、PB 分别切O 于 A、B,PA PB,12。说明:(1)从圆外任意一点都可以引圆的两条切线,过圆上一点只能引圆的一条切线。(2) “切线长
2、定理”为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。3.3. 三角形的内心三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心,是三角形的三个内角角平分线的交点。说明:三角形的内心一定在三角形的内部;三角形的内心,是三角形的三个内角角平分线的交点;三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。4.4. 切线长定理的基本图形研究切线长定理的基本图形研究如图,P 是O 外一点,PA、PB 是O 的两条切线,直线 OP 交O 于 D、E,交弦 AB于 C,则:2由切线长定理得:PAPB由等腰三角形三线合一性质得:PCAB,ACBC由垂径定理得:
3、;ADBDAAAD=BD 由切线性质定理得:OAAP,OBBP1234,5678由 AD、BD 分别平分PAB 和PBA 得点 D 为ABP 的内心。例题例题 如图,RtABC 的内切圆O 与两直角边 AB、BC 分别相切于点 D、E,过劣弧(不包括端点 D、E)上任一点作O 的切线 MN 与 AB、BC 分别交于点 M、N,若O 的DE半径为 r,则 RtMBN 的周长为( )A. r B. C. 2r D. r23r25MN EDOBACP解析:解析:在切线性质定理中,常见的辅助线是连接经过切点的半径,结合切线长定理可知 ,再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。MDMPNPNE 解:连
4、接 OD、OE,的内切圆,ODAB,OEBC。又ORt ABCA是的切线,且、是切点,MDMP,同理可得。,MD MPOA都是DPNPNEBDRt MBNCMBBNNMMBBNNPPMMBMDBNNEBE2r。选 C。答案:答案:C3点拨:点拨:涉及到圆的切线性质定理或判定定理时,最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径,而且半径与切线垂直。对直角三角形来说,内切圆的半径(a、b 是2abcr直角边,是斜边) 。c利用切线长定理进行推理证明利用切线长定理进行推理证明“切线长定理”为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。满分训练满分训练
5、已知O 中,AC 为直径,MA、MB 分别切O 于点 A、B。()如图,若BAC25,求AMB 的大小;()如图,过点 B 作于点 E,交O 于点 D,若 BDMA,求AMB 的大BDAC小。图图解析:解析:(1)由切线与经过切点的半径垂直,BAC25,易算MAB,再由切线长定理,可得 MAMB,则MBAMAB 得解。 (2)连接 BA、BD,可得平行四边形 BMAD 是菱形,由,可得 BAADBD,可得BAD 为等边三角形,从而可得AMB60。AAABAD 答案:答案:解:()MA 切O 于点A,有。又BAC25,90MAC。MA、MB 分别切O 于点、B。65 MABMACBAC MAMB
6、,有,。MABMBA 180()50 AMBMABMBA()如图,连接 AD、AB。 ,又,BDMA。又 BDMA。 四边形 MADB 是平行四边形。MAACBDACMAMB,四边形 MADB 是菱形,有 ADBD。又 AC 为直径,得BDAC,有 ABAD。是等边三角形,有。在菱形 MADB 中,AAABADABD60DAMB。60D点拨:点拨:利用切线长定理 时,恰当的添加辅助线,构造特殊的图形,有利于问题的快速解决。4(答题时间:(答题时间:3030 分钟)分钟)1. 一个钢管放在 V 形架内(如图) ,O 为钢管的圆心。如果钢管的半径为 25 cm,MPN60,则 OP( )A. 50
7、 cm B. 253cm C. cm D. 503cm 33502. 如图,O 是ABC 的内心,过点 O 作 EFAB,与 AC、BC 分别交于点 E、F,则( )A. EFAEBF B. EFAEBF C. EFAEBF D. EFAEBF 3. 如图,AB 为半圆 O 的半径,AD、BC 分别切于 A、B 两点,CD 切于点 E,ADOAOA与 CD 相交于 D,BC 与 CD 相交于 C,连接 OD、OC,对于下列结论:;2ODDE CDA; ;。其中正ADBCCDODOC1 2ABCDSCD OAA形形90DOC确的结论有( )A. B. C. D. 4. (武汉中考)如图,A 与B
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