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1、第 1 页(共 22 页)2013 年重庆市高考数学试卷(文科)年重庆市高考数学试卷(文科)一选择题:本大题共一选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个备选项中,只有一个选项是符合题目要求的备选项中,只有一个选项是符合题目要求的1 (5 分)已知全集 U=1,2,3,4,集合 A=1,2,B=2,3,则U(AB)=( )A1,3,4B3,4 C3 D42 (5 分)命题“对任意 xR,都有 x20”的否定为( )A存在 x0R,使得 x020 B对任意 xR,使得 x20C存在 x0R,都有D不存在 xR,使得 x203
2、 (5 分)函数 y=的定义域为( )A (,2)B (2,+)C (2,3)(3,+)D (2,4)(4,+)4 (5 分)设 P 是圆(x3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=3 上的动点,则|PQ|的最小值为( )A6B4C3D25 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( )第 2 页(共 22 页)A3B4C5D66 (5 分)如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间22,30)内的概率为( )A0.2 B0.4 C0.5 D0.67 (5 分)关于 x 的不等式 x22ax8a20(a0)的解集为(x1,x2) ,
3、且:x2x1=15,则 a=( )ABCD8 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )第 3 页(共 22 页)A180 B200 C220 D2409 (5 分)已知函数 f(x)=ax3+bsinx+4(a,bR) ,f(lg(log210) )=5,则f(lg(lg2) )=( )A5B1C3D410 (5 分)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60的直线 A1B1和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1、B1和 A2、B2分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )ABCD二填空题:本大
4、题共二填空题:本大题共 5 小题,考生作答小题,考生作答 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分把答分把答案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上11 (5 分)已知复数 z=1+2i(i 是虚数单位) ,则|z|= 12 (5 分)若 2、a、b、c、9 成等差数列,则 ca= 13 (5 分)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 14 (5 分)OA 为边,OB 为对角线的矩形中,则实数 k= 15 (5 分)设 0,不等式 8x2(8sin)x+cos20 对 xR 恒成立,则 的取值范围为 三解答题:本大题共三解答题:本大题共 6 小题
5、,共小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演第 4 页(共 22 页)算步骤算步骤16 (13 分)设数列an满足:a1=1,an+1=3an,nN+()求an的通项公式及前 n 项和 Sn;()已知bn是等差数列,Tn为前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T2017 (13 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得,()求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a;()判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;()若该
6、居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄附:线性回归方程 y=bx+a 中,其中 , 为样本平均值,线性回归方程也可写为18 (13 分)在ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a2=b2+c2+bc()求 A;()设 a=,S 为ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B的值19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,ACB=ACD=()求证:BD平面 PAC;()若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 PBDF 的体积第 5 页(共 22 页)20 (12 分)某村庄拟
7、修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) 设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 元( 为圆周率) ()将 V 表示成 r 的函数 V(r) ,并求该函数的定义域;()讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大21 (12 分)如图,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,离心率,过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A、A两点,|AA|=4()求该椭圆的标准方程;()取平行于 y 轴的直线与椭圆相
8、交于不同的两点 P、P,过 P、P作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外求PPQ 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程第 6 页(共 22 页)2013 年重庆市高考数学试卷(文科)年重庆市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题:本大题共一选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个备选项中,只有一个选项是符合题目要求的备选项中,只有一个选项是符合题目要求的1 (5 分)已知全集 U=1,2,3,4,集合 A=1,2,B=2,3,则U(AB)=( )A1,3,4B3,4 C
9、3 D4【分析】根据 A 与 B 求出两集合的并集,由全集 U,找出不属于并集的元素,即可求出所求的集合【解答】解:A=1,2,B=2,3,AB=1,2,3,全集 U=1,2,3,4,U(AB)=4故选:D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 (5 分)命题“对任意 xR,都有 x20”的否定为( )A存在 x0R,使得 x020 B对任意 xR,使得 x20C存在 x0R,都有D不存在 xR,使得 x20【分析】根据全称命题“xM,p(x) ”的否定为特称命题:“x0M,p(x) ”即可得出【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题可得:命题“对任意 x
10、R,都有 x20”的否定为“x0R,使得”故选:A【点评】熟练掌握全称命题“xM,p(x) ”的否定为特称命题“x0M,p(x) ”是解题的关键第 7 页(共 22 页)3 (5 分)函数 y=的定义域为( )A (,2)B (2,+)C (2,3)(3,+)D (2,4)(4,+)【分析】根据“让解析式有意义”的原则,对数的真数大于 0,分母不等于 0,建立不等式,解之即可【解答】解:要使原函数有意义,则,解得:2x3,或 x3所以原函数的定义域为(2,3)(3,+) 故选:C【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法,求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则,属于基础题4 (5
11、分)设 P 是圆(x3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=3 上的动点,则|PQ|的最小值为( )A6B4C3D2【分析】过圆心 A 作 AQ直线 x=3,与圆交于点 P,此时|PQ|最小,由此能求出|PQ|的最小值【解答】解:过圆心 A 作 AQ直线 x=3,与圆交于点 P,此时|PQ|最小,由圆的方程得到 A(3,1) ,半径 r=2,则|PQ|=|AQ|r=62=4故选:B第 8 页(共 22 页)【点评】本题考查线段的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用5 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( )A3B4C5D6【分析】模拟
12、执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,k 的值,当 a=时满足条件 a,退出循环,输出 k 的值为 4【解答】解:模拟执行程序框图,可得k=0,a=3,q=a=,k=1第 9 页(共 22 页)不满足条件 a,a=,k=2不满足条件 a,a=,k=3不满足条件 a,a=,k=4满足条件 a,退出循环,输出 k 的值为 4故选:B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题6 (5 分)如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间22,30)内的概率为( )A0.2 B0.4 C0.5 D0.6【分析】由茎叶图 10 个原始数据数据,数出落在区间
13、22,30)内的个数,由古典概型的概率公式可得答案【解答】解:由茎叶图 10 个原始数据,数据落在区间22,30)内的共有 4 个,包括 2 个 22,1 个 27,1 个 29,则数据落在区间22,30)内的概率为=0.4故选:B【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及茎叶图的应用,属基础题7 (5 分)关于 x 的不等式 x22ax8a20(a0)的解集为(x1,x2) ,且:x2x1=15,则 a=( )ABCD【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式,然后与已知条件化简求解 a 的值即可第 10 页(共 22 页)【解答】解:因为关于 x 的不等式 x22ax8a20(a0
14、)的解集为(x1,x2) ,所以 x1+x2=2a,x1x2=8a2,又 x2x1=15,24可得(x2x1)2=36a2,代入可得,152=36a2,解得 a=,因为 a0,所以 a=故选:A【点评】本题考查二次不等式的解法,韦达定理的应用,考查计算能力8 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A180 B200 C220 D240【分析】由三视图可知:该几何体是一个横放的直四棱柱,高为 10;其底面是一个等腰梯形,上下边分别为 2,8,高为 4;据此可求出该几何体的表面积【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个横放的直四棱柱,高为 10;其底面是一个等腰梯形,上下边
15、分别为 2,8,高为 4S表面积=2(2+8)4+2510+210+810=240故选:D第 11 页(共 22 页)【点评】本题考查由三视图还原直观图,由三视图求面积、体积,由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键9 (5 分)已知函数 f(x)=ax3+bsinx+4(a,bR) ,f(lg(log210) )=5,则f(lg(lg2) )=( )A5B1C3D4【分析】由题设条件可得出 lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数,再引入g(x)=ax3+bsinx,使得 f(x)=g(x)+4,利用奇函数的性质即可得到关于f(lg(lg2) )的方程,解方程即可得出它的值【解答】解
16、:lg(log210)+lg(lg2)=lg1=0,lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数则设 lg(log210)=m,那么 lg(lg2)=m令 f(x)=g(x)+4,即 g(x)=ax3+bsinx,此函数是一个奇函数,故 g(m)=g(m) ,f(m)=g(m)+4=5,g(m)=1f(m)=g(m)+4=g(m)+4=3故选:C【点评】本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值,解题的关键是观察验证出lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数,审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要10 (5 分)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的角第
17、12 页(共 22 页)为 60的直线 A1B1和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1、B1和 A2、B2分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )ABCD【分析】不妨令双曲线的方程为,由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知 A1,A2,B1,B2关于 x 轴对称,由满足条件的直线只有一对,得,由此能求出双曲线的离心率的范围【解答】解:不妨令双曲线的方程为,由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知 A1,A2,B1,B2关于 x 轴对称,如图,又满足条件的直线只有一对,当直线与 x 轴夹角为 30时,双曲线的渐近线与 x 轴夹角大于
18、30,双曲线与直线才能有交点 A1,A2,B1,B2,若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 30,则无交点,则不可能存在|A1B1|=|A2B2|,当直线与 x 轴夹角为 60时,双曲线渐近线与 x 轴夹角大于 60,双曲线与直线有一对交点 A1,A2,B1,B2,若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 60,也满足题中有一对直线,但是如果大于 60,则有两对直线不符合题意,tan30,即,b2=c2a2,双曲线的离心率的范围是故选:A第 13 页(共 22 页)【点评】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件二填空题:本大题共二填空题:本大题共 5 小题,考生作答小题,考生作答 5
19、小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分把答分把答案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上11 (5 分)已知复数 z=1+2i(i 是虚数单位) ,则|z|= 【分析】直接利用复数的模的求法公式,求解即可【解答】解:复数 z=1+2i(i 是虚数单位) ,则|z|=故答案为:【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力12 (5 分)若 2、a、b、c、9 成等差数列,则 ca= 【分析】由等差数列的性质可得 2b=2+9,解之可得 b 值,再由等差中项可得a,c 的值,作差即可得答案【解答】解:由等差数列的性质可得 2b=2+9,解得 b=,又可得 2a=2+b=2+=
20、,解之可得 a=,同理可得 2c=9+=,解得 c=,故 ca=故答案为:【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式,属基础题第 14 页(共 22 页)13 (5 分)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 【分析】甲、乙两人相邻,可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列,然后代入古典概率的求解公式即可求解【解答】解:记甲、乙两人相邻而站为事件 A甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6,则甲、乙两人相邻而站,把甲和乙当做一个整体,甲和乙的排列有种,然后把甲乙整体和丙进行排列,有种,因此共有=4 种站法=故答案为:【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率
21、的求解,本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列,本题是一个基础题14 (5 分)OA 为边,OB 为对角线的矩形中,则实数 k= 4 【分析】由题意可得 OAAB,故有 =0,即 =0,解方程求得 k 的值【解答】解:由于 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OAAB,=0,即 =(3,1)(2,k)10=6+k10=0,解得 k=4,故答案为 4【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,两个向量垂直的性质,两个向量的加减法及其几何意义,属于基础题15 (5 分)设 0,不等式 8x2(8sin)x+cos20 对 xR 恒成立,则 第 15 页(共 22 页)的取值范
22、围为 0, 【分析】由题意可得,=64sin232cos20 即 2sin2(12sin2)0,解不等式结合 0 可求 的取值范围【解答】解:由题意可得,=64sin232cos20,得 2sin2(12sin2)0sin2,sin,00,故答案为:0,【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题,属于中档题三解答题:本大题共三解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤16 (13 分)设数列an满足:a1=1,an+1=3an,nN+()求an的通项公式及前 n 项和 Sn;()已知bn是
23、等差数列,Tn为前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20【分析】 ()由题意可得数列an是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列,则其通项公式与前 n 项和可求;()由 b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13,可得等差数列bn的公差,再由等差数列的前 n 项和求得 T20【解答】解:()由 an+1=3an,得,又 a1=1,数列an是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列,则,第 16 页(共 22 页);()b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13,b3b1=10=2d,则 d=5故【点评】本题考查数列递推式,考查等比关系的确定
24、,训练了等差数列和等比数列前 n 项和的求法,是中档题17 (13 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得,()求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a;()判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;()若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄附:线性回归方程 y=bx+a 中,其中 , 为样本平均值,线性回归方程也可写为【分析】 ()由题意可知 n, , ,进而可得,代入可得 b 值,进而可得 a 值,可得方程;()由回归方程 x 的系数 b 的正负可判;()把
25、x=7 代入回归方程求其函数值即可【解答】解:()由题意可知 n=10, =8, =2,故 lxx=7201082=80,lxy=1841082=24,第 17 页(共 22 页)故可得 b=0.3,a=20.38=0.4,故所求的回归方程为:y=0.3x0.4;()由()可知 b=0.30,即变量 y 随 x 的增加而增加,故 x 与 y 之间是正相关;()把 x=7 代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为 y=0.370.4=1.7(千元)【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用,属基础题18 (13 分)在ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a2=b2+c2+bc()
26、求 A;()设 a=,S 为ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B的值【分析】 ()由余弦定理表示出 cosA,将依照等式变形后代入求出 cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数;()由()求出 sinA 的值,由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式,表示出 S,代入已知等式中提取 3 变形后,利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,由余弦函数的图象与性质即可求出 S+3cosBcosC 的最大值,以及此时 B 的值【解答】解:()由余弦定理得:cosA=,A 为三角形的内角,A=;()由()得 sinA=,由正
27、弦定理得:b=,csinA=asinC 及 a=得:S=bcsinA=asinC=3sinBsinC,第 18 页(共 22 页)则 S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(BC) ,则当 BC=0,即 B=C=时,S+3cosBcosC 取最大值 3【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及余弦函数的图象与性质,熟练掌握定理及公式是解本题的关键19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,ACB=ACD=()求证:BD平面 PAC;()若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 PBD
28、F 的体积【分析】 ()由等腰三角形的性质可得 BDAC,再由 PA底面 ABCD,可得PABD再利用直线和平面垂直的判定定理证明 BD平面 PAC()由侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,可得三棱锥 FBCD 的高是三棱锥 PBCD的高的求出BCD 的面积 SBCD,再根据三棱锥 PBDF 的体积 V=VPBCDVFBCD=,运算求得结果【解答】解:()BC=CD=2,BCD 为等腰三角形,再由 ,BDAC再由 PA底面 ABCD,可得 PABD而 PAAC=A,故 BD平面 PAC()侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,第 19 页(共 22 页)三棱锥 FBCD 的高是三
29、棱锥 PBCD 的高的BCD 的面积 SBCD=BCCDsinBCD=三棱锥 PBDF 的体积 V=VPBCDVFBCD=【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,用间接解法求棱锥的体积,属于中档题20 (12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) 设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 元( 为圆周率) ()将 V 表示成 r 的函数 V(r) ,并求该函数的定义域;()讨论函数 V(r)的单调性,并确定
30、 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大【分析】 (I)由已知中侧面积和底面积的单位建造成本,结合圆柱体的侧面积及底面积公式,根据该蓄水池的总建造成本为 12000 元,构造方程整理后,可将 V 表示成 r 的函数,进而根据实际中半径与高为正数,得到函数的定义域;()根据(I)中函数的定义值及解析式,利用导数法,可确定函数的单调性,根据单调性,可得函数的最大值点【解答】解:()蓄水池的侧面积的建造成本为 200rh 元,底面积成本为 160r2元,蓄水池的总建造成本为 200rh+160r2元即 200rh+160r2=12000h=(3004r2)V(r)=r2h=r2(3004r2)=(3
31、00r4r3)又由 r0,h0 可得 0r5第 20 页(共 22 页)故函数 V(r)的定义域为(0,5)()由()中 V(r)=(300r4r3) , (0r5)可得 V(r)=(30012r2) , (0r5)令 V(r)=(30012r2)=0,则 r=5当 r(0,5)时,V(r)0,函数 V(r)为增函数当 r(5,5)时,V(r)0,函数 V(r)为减函数且当 r=5,h=8 时该蓄水池的体积最大【点评】本题考查的知识点是函数模型的应用,其中()的关键是根据已知,求出函数的解析式及定义域, ()的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点21 (12 分)如图,椭圆的中心为原点 O
32、,长轴在 x 轴上,离心率,过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A、A两点,|AA|=4()求该椭圆的标准方程;()取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、P,过 P、P作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外求PPQ 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程【分析】 ()设椭圆方程为,将左焦点横坐标代入椭圆方程可得 y=,则,又,a2=b2+c2,联立可求得a,b;()设 Q(t,0) (t0) ,圆的半径为 r,直线 PP方程为:x=m(mt) ,则第 21 页(共 22 页)圆 Q 的方程为:(xt)2+y2=r2,联立圆与椭圆方程消掉 y 得 x 的二
33、次方程,则=0,易求 P 点坐标,代入圆的方程得等式,由消掉 r 得 m=2t,则,变为关于 t 的函数,利用基本不等式可求其最大值及此时 t 值,由对称性可得圆心 Q 在 y 轴左侧的情况;【解答】解:()设椭圆方程为,左焦点 F1(c,0) ,将横坐标c 代入椭圆方程,得 y=,所以,a2=b2+c2,联立解得 a=4,所以椭圆方程为:;()设 Q(t,0) (t0) ,圆的半径为 r,直线 PP方程为:x=m(mt) ,则圆 Q 的方程为:(xt)2+y2=r2,由得 x24tx+2t2+162r2=0,由=0,即 16t24(2t2+162r2)=0,得 t2+r2=8,把 x=m 代入,得,所以点 P 坐标为(m,) ,代入(xt)2+y2=r2,得,由消掉 r2得 4t24mt+m2=0,即 m=2t,=(mt)=t=2,当且仅当 4t2=t2即 t=时取等号,此时 t+r=+4,椭圆上除 P、P外的点在圆 Q 外,第 22 页(共 22 页)所以PPQ 的面积 S 的最大值为,圆 Q 的标准方程为:当圆心 Q、直线 PP在 y 轴左侧时,由对称性可得圆 Q 的方程为,PPQ 的面积 S 的最大值仍为为【点评】本题考查圆、椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查方程组的解法,考查学生的计算能力,难度较大
限制150内