2014年福建省高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 26 页)2014 年福建省高考数学试卷(理科)年福建省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每个题给出的四个分在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的选项中,只有一项是符合要求的1 (5 分)复数 z=(32i)i 的共轭复数 等于( )A23i B2+3iC23i D2+3i2 (5 分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A圆柱B圆锥C四面体 D三棱柱3 (5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6等于( )A8B10C12D14
2、4 (5 分)若函数 y=logax(a0,且 a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )ABCD5 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值等于( )第 2 页(共 26 页)A18B20C21D406 (5 分)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“OAB 的面积为”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件7 (5 分)已知函数 f(x)=,则下列结论正确的是( )Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1,+)8 (5 分)在下列
3、向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是( )A=(0,0) ,=(1,2) B=(1,2) ,=(5,2)C=(3,5) ,=(6,10)D=(2,3) ,=(2,3)9 (5 分)设 P,Q 分别为圆 x2+(y6)2=2 和椭圆+y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( )A5B+C7+D6第 3 页(共 26 页)10 (5 分)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a) (1+b)的展开式1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球,而“ab
4、”则表示把红球和蓝球都取出来以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A (1+a+a2+a3+a4+a5) (1+b5) (1+c)5B (1+a5) (1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c)5C (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c5) D (1+a5) (1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相分把答案填在答题卡的相应位
5、置应位置11 (4 分)若变量 x,y 满足约束条件,则 z=3x+y 的最小值为 12 (4 分)在ABC 中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC 的面积等于 13 (4 分)要制作一个容器为 4m3,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 (单位:元)14 (4 分)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 15 (4 分)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系:a=1;b1;c=2;d4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a
6、,b,c,d)的个数是 第 4 页(共 26 页)三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 4 小题,共小题,共 80 分解答应写出文字说明,证明过程或演分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤算步骤16 (13 分)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)(1)若 0,且 sin=,求 f()的值;(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间17 (13 分)在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD,将ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD平面 BCD,如图(1)求证:ABCD;(2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正
7、弦值18 (13 分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求:顾客所获的奖励额为 60 元的概率;顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相
8、对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由19 (13 分)已知双曲线 E:=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=2x第 5 页(共 26 页)(1)求双曲线 E 的离心率;(2)如图,O 点为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2于 A,B 两点(A,B分别在第一、第四象限) ,且OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不存在,说明理由在在 21-23 题中考生任选题中考生任选 2 题作答,满分题作答,满分 21 分分.如果多做,则按所做的前两题计如果多做,则按所
9、做的前两题计分分.作答时,先用作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中将所选题号填入括号中.选修选修 4-2:矩阵与变换:矩阵与变换20 (14 分)已知函数 f(x)=exax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线y=f(x)在点 A 处的切线斜率为1(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值;(2)证明:当 x0 时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x(x0,+)时,恒有x2cex21 (7 分)已知矩阵 A 的逆矩阵 A1=() (1)求矩阵 A;(
10、2)求矩阵 A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量五、选修五、选修 4-4:极坐标与参数方程:极坐标与参数方程22 (7 分)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数) ,圆 C 的参数方程为第 6 页(共 26 页)( 为常数) (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;(2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围六、选修六、选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲23已知定义域在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x2|的最小值为 a(1)求 a 的值;(2)若 p,q,r 为正实数,且 p+q+r=a,求证:p2+q2+r23第 7 页(共 26 页)2014 年福建省
11、高考数学试卷(理科)年福建省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分在每个题给出的四个分在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的选项中,只有一项是符合要求的1 (5 分)复数 z=(32i)i 的共轭复数 等于( )A23i B2+3iC23i D2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简 z,则其共轭可求【解答】解:z=(32i)i=2+3i,故选:C【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数的基本概念,是基础题2 (5 分)某空间几何体的正视图是三角形,
12、则该几何体不可能是( )A圆柱B圆锥C四面体 D三棱柱【分析】直接从几何体的三视图:正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状,即可【解答】解:圆柱的正视图为矩形,故选:A【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查逻辑推理能力和空间想象力,是基础题3 (5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6等于( )A8B10C12D14【分析】由等差数列的性质和已知可得 a2,进而可得公差,可得 a6【解答】解:由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12,解得 a2=4,公差 d=a2a1=42=2,第 8 页(共 26 页)a6=a1+5d=2+52=12,故选:C
13、【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题4 (5 分)若函数 y=logax(a0,且 a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )ABCD【分析】由题意可得 a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可【解答】解:由题意可知图象过(3,1) ,故有 1=loga3,解得 a=3,选项 A,y=ax=3x=()x单调递减,故错误;选项 B,y=x3,由幂函数的知识可知正确;选项 C,y=(x)3=x3,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误;选项 D,y=loga(x)=log3(x) ,当 x=3 时,y=1,但图象明显当 x=3 时,y=1,故错误第 9 页(共
14、 26 页)故选:B【点评】本题考查对数函数的图象和性质,涉及幂函数的图象,属基础题5 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值等于( )A18B20C21D40【分析】算法的功能是求 S=21+22+2n+1+2+n 的值,计算满足条件的 S 值,可得答案【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求 S=21+22+2n+1+2+n 的值,S=21+22+1+2=2+4+1+2=915,S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015输出 S=20故选:B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键6 (5 分)
15、直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“第 10 页(共 26 页)OAB 的面积为”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解:若直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则圆心到直线距离 d=,|AB|=2,若 k=1,则|AB|=,d=,则OAB 的面积为=成立,即充分性成立若OAB 的面积为,则 S=2=,即 k2+1=2|k|,即 k22|k|+1=0,则(|k|1)2=0,即|k
16、|=1,解得 k=1,则 k=1 不成立,即必要性不成立故“k=1”是“OAB 的面积为”的充分不必要条件故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角形的面积公式,以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键7 (5 分)已知函数 f(x)=,则下列结论正确的是( )Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1,+)【分析】由三角函数和二次函数的性质,分别对各个选项判断即可【解答】解:由解析式可知当 x0 时,f(x)=cosx 为周期函数,第 11 页(共 26 页)当 x0 时,f(x)=x2+1,为二次函数的一部分,故 f(x)不是单调函数,
17、不是周期函数,也不具备奇偶性,故可排除 A、B、C,对于 D,当 x0 时,函数的值域为1,1,当 x0 时,函数的值域为(1,+) ,故函数 f(x)的值域为1,+) ,故正确故选:D【点评】本题考查分段函数的性质,涉及三角函数的性质,属基础题8 (5 分)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是( )A=(0,0) ,=(1,2) B=(1,2) ,=(5,2)C=(3,5) ,=(6,10)D=(2,3) ,=(2,3)【分析】根据向量的坐标运算,计算判别即可【解答】解:根据,选项 A:(3,2)=(0,0)+(1,2) ,则 3=,2=2,无解,故选项 A 不能;选项 B:
18、(3,2)=(1,2)+(5,2) ,则 3=+5,2=22,解得,=2,=1,故选项 B 能选项 C:(3,2)=(3,5)+(6,10) ,则 3=3+6,2=5+10,无解,故选项 C 不能选项 D:(3,2)=(2,3)+(2,3) ,则 3=22,2=3+3,无解,故选项 D 不能故选:B【点评】本题主要考查了向量的坐标运算,根据列出方程解方程是关键,属于基础题第 12 页(共 26 页)9 (5 分)设 P,Q 分别为圆 x2+(y6)2=2 和椭圆+y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( )A5B+C7+D6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出
19、P,Q 两点间的最大距离【解答】解:设椭圆上的点为(x,y) ,则圆 x2+(y6)2=2 的圆心为(0,6) ,半径为,椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为=5,P,Q 两点间的最大距离是 5+=6故选:D【点评】本题考查椭圆、圆的方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题10 (5 分)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a) (1+b)的展开式1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来以此类推,下列各式中,其展
20、开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A (1+a+a2+a3+a4+a5) (1+b5) (1+c)5B (1+a5) (1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c)5C (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c5) D (1+a5) (1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)【分析】根据“1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”,分别取红球蓝球黑球,根据分步计数原理,分三步,每一步取一种球,
21、问题得以解决【解答】解:从 5 个无区别的红球中取出若干个球,可以 1 个球都不取、或取1 个、2 个、3 个、4 个、5 个球,共 6 种情况,则其所有取法为第 13 页(共 26 页)1+a+a2+a3+a4+a5;从 5 个无区别的蓝球中取出若干个球,由所有的蓝球都取出或都不取出,得其所有取法为 1+b5;从 5 个有区别的黑球中取出若干个球,可以 1 个球都不取、或取 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个球,共 6 种情况,则其所有取法为 1+c+c2+c3+c4+c5=(1+c)5,根据分步乘法计数原理得,适合要求的所有取法是(1+a+a2+a3+a4+a5) (1+b5)(1+c
22、)5故选:A【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理,合理的利用题目中所给的实例,要遵循其规律,属于中档题二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相分把答案填在答题卡的相应位置应位置11 (4 分)若变量 x,y 满足约束条件,则 z=3x+y 的最小值为 1 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最小值【解答】解:作出不等式对应的平面区域如图,由 z=3x+y,得 y=3x+z,平移直线 y=3x+z,由图象可知当直线 y=3x+z,经过点 A(0,1)时,直线y=3x+z 的
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