高等数学题库-.pdf
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1、最新高等数学题库(1)函数一、填空题:1 函数 y=arcsin92x定义域是:310103xx2.设 y=f(x)的定义域是 0,1,则复合函数f(sinx)的定义域是:zkkxk,22.3函数33xy的值域是 0 y+.4函数)1,0(11aaaxaxy的反函数是:axaxy1.5函数12xy在区间0,(内是单调增加的.在区间)0,内是单调减少.6设21)1(xxxf,(xo),则)(xf=xx211.7设1)(xxxf,则)(xfff=1xx,)(xff=x .8函数xxxxxyx4,241,1,2的反函数 y=.16,log,161,1,2xxxxxx .二选择题:1 在同一直角坐标系
2、中,函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是(D)(A)关于 y轴对称;(B)关于 x 轴对称;(C)重合;(D)关于直线 y=x 对称.2.下列几对函数中,)(xf与)(xg相同的是(C).(A)2lg)(xxf与xxglg2)((B)xxf)(与2)(xxg(C)2)(xxg与2)(xxg(D)1)(xf与xxxg)(3已知的定义域为值的定义域是(C)(A)-a,3a (B)a,3a (C)a (D)-a 4如果1)(xxxg,那么)(1(xff的表达式是(B)(A)x-1 (B)1-x (C)xx1 (D)都不是三设函数)(xfy是线性函数,已知,3)1(,1)0(ff求此函数.解:设
3、f(x)=ax+b,则有 0+b=1,a+b=-3,解得 a=-4,b=1.四证明函数1)(2xxxf在它的整个定义域内是有界.证明:f(x)的定义域为 R.xxxx1112因为2111,21xxxx所以所以:函数1)(2xxxf在它的整个定义域内是有界五试讨论函数21121)(xxf的奇偶性.解:21121)(xxf21121)(xxf211211x212211xx21212xx2121211xx212111x21211x)(xf所以21121)(xxf偶函数.(2)数列的极限一判断题:1如果数列 nu以 A 为极限,那么在数列nu增加或去掉有限项之后,说形成的新数列nu仍以 A 为极限 (
4、T)2如果0limnnnvu,则有0limnnu或0limnnv (F)3如果aannlim,且存在自然数 N,当 nN 时恒有na,则必有 a (F)(aX 时,有32312xx成立.故32312limxxn三求0)(,)(xxxxgxxxf,当时的左右极限,并说明它们在x0 时的极限是否存在?解:xxxf)(=1,所以1)(lim0 xfx.0,1,0,1)(xxxxxg所以1)(lim00 xgx,1)(lim00 xgx显然)(lim00 xgx)(lim00 xgx,故)(lim0 xgx不存在.四根据定义证明:当x0 时,函数xxy21是无穷大,问 x应满足什么条件,能使出410y
5、?证明:设 M 是任意给定的正数.要使2121xxxy M,只要x1M+2 (00 x)或x1M-2 (00 x)即:0 x1M+2 或 2-Mx1 0 所以,取21M,则对于适合21Mx的一切 x,就有2121xxxy M,所以有:xxyxx21limlim00.取 M=410,由上知 x 在下列条件下:0 x 21014或41021 x 0)成立.所以当 x时,这函数不是无穷大(4)极限的求法一判断题:下列运算是否正确:0)(lim.12xxxn (F).1)53(lim)32(lim5332lim.24343xxxxxxx (F)0lim2lim1lim)21(lim.3222222nn
6、nnnnnnnnnn(F)二计算下列极限:xxxxxx2324lim2230解:xxxxxx2324lim2230=23124lim20 xxxx=21)2141211(limnn解:)2141211(limnn=211)21(1limnn=2)1111(lim31xxx解:设31111)(xxxf,则311111)(1xxxf从而时,当,10,1lim.40 xxxarctgx从而时,当,10,21lim0 xxxarctgx)(.1lim,21lim00Txarctgxarctgxx不存在所以因为2313111lim11111lim)(1limxxxxxxfxxx=0,所以)(lim1xf
7、x即:)1111(lim31xxxxxx11lim0解:xxx11lim0=)11()11()11(lim0 xxxxx=)11(lim0 xxxx=111lim0 xx=21xarctgxxlim解:因为22arctgx所以 arctgx为有界函数.而xx1lim=0,由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxxlim=0)(limxxxxx解:)(limxxxxx=xxxxxxxxxxxxx)()(lim=xxxxxxxxx)(lim=xxxxxxxlim=xxx111111lim=21)1()1)(1(lim2nnxxx解:)1()1)(1(lim2nnxxx =xxxxxnn1
8、)1()1)(1)(1(lim2 =xxnn11lim2 =x11三已知axfxaxxxxfx存在,求且)(lim,3,3,3)(3解:)(lim03xfx=3lim03xx=0,)(lim03xfx=)(lim03axx=3+a,)(lim3xfx存在,即:)(lim03xfx=axfx3)(lim003所以.3a.(5)极限存在准则两个重要极限无穷小的比较一、判断题:1因为0 x时,tgxx,sinxx,所以0limsinlim3030 xxxxtgxxxx(F)2222)21(lim)2(limexxxxxxx (T)31sinlim)sin(limsinlimxxxtgxxxxtgxx
9、tgxxxx (F)二、计算下列极限1.xxx5sin2sinlim0解:xxx5sin2sinlim0=)525sin522sin(lim0 xxxxx=xxx22sinlim0 xxx5sin5lim052=522.xctgxx0lim解:xctgxx0lim=)cossin(lim0 xxxx=)sin(coslim0 xxxx=xxcoslim0 xxxsinlim0=1 3.xxxxsin2cos1lim0解:xxxxsin2cos1lim0=xxxxsinsin2lim20=xxxsin2lim0=xxxsinlim20=2 4.xxx1sinlim解:xxx1sinlim=xxx
10、11sinlim=xxx11sinlim01=1.5.kxxx)11(lim解:kxxx)11(lim=)()()11(limkxxx=kxxx)11(lim=ke6.xxxx)11(lim解:xxxx)11(lim=xxxx12)1(lim=xxx)121(lim=1221)2111(limxxx=)2111()2111(lim221xxxx=2e.二、证明:当 x0 时,下列各对无穷小量是等价的1.xarctgx证明:设 A=arctgx,则 x=tgA,当0 x时,0A.xarctgxx0lim=tgAAA0lim=1 2.1-cosx 22x证明:2cos1lim20 xxx=2)2s
11、in(2lim220 xxx=2202)2(2)2sin(2limxxx=2202)2()2sin(limxxx=1.四、证明:0)2124321(limnnn用两边夹法则:(解法一)夹逼准则设 F(n)=nn21243210 则2)2124321()(nnnF22222)2()12(4321nn1)2()12(14312122222nn)12()12()12(75353122nnn121n设 g(n)=0,h(n)=121n,则 g(n)=0 F(n)0 因为nnnn112(n为自然数),所以有 F(n)12254322124321nnnn =n21设 g(n)=0,h(n)=121n,则
12、g(n)=0 F(n)h(n).显然0)(limngn,0)(limnhn;由极限存在准则 I 知:0)(limnFn.证毕.另解:设 F(n)=nn2124321(0F(n)1),则 F(n+1)=122)(nnnF,有 F(n+1)0 即:nnxx1所以nx为单调有界数列,由极限存在准则II 知nx有极限.Axnnlim,则有)2(limlim21nnnnnxxx,A=2A-2A,解得:A=1 或 A=0(舍去,因为nx为递增数列且01x.)所以1limnnx(6)函数的连续性一判断题121)12)(12(1.5*313*11(limnnn(T)2.设)(xf在0 x点连续,则)lim()
13、(lim00 xfxfxxxx(T)3如果函数)(xf在,ba上有定义,在,ba上连续,且)(*)(bfaf0,则在),(ba内至少存在一点,使得(f=0 (T)4若)(xf连续,则)(xf必连续.(T)5若函数)(xf在,ba上连续且恒为正,则)(1xf在,ba上必连续.(T)6若axfxx)(lim0,且0a,则在0 x的某一邻域内恒有0)(xf.(F)70 x是函数xxxf1sin)(的振荡间断点.(F)二填空题:1xxxsinlim(1)2.xxxsinlim(0)3.123lim2312xxxxxx()4.0 x是xexf1)(的第(二)类间断点.三求xxxxsin10sin1tan
14、1lim解:xxxxsin10sin1tan1lim=1sin1tan1limsin1seccot0eexxxxxx四求函数4tan()1()(xxxxf在)2,0(内的间断点,并判断其类型.解:)(xf在2,0内的间断点有:4x,43x,45x,47x因为),(lim4xfx)(lim45xfx不存在,,1)(lim43xfx1)(lim47xfx所以43x,47x是)(xf的第一类(可去)间断点;4x,45x是)(xf的第二类间断点.五设1lim)(2212nnnxbxaxxxf,(1)求)(xf;(2)当)(xf连续时,求ba,的值.解:(1)nnnnxxbxaxxf2122231lim
15、)(112112111)(2xbxaxxbaxbaxxxf (2)(xf连续21)1(11lim)(lim0101bafxxfxx1ba21)1(11lim)(lim)01()01(bafxxfxx1ba10ba.(7)连续函数的性质一计算下列极限:12321lim4xxx解:原式=)321)(4()2)(921(lim4xxxxx=321)2(2lim4xxx=34 222011limxxx解:原式=2220)11(limxxxx=)11(lim20 xx=2 3xxxsinlnlim0解:原式=)sinlimln(0 xxx=01ln 4ctgxxtgx)31(lim0解:原式=tgxxt
16、gx330)31(lim=3310)31(limtgxxtgx=3e二证明方程bxaxsin至少有一个不超过ba的正根(其中0,0 ba).证明:设xbxaxfsin)(,则)(xf在,0ba上连续.又0)0(bf,01)sin()(baabaf.若0)(baf,则结论成立.若0)(baf,则由零点定理0)(),0(fba使得.三设)(xf在1,0上连续,且1)(0 xf,证明:至少存在一点1,0,使得)(f.证明:设xxfxF)()(,则)(xF在1,0上连续.又0)0(0)0()0(ffF,01)1()1(fF若0)1(0)0(FF或,则结论成立.若0)1(0)0(FF或,则由零点定理0)
17、()1,0(f使得.四设)(xf在),(ba上连续,且Bxfxfbxax)(lim)(lim00,又存在),(1bax使Bxf)(1.证明)(xf在),(ba上有最大值.证明:取),(1Bxf1,当10ax时,BxfBxf)()(1.即 当),(1aax时,)()(1xfxf.2,当02bx时,BxfBxf)()(1.即 当),(2bbx时,)()(1xfxf.若21ba,)(1xf为最大值),(1bax.若21ba,)(xf在,21ba上连续,必有最大值.)()(10 xfxf,210bax.在),(ba上)(xf取得最大值)(0 xf.(8)导数的概念一选择题:1.设 f(x)存在,a为常
18、数,则hahxfahxfh)()(lim0等于(C).(A)f(x);(B)0;(C)(2xfa;(D)(2xf.2.在抛物线23xy上,与抛物线上横坐标11x和22x的两点连线平行的切线方程是(B).(A)12x-4y+3=0;(B)12x+4y+3=0;(C)4x+12x+3=0;(D)12x+4y+1=0.3.若函数0,00,1sin)(xxxxxf在 x=0处(B).(A)连续且可导;(B)连续,不可导;(C)不连续;(D)都不是.二设函数1,1,)(2xbaxxxxf在处 x=1可导,求 a和 b.解:)(xf在 x=1处可导)(xf在 x=1 处连续,可得)(lim)(lim010
19、1xfxfxx即1ba (1)又)(xf在 x=1处可导,可得1)1()(lim1)1()(lim0101xfxfxfxfxx即211lim11lim20101xxxbaxxx (2)由(1),(2)得2a,1b.三设5323)(xxxxf,求)(xf.解:67)(xxf,由幂函数的导数公式可得6167)(xxf.四已知0,0,sin)(xxxxxf,求)(xf.(提示:分段点x=0处的导数用导数的定义求)解:当 x=0时,令0 xh,1sinhlim)0()0(lim00hhfhfhh;1lim)()0(lim00hhhxfhfhh.所以1)0(f0,10,cos)(xxxxf五设 f(x)
20、在),(上有连续导函数.证明 f(x)为偶函数的充要条件是:)(xf为奇函数(充分性的证明用到不定积分的概念,只证必要性).证明:对于),(0 x则有),(0 x依题意 令0 xxh有hxfhxfxfh)()(lim)(0000;hxfhxfxfh)()(lim)(0000;)(xf为偶函数).()()(lim)(00000 xfhxfhxfxfh(9)求导法与复合函数求导一填空题:1曲线xxy1与 x轴交点的切线方程是)1(2 xy.2曲线2sin2xxy在横坐标 x=0点处的切线方程是xy2,法线方程是xy21.3设xxyln1ln1,则2)ln1(2xxy.4设xxy2sin,则22si
21、n2cos2xxxxy.5设)(cos)(sin22xfxfy,则xxfxxfy2sin)(cos2sin)(sin22.二求下列函数的导数.1.52322xxy.解:3222246)2()3()523(xxxxxxy.2.xxycos2.解:)(coscos)()cos(222xxxxxxyxxxxsincos22.3.xxycossin.解:xxxxy2cos)2sin21()cos(sin.4.)13(2xxeyx.解:)13()13(22xxexxeyxx)3213(2xxxex)2(2xxex.5.110110 xxy.解:2)110()110(10ln10)110(10ln10 x
22、xxxxy2)110(10ln102xx.三.求导数:1.xy2ln1,求y.解:xxxxxy222ln1211ln2ln121)ln1(xxx2ln1ln.2.2lnxtgy,求dxdy.解:xxxxxxtgycscsin12cos2sin212sec21212.3.ttycos1sin1,求dtdy.解:2)cos1()cos1()sin1()cos1()sin1(ttttty222)cos1(sincossincosttttt2)cos1(1sincosttt.四.已知)2523(xxfy,2arctan)(xxf,求0 xdxdy.解:令2523xxu,则22)2523()25()23
23、(5)25(3)(xxarctgxxxufuy140arctgdxdyx.(10)复合函数求导(二)高阶导数一.求下列函数的导数:1.)21arcsin(2xy.解:2222124)21(11)21(xxxxxy.01,1210,1222xxxx2xeyarcsin.解:xxexxexyarcsinarcsin1121)(arcsin2arcsin2xxex.33212ttarctgy.解:1444)21()21(82)212(11)212(23623233233tttttttttty1444822363tttt.4242arcsinxxxy.解:22422)2(11212arcsinxxxx
24、xy)4242(22arcsin22xxxx2arcsinx.5xey1sin2.解:xxexxxexy1sin21sin222)1cos1sin2(1)1sin(xexx1sin222sin.二.求下列函数的二阶导数:1.)1ln(2xy.解:212xxy,222222)1()1(2)1(22)1(2 xxxxxxy.2.arctgxxy)1(2.解:1211)1(222xarctgxxxxarctgxy,2122 xxarctgxy.3.xxey.解:xxxeey,xxxxxxeexeeey2.三.求函数xxyln的 n阶导数.解:1lnxy,xy1,21 xy,3)4(2xy,一般地,可
25、得2,)!2()1(1,1ln1)(nxnnxynnn.四.设)()()(2xaxxf,其中)(x在点 a的邻域内连续,求)(af.解:)()()()22()(2xaxxaxxf.axxaxxaxaxafxfafaxax)()()()22(lim)()(lim)(2)(x在点 a的邻域内连续)()(limaxax0)(lim)()()(lim2axaaxxaxaxax.)(20)(2lim)(axafax.(11)隐函数求导法一.求由下列方程所确定的隐函数y的导数dxdy.1.yxey1.解:)(yyexyey,即yyxeey1其中 y是由方程yxey1所确定的隐函数.2.)(yxtgy.解:
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