2021年上海市春季高考数学试卷【含详解】.pdf
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1、第 1 页(共 16页)2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题共 12 题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712题每题 5 分)1已知等差数列 na的首项为 3,公差为2,则10a 2已知1 3zi,则|z i 3已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为4不等式2512xx的解集为5直线2x 与直线31 0 x y 的夹角为6若方程组111222a x b y cax by c无解,则1122abab7已知(1)nx的展开式中,唯有3x的系数最大,则(1)nx的系数和为8已知函数()3(0)3 1xxafxa的最小值为 5,则a 9在无穷等比数列 na中,1
2、lim()4nna a,则2a的取值范围是10某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟,现有五项运动可以选择,如表所示,问有几种运动方式组合.A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10 点11点11 点12点30 分钟20 分钟40 分钟30 分钟30 分钟11已知椭圆2221(0 1)yxbb 的左、右焦点为1F、2F,以O为顶点,2F为焦点作抛物线交椭圆于P,且1 245PF F,则抛物线的准线方程是12已知0,存在实数,使得对任意*n N,3cos()2n,则的最小值是二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)13下列函数中,在定义域内存在反函数的是(
3、)A2()fxxB()sinfxxC()2xfxD()1fx第 2 页(共 16页)14已知集合|1Axx,x R,2|20Bxxx,x R,则下列关系中,正确的是()AA BBRRAB痧CA B DA B R15已知函数()y fx的定义域为R,下列是()fx无最大值的充分条件是()A()fx为偶函数且关于点(1,1)对称B()fx为偶函数且关于直线1x 对称C()fx为奇函数且关于点(1,1)对称D()fx为奇函数且关于直线1x 对称16在ABC中,D为BC中点,E为AD中点,则以下结论:存在ABC,使得0AB CE;存在三角形ABC,使得/()CE CB CA;它们的成立情况是()A成立
4、,成立B成立,不成立C不成立,成立D不成立,不成立三、解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+1876分)17(14 分)四棱锥P ABCD,底面为正方形ABCD,边长为 4,E为AB中点,PE 平面ABCD(1)若PAB为等边三角形,求四棱锥P ABCD的体积;(2)若CD的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45,求PC与AD所成角的大小18(14 分)已知A、B、C为ABC的三个内角,a、b、c是其三条边,2a,1cos4C(1)若sin2sinAB,求b、c;(2)若4cos()45A,求c19(14 分)(1)团队在O点西侧、东侧 20 千米处设有A、B两站点,测量距离
5、发现一第 3 页(共 16页)点P满足|20PAPB千米,可知P在A、B为焦点的双曲线上,以O点为原点,东侧为x轴正半轴,北侧为y轴正半轴,建立平面直角坐标系,P在北偏东60处,求双曲线标准方程和P点坐标(2)团队又在南侧、北侧15 千米处设有C、D两站点,测量距离发现|30QAQB千米,|10QCQD千米,求|OQ(精确到 1米)和Q点位置(精确到 1米,1)20(16 分)已知函数()|fxx a a x(1)若1a,求函数的定义域;(2)若0a,若()fax a有 2个不同实数根,求a的取值范围;(3)是否存在实数a,使得函数()fx在定义域内具有单调性?若存在,求出a的取值范围21(1
6、8 分)已知数列 na满足0na,对任意2n,na和1na中存在一项使其为另一项与1na的等差中项(1)已知15a,23a,42a,求3a的所有可能取值;(2)已知1470aaa,2a、5a、8a为正数,求证:2a、5a、8a成等比数列,并求出公比q;(3)已知数列中恰有3项为 0,即0rstaaa,2 r s t ,且11a,22a,求111rstaaa的最大值第 4 页(共 16页)2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共 12 题,满分 54 分,第 16 题每题 4分,第 712题每题 5分)1已知等差数列 na的首项为 3,公差为2,则10a 21【思路
7、分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解【解析】:因为等差数列 na的首项为 3,公差为2,则10193 9 2 21aad 故答案为:21【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式,属于基础题2已知1 3zi,则|z i 5【思路分析】由已知求得z i,再由复数模的计算公式求解【解析】:1 3zi,1 31 2z ii ii ,则22|1 2|125z ii 故答案为:5【归纳总结】本题考查复数的加减运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础题3已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为4【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可【解析】:圆柱的底面半径为1r,高为2h,
8、所以圆柱的侧面积为221 2 4Srh 侧故答案为:4【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题,是基础题4不等式2512xx的解集为(7,2)【思路分析】由已知进行转化702xx,进行可求第 5 页(共 16页)【解析】:2525711 00222xxxxxx ,解得,72x 故答案为:(7,2)【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题5直线2x 与直线31 0 x y 的夹角为6【思路分析】先求出直线的斜率,可得它们的倾斜角,从而求出两条直线的夹角【解析】:直线2x 的斜率不存在,倾斜角为2,直线31 0 x y 的斜率为3,倾斜角为3,故直线2x 与直线31 0 x y
9、 的夹角为2 3 6 故答案为:6【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角,两条直线的夹角,属于基础题6若方程组111222a x b y cax by c无解,则1122abab0【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案【解析】:对于方程组111222a x b y cax by c,有111111222222,xyabc bacDDDabc bac,当0D时,方程组的解为xyDxDDyD,根据题意,方程组111222a x b y cax by c无解,所以0D,即11220abDab,故答案为:0【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法,这种方法
10、可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰,解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式7已知(1)nx的展开式中,唯有3x的系数最大,则(1)nx的系数和为64【思路分析】由已知可得6n,令1x,即可求得系数和【解析】:由题意,32nnCC,且34nnCC,第 6 页(共 16页)所以6n,所以令1x,6(1)x的系数和为6264故答案为:64【归纳总结】本题主要考查二项式定理考查二项式系数的性质,属于基础题8已知函数()3(0)3 1xxafxa的最小值为 5,则a 9【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”,该题只需将函数解析式变形成()
11、3 113 1xxafx,然后利用基本不等式求解即可,注意等号成立的条件【解析】:()33 1121 53 13 1xxxxaafxa ,所以9a,经检验,32x时等号成立故答案为:9【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用,以及整体的思想,解题的关键是构造积为定值,属于基础题9在无穷等比数列 na中,1lim()4nna a,则2a的取值范围是(4,0)(0,4)【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的取值范围,再由极限的运算知14a,从而得解【解析】:无穷等比数列 na,公比(1q,0)(0,1),lim 0nna,11lim()4nna aa,214(4aa qq,0)(0,4)故
12、答案为:(4,0)(0,4)【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质,极限的运算,考查学生的运算求解能力,属于基础题10某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟,现有五项运动可以选择,如表所示,问有几种运动方式组合23 种.A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10 点11点11 点12点30 分钟20 分钟40 分钟30 分钟30 分钟【思路分析】由题意知至少要选 2种运动,并且选 2种运动的情况中,AB、DB、EB的组合不符合题意,由此求出结果第 7 页(共 16页)【解析】:由题意知,至少要选 2种运动,并且选 2种运动的情况中,AB、DB、EB的组合不符合题意;
13、所以满足条件的运动组合方式为:234555553 10105 1 3 23CCCC (种)故答案为:23 种【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题,也考查了统筹问题的思想应用问题,是基础题11已知椭圆2221(0 1)yxbb 的左、右焦点为1F、2F,以O为顶点,2F为焦点作抛物线交椭圆于P,且1 245PF F,则抛物线的准线方程是12x 【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标,进而可得抛物线的方程,设出直线1PF的方程并与抛物线联立,求出点P的坐标,由此可得21 2PF FF,进而可以求出1PF,2PF的长度,再由椭圆的定义即可求解【解析】:设1(,0)F c,2(,0)F c,则抛物
14、线24ycx,直线1:PFy x c,联立方程组24ycxy x c ,解得x c,2yc,所以点P的坐标为(,2)c c,所以21 2PF FF,又22 112,2 2PF FFcPFc所以所以12 2PFc,所以12(2 22)22PF PFca,则2 1c,所以抛物线的准线方程为:12xc ,故答案为:12x 【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质,考查了学生的运算推理能力,属于中档题12已知0,存在实数,使得对任意*n N,3cos()2n,则的最小值是25【思路分析】在单位圆中分析可得3,由2*N,即2k,*k N,即可求得的第 8 页(共 16页)最小值【解析】:在
15、单位圆中分析,由题意可得n 的终边要落在图中阴影部分区域(其中)6AOx BOx,所以3AOB,因为对任意*n N都成立,所以2*N,即2k,*k N,同时3,所以的最小值为25故答案为:25【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值,考查数形结合思想,属于中档题二、选择题(本大题共 4题,每题 5分,共 20 分)13下列函数中,在定义域内存在反函数的是()A2()fxxB()sinfxxC()2xfxD()1fx【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确【解析】:选项A:因为函数是二次函数,属于二对一的映射,根据函数的定义可得函数不存在反函数,A错误,第 9 页(共 16页)
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