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1、2023年上海市春季高考数学试卷一、填 空 题(本大题共有12题,满 分 5 4 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第 1题至第6 题每个空格填对得4 分,第 7 题至第12题每个空格填对得5 分,否则一律得零分.1.(4 分)己知集合人=1,2 ,B=1,a ,且 4=B,贝!a=.2.(4 分)已知向量7=(3,4),E=(1,2),则7-2%=.3.(4分)若不等式|x-1|W 2,则实数x的取值范围为.4.(4分)已知圆C的一般方程为/+/=(),则圆C的半径为.5.(4分)已知事件A发生的概率为P(A)=0.5,则它的对立事件仄发生的概率P(A)6.(4分)己知正实数a
2、、b满足“+46=1,则成的最大值为.7.(5分)某校抽取1 0 0名学生测身高,其中身高最大值为1 8 6cm,最小值为1 54cm,根据身高数据绘制频率组距分布直方图,组距为5,且第一组下限为1 53.5,则组数为.8.(5 分)设(1-2x)4=ao+aix+ai+a,ir+a,则 ao+4 4=.9.(5 分)已知函数/(x)=2x+,且 g(x)=J l o go2 (x+1)x 0,则方程 g(x)=f (x),x2 0 2 2,都有|S&|S H 1|,则下列说法正确的是()A.41,。3,。5,,及/为等差数列,2,44,。6,,42 为等比数列B.,为等比数列,,为等差数列C
3、.41,02,43,,42022为等差数列,42022,42023,Z为等比数列D.,42022为等比数列,02022,02023,4 为等差数列a ,。1,3,。5,m&R,若对任意疣 0,1 均有f (x)Wg(x),则称函数y=g (x)是函数y=/(x)的“控制函数”,且对所有的函数y=g (x)取最小值定义为f (尤).(1)若a=2,g(x)=x,试问y=g (x)是否为y=/(x)的 控制函数;(2)若。=0,使得直线y=/?(x)是曲线y=/(x)在 =上处的切线,求证:函数)1=/?4(x)是为函数y=/(x)的“控制函数”,并求彳(1)的值;4(3)若曲线 y=/(x)在
4、x=x o (x o E (0,1)处的切线过点(1,0),且 c W|x o,1 ,求证:当且仅当c=x o或c=l时,f (c)=f(c).2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填 空 题(本大题共有12题,满 分 5 4 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第 1题至第6 题每个空格填对得4 分,第 7 题至第12题每个空格填对得5 分,否则一律得零分.1.【解答解:集合A=1,2,B=1,a ,且 A=8,则 a=2.故答案为:2.2.【解答】解:因为向量;=(3,4),b=(1,2),所以1-2 芯=(3-2X 1,4-2 X 2)=(1,0).故答案为:
5、(1,0).3.【解答】解:因为卜-1|0)0 C=(0,1,0),再 设 加 二(x,y,工),且X,y,z 0,x1+y1+z2=1,代入已知的不等式得y *_ x,y y,所以 l=x2+y2+z2 y2+y2+y2,解得y?4 多故 而“权=y 4*L故答案为:叵.7二、选 择 题(本大题共有4 题,满 分 18分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,第 13题至第14题选对得4 分,第 15题至第16题选对得5 分,否则一律得零分.1 3【解答】解:对于4,由正弦函数的性质可知,y=s i n x 为奇函数;对于8,由正弦函数的性质可知,),
6、=c o s x 为偶函数;对 于 C,由幕函数的性质可知,为奇函数;对于由指数函数的性质可知,y=2*为非奇非偶函数.故选:B.1 4 【解答】解:显然2 0 2 1 年相对于2 0 2 0 年进出口额增量增加特别明显,故最后一年的增长率最大,A对;统计图中的每一年条形图的高度逐年增加,故 B对;2 0 2 0 年相对于2 0 1 9 的进口总额是减少的,故 C错;显然进出口总额2 0 2 1 年的增长率最大,而 2 0 2 0 年相对于2 0 1 9 年的增量比2 0 1 9 年相对于 2 0 1 8 年的增量小,且计算增长率时前者的分母还大,故 2 0 2 0 年的增长率最小,。对.故选
7、:C.1 5 .【解 答 解:对于A,当 P 是 4cl的中点时,8 P 与。31 是相交直线;对 于 B,根据异面直线的定义知,B P 与 4c是异面直线;对于C,当点尸与C i 重合时,8 P 与 A O 1 是平行直线;对于力,当点P 与 C i 重合时,8 P 与 B i C 是相交直线.故选:B.1 6 .【解答】解:由对任意正整数”2 02 2,都有国 厚+1 ,可以知道42022,42033,42024,,4 不可能为等差数列,因为若 4=0,t z n 0 则|S|=|SA+I|,矛盾;若=0,a n|ST,矛盾;若 d=0,a n 0,当”一+8,S”一+8,必有使得国+|网
8、,矛盾;若 d 0,当“一+8,+,S”f+8 必有 k 使得|SK+I|SK|,矛盾;若 d欣I,矛盾;所以选项B 中的42,44,4 6,,“2”为等差数列与上述推理矛盾,故不可能正确;选项。中的4 2 02 2,02 02 3,02 02 4,,劭为等差数列与上述推理矛盾,故不可能正确;选项A中的m,。3,4 5,1为等差数列与上述推理矛盾,故不可能正确;事实上,只需取 a=2=二 2 02 2=一 1,a n:4),n 2 02 3,n N 即可故选:C.三、解 答 题(本大题共有5 题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.【解答】解:(1)连
9、接A M,PM,平面 A BC,/.A P M A为直线P M与平面A B C所成的角,在出M 中,,:A B LA C,.衣=在 2 +4 2=5,为 BC 中点,.A M=B C=5,2 2:.tanZ P M A=-,即直线P M与平面A B C所成角为ar c t an 且5 5(2)由M E平面以8,M F平面丛8,M E H M F=M,平面 M E F 平面 BA B,平面 ME F,.ME 平面.勿 _L 平面 A BC,A C u 平面 A BC,:.PA A C,:A B LA C,PA HA B=A,PA,A B u 平面 B4 B,;.A C _L 平面PA B,:.A
10、 E为直线M E到平面P A B的距离,平面 B4 8,M E u 平面 A B C,平面 A BC C l 平面 B4 8=A B,J.ME/A B,为 BC 中点,为 4 c 中点,:.A E=2,直线M E到平面P A B的距离为2.18.【解答】解:(1)因为A+C=12 0 ,且 a=2 c,由正弦定理可得 sinA=2sinC=2sin(120 -A)=V3cosA+sinA,所以 cosA=0,由A 为三角形内角可得4=90 ,C=30 ,B=60 ,因为b=2,所以c=2近;3(2)若 A-C=15 ,n=&csinA,由正弦定理得sinA=V2sinCsinA,由A 为三角形
11、内角可得sinA0,所以 s i n C=1,2由题意可得C 为锐角,所以 C=45 ,A=60 ,B=75 ,由正弦定理可得,一=一 全 =L L,sin60 sin75 2+V6所以a=”二3近-V 6.V2 W 6所以ABC 的面积 SMBC=-absinC=x ”L x 2 x 4=3 一愿.2 2 V 2 W 6 219.【解答】解:(1)s=&=兀 R2+2兀R H=R+2H;V0 HR2-H RH(2)由题意,建筑体3米,底面面积4=工,n 体 积 钝=3 A=37,由/=1 2=1 8,底面周长L=F*T,.FoL*3n+A=懵,3H+,“体形系数 S=6=1佟应+工,nGN*
12、.Vn V T 3n 100 3n计算可得=6 时,S 最小.20.【解答】解:(1)若加=2,则。2=4,廿=3,.4=2,c=a2-2 =i,.e=;a 2(2)由已知得4 (相,0),A2(小,0),设 石(/?,1),/.+A=1,即 p2=2,2 3 3m 0 EA(z-P,7),E A 2=(-m-P,7),E A/E A 2=(m-P,-Um_ p,-1)=p2-/n2+l=-2,:俨=2 n?,代入求得m=3;3(3)设直线),=料尤+力联立椭圆可得/+.&叵XE)2=,m2 3整 理 得(3+3m2)切?21+(*-3)m2=o,由2(),/2W3/T?+3,联立双曲线可得乂
13、返史立1-上=1,整 理 得(3-机2),+2加戊+(?-5/n2)=0,5m2 5由 A=0,F=5而-15,A 5m2-15/3 层+3,-3 W Z 3,又 5根 2-1 5 2 0,加,:m彳M,综上所述:niE(,3.21 【解答】解:(1)/(x)=2x3-3X2+X,设 h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3x2,hr(x)=6x1-6x=6x(x-1),当尢W0,1时,易知 A(x)=6 x(x 7)W O,即(x)单调减,:.h(x)max=h(0)=0,即/(x)-g(x)这0%(x)Wg(x),g(x)是f G)的“控制函数”;(2)f(x)=-x?+x,f(1)f (
14、x)=-2x+l,f/.)V,h(x)卷(x 3)f(x)-h(x)=-x2+yx-=-(x-)4 0:.f (x)Wh(x),BP y=h(x)为函数y=/(x)的 控制函数,又 吟)=偈)啥 且g g)吗)啥彳g)啥;证明:(3)f (x)=ax-(a+l)7+冗,f (x)=3cv?-2(a+1)x+1,y=f(x)在 x=x()(x()G(0,1)处的切线为,(x),t(x)=f(xo)(x-JIO)+f(xo),t(xo)=f(xo),/(1)=0=f(1)=0,f (x0)=3ax02-2(a+1)x0+l=f(x0)(l-x0)=f(1)-f(x0)=(l-x0)a(l+x0+x
15、Q2)-(a+1)(l+x0)+1=3aXg2-2(a+l)x0+l=a x02-x0(2ax0-l)(xQ-l)=0,XQ/1 la=g 4,+c0)=x0=-z x Q 乙/a 2 f (x0)=3ax02-2(a+1)x0+l=3a(V-2(a+l)(-z-)+l=-T/a/a 4a.x z 1 3 /1 2 1 2a-1f(x0)=a(-z)-(a+1)(-7)=-yu Na/a/a gt(x)=fy(x0)(X-XO)+f(x0)=-y-(x-y-)+4-=t(x)=y-(x-l)u u u 4a 2a 8/4af(x)=x(x-1)(ax-1)f (x),f(x)=f(x),x(0,1)是函数 y=/(x)的“控制函数,此 时“控制函数g(x)必与y=/(x)相切于x点,f(x)与),=/(x)在欠处相切,2a且 过 点(1,0),在1)之 间 的 点 不 可 能 使 得y=f (x)在(_,1)切 线 下 方,所以2a 2af(c)=f(c)=c4-=x o 或。=1,Za u所以曲线y=/(x)在x=xo(M)G (0,D)处的切线过点(1,0),且c xo,1,当且仅当。=刈 或c=l时,f(c)=f(c).
限制150内