持续期与凸性.ppt
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1、持续期与凸性现在学习的是第1页,共70页债券风险中,价格风险是非常重要的内容。衡量价格风险的主要指标是持续期和凸性持续期可以衡量收益率曲线水平与非水平变动下,债券价格的变化。凸性可以弥被持续期不足,更精确地衡量债券价格风险。这两个指标可以广泛地应用在组合免疫和避险上。现在学习的是第2页,共70页第一节影响债券价格利率敏感性的因素一、利率与债券价格关系债券价格与市场利率相反关系,利率越高,债券价格越低,利率越低,债券价格越高。如下图所示:到期收益率价格P2P1y2y1现在学习的是第3页,共70页二、基点价值与价格波动的收益率价值为分析债券价格与到期收益率之间的关系,人们建立了基点价值与价格波动收
2、益率价值两个概念。1.基点价值。指到期收益率变动一个基点所对应的债券价格变化额。一个基点是0.01%例:一个债券期限为5年,票面利率为9%,半年支付一次息,价格为100元,求该债券的基点价值。现在学习的是第4页,共70页2.价格波动收益率。指债券价格发生一定金额变化(在美国一般指一美元的1/32)所对应的到收期收益率变化幅度。例:一个债券期限为5年,票面利率为9%,半年支付一次息,价格为100元,求该债券价格波动的收益率价值。现在学习的是第5页,共70页三、影响价格利率敏感性的主要因素1.偿还期:假定其它因素不变,偿还期越长,价格利率敏感性越大,但随着偿还期的延长,敏感性增大的速度下降。2.票
3、面利率:假定其它因素不变,票面利率越低,价格利率敏感性越大。3.市场利率。假定其它因素不变,市场利率越低,价格利率敏感性越大。但市场利率同样幅度的上升与下降,引起债券价格波动幅度却是不相同的。利率下降引起债券价格上升的幅度,要高于同样幅度的利率上升引起的债券价格下降的幅度。现在学习的是第6页,共70页第二节持续期duration一、金额持续期(一)定义与数学解释、金额持续期是指市场利率发生1个百分数的变化,债券价格变化的金额。下面是持续期公式的推导过程:1.如果到期收益率曲线呈水平状,那么债券价格现在学习的是第7页,共70页如果到期收益率发生微小变化,债券价格变化为:2.如果到期收益率曲线不是
4、水平状,债券价格为:现在学习的是第8页,共70页如果到期收益率有一个微小的变化,债券价格的变化应该是债券价格的全导数:如果到期收益率曲线是水平移动的,即各期收益率都波动dy,那么:现在学习的是第9页,共70页3.把1/(1+y)当作一个共同因子,从上式提取出来。这不是一个严格的数学推导,而是求取债券价格变化的近似等式。现在学习的是第10页,共70页4.我们可以用金额持续期来反映市场利率变化一个百分点引起的债券价格变化数额:5.由现在学习的是第11页,共70页得:PS:为了与债券价格计算公式相匹配,债券的金额持续期的计算更应该为:注意:上式中的dt不是积分,而是折现因子。现在学习的是第12页,共
5、70页二、持续期几何解释对于价格-到期收益率曲线,当利率由y1下降到y2时,债券价格由P1升到P2,用持续到期收益率价格y1y2P1P2P2期计算,则为P2。当市场利率变化不大时,两者相差不大,当市场利率变化较大时,两者相差会较大。现在学习的是第13页,共70页例:计算金额持续期:8年债券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值14.5056%0.9569109.579.5724.6753%0.9127109.1318.2534.8377%0.8679108.6826.0444.9927%0.8229108.2332.9255.1404%0.7
6、783107.7838.9265.2807%0.7344107.3444.0675.4136%0.6914106.9148.4085.5391%0.649711071.47571.74价值129.11789.89金额持续期7.9现在学习的是第14页,共70页如果半年付款一次,注意利率的变化。例:一个期限2面值100利率6%债券,一年付息两次,到期收益率如表所示。计算金额持续期。期限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值14.4181%0.978432.942.9424.5056%0.956432.875.7434.5914%0.934232.80804144.6753%0.91171039
7、3.91375.62价值102.51392.70金额持续期3.92注意:第一期和第二期折现因子是这样得来的现在学习的是第15页,共70页一年支付两次的金额持续期现在学习的是第16页,共70页二、比率持续期利率波动一个百分点对债券价格波动幅度所造成的影响,需要建立债券价格波动率这一指标,这一指标可用比率持续期来表示。由于:定义现在学习的是第17页,共70页例:上例中,债券的金额持续期为3.92,债券的价格为102.51,则其比率持续期为:3.92/102.51=3.82%即到期收益率曲线移动一个百分点,债券价格将发生3.82%的波动。现在学习的是第18页,共70页三、修正持续期修正持续期是在比率
8、持续期的基础上考虑短期利率的影响。定义为:如果半年支付一次利息,则现在学习的是第19页,共70页例:一个债券的金额持续期为15.5,债券的价格为144.46,1年期利率为4.5056%,其修正持续期为:先计算比率持续期:然后计算修正持续期:现在学习的是第20页,共70页四、有效持续期有效持续期的定义为:其中,P-为到期收益率下降y时债券价格P+为到期收益率上升y时债券价格P为债券目前价格y为到期收益率波动的基点。现在学习的是第21页,共70页例:一个20年期债券,票面利率9%,一年支付一次利息,债券非含权。债券价格为150,到期收益率为6%。到期收益率分别上升和下降20基点时,债券价格分别为1
9、45和156。该债券的有效持续期。现在学习的是第22页,共70页五、组合的持续期(一)组合的金额持续期当得到各种债券金额的持续期后,可以用下面的方法求得一个组合的金额持续期Ni为第i种证券投资数量,i持续期为第i种证券金额持续期现在学习的是第23页,共70页(二)组合的比率持续期当得到各种债券比率持续期后,可以用下面的方法求得一个组合的比率持续期i为第i种证券投资比重,i为第i种证券比率持续期现在学习的是第24页,共70页当堂作业11.有一个10年期付息票债券,面值1000元,票面利率为10%,一年付息一次,到到期收益率如下:求其金额持续期。期限12345利率%4.54.64.84.95.1期
10、限678910利率%5.25.45.55.65.7现在学习的是第25页,共70页期限到期收益率折现因子现金折现t倍折现10.0450.95693810095.6937895.6937820.0460.9139810091.39799182.79630.0480.86879310086.87927260.637840.0490.82584410082.58441330.337650.0510.77980610077.98057389.902960.0520.73774410073.77438442.646370.0540.69201510069.20153484.410780.0550.6515
11、9910065.15989521.279190.0560.61238510061.23853551.1467100.0570.5744471100631.89196318.919合计1335.8029577.77金额持续期95.78现在学习的是第26页,共70页当堂作业计算题:2,3现在学习的是第27页,共70页2题计算:利用有效持续期来计算利用有效持续期,构建下式:书中答案为:108现在学习的是第28页,共70页3.先计算金额持续期:债券的价格现在学习的是第29页,共70页第三节凸性一、金额凸性(一)定义与由来凸性是债券价格变化曲线的曲度。即利率一个微小变化引起的债券持续期的变化比率。凸性直
12、接来自泰勒展开式:现在学习的是第30页,共70页如果只取等式前两项,那么债券价格变化近似为:1.当到期收益率曲线是水平时,债券价格为所以:现在学习的是第31页,共70页定义金额凸性因此因此现在学习的是第32页,共70页1.当到期收益率曲线是水平时,债券价格为如果定义y为短期利率,可以有:现在学习的是第33页,共70页定义金额凸性因此因此现在学习的是第34页,共70页(二)金额凸性的经济意义金额凸性的经济含义是由于凸性特征的存在,引起债券价格的额外变化。对下例所做经济解读为:该债券的金额持续期为7.9。经济含义是如果收益率曲线水平移动一个百分点,债券价格将波动7.9。该债券的金额凸性为0.641
13、7,说明如果收益率曲线变动1个百分点,则除变动7.9外,债券价格还要变动0.32现在学习的是第35页,共70页例:计算金额凸性:8年债券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限到期收益率折现因子现金流现值t倍现值t(t+1)倍现值14.5056%0.9569109.579.5719.1424.6753%0.9127109.1318.2554.7534.8377%0.8679108.6826.04104.1644.9927%0.8229108.2332.92164.655.1404%0.7783107.7838.92233.5265.2807%0.7344107.3444.06308.4
14、275.4136%0.6914106.9148.40387.285.5391%0.649711071.47571.745145.66价值129.11789.896417.45金额持续期7.90.6417现在学习的是第36页,共70页(三)一年两次或多次付息的情况如果一年付息两次的付息票债券,其金额凸性计算为:定义金额凸性为:现在学习的是第37页,共70页如果一年付息多次的付息票债券,其金额凸性计算为:定义金额凸性为:现在学习的是第38页,共70页(四)凸性的作用使得价格波动计算更精确。现在学习的是第39页,共70页二、比率凸性指由于凸性的作用,在市场利率波动一个百分点时债券价格发生多少个百分点
15、的波动。计算公式有:其中n表示一年付息的次数。现在学习的是第40页,共70页三、修正凸性考虑了短期利率大小对比率凸性的影响。其中n表示一年付息的次数。现在学习的是第41页,共70页四、有效凸性有效凸性的定义为:其中,P-为到期收益率下降y时债券价格P+为到期收益率上升y时债券价格P0为债券目前价格y为到期收益率波动的基点。现在学习的是第42页,共70页五、组合的凸性(一)组合的金额凸性当得到各种债券金额凸性后,可以用下面的方法求得一个组合的金额凸性Ni为第i种证券投资数量,i为第i种证券金额凸性现在学习的是第43页,共70页(二)组合的比率凸性当得到各种债券比率凸性后,可以用下面的方法求得一个
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