函数的凸性与拐点.ppt
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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页5 函数的凸性与拐点 从从两个熟悉的函数两个熟悉的函数的的图象来看图象来看凸性的凸性的不同:不同:的上方的上方(下方下方).返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如如(1)和和(2)式中的不等号改为严格不等号式中的不等号改为严格不等号,则相应则相应定义定义1 设设 f 为区间为区间 I上的函数若对于上的函数若对于 I 上的任意上的任意则则称称 f 为为 I上的一个凸函数上的一个凸函数.反之如果总有反之如果总有则称则称 f 为为 I 上的一个凹函数上的一个凹函数.的函数称为严格凸函数和严格凹函数的函数称为严格凸函数和严格凹
2、函数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页很很明显,若明显,若 f(x)为为(严格严格)的凸函数的凸函数,那么那么 f(x)就就引理引理 f(x)为为区间区间 I上的凸函数的充要条件是:上的凸函数的充要条件是:为为(严格严格)凹函数,反之亦然凹函数,反之亦然.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而有从而有 因为因为 f(x)为为 I 上上的凸的凸函数,所以函数,所以 证证(必要性)(必要性)于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页整理后即为整理后即为(3)式式.即即由于必要性的证明是可逆的,从而得到由于必要性的证明是可逆的,从而得到(充分性)(充分性)
3、对于任意对于任意 则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 f 为为 I 上的凸函数上的凸函数.同理可证同理可证 f 为为 I 上的凸函数的充要条件是:对于上的凸函数的充要条件是:对于 注注(4)式与式与(1)式是等价的式是等价的.所以有些课本所以有些课本将将(4)式式 作为凸函数的定义作为凸函数的定义.(参见下图参见下图)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页詹森詹森(Jensen,J.L.1859-1925,丹麦丹麦)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对于凹函数,请读者自行写出相应的定理对于凹函数,请读者自行写出相应的定理.这是著名的这是著名的詹
4、森不等式詹森不等式.由数学归纳法不难证明:由数学归纳法不难证明:f 为为 I 上的凸函数充要上的凸函数充要 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(5)式是凸函数最常用的不等式式是凸函数最常用的不等式.即:即:例例 1 设设 f 为开为开区间区间(a,b)上的凸函数上的凸函数,那么它那么它在在下面举例说明凸函数的内在性质下面举例说明凸函数的内在性质.证证上处处连续上处处连续.(a,b)中每一点的左、右导数存在中每一点的左、右导数存在.特别是在特别是在(a,b)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由引理得到由引理得到返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就这就证
5、明了证明了F(h)有下界有下界.所以所以注注 开区间上的凸函数处处连续开区间上的凸函数处处连续,但不一定处处可但不一定处处可 导导;闭区间上的凸函数在端点不一定连续闭区间上的凸函数在端点不一定连续.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 6.13 设设 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数,则下述则下述注注 (iii)中的不等式表示切线恒在凸曲线的下中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方方.论断互相等价:论断互相等价:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返
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