李正元高等数学强化讲义.pdf
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1、李正元高等数学强化讲义1/116 第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是:掌握求极限的各种方法掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限)李正元高等数学强化讲义2/116 复合函数、分段函数及函数记号的运算1 极限的重要性质1不等式性质设ByAxnnnnlimlim,且 AB,则存在自然数N,使得当nN 时有 xnyn设ByAxnnnnlimlim,且存在自然数N,当 nN 时有 xnyn,则 AB作为上述性质的推论,有如下的保号性质:设Axnnlim,且 A0,则存在自然数N,使得当 nN 时有 xn0设Axnnli
2、m,且存在自然数N,当 nN 时有 xn0,则 A0对各种函数极限有类似的性质例如:设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00,且 AB,则存在0,使得当00 xx有f(x)g(x)设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00,且存在 0,使得当 0 xx0时f(x)g(x),则 AB2有界或局部有界性性质设Axnnlim,则数列 xn有界,即存在M 0,使得 xn M(n=1,2,3,)设,Axfxx)(lim0则函数 f(x)在 x=x0的某空心邻域中有界,即存在0 和 M0,使得当 0 xx0时有 f(x)M对其他类型的函数极限也有类似的结论2 求极限的方法1极限的四则运算法则及其
3、推广设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00,则;BAxgxfxx)()(lim0;ABxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0BBAxgxfxx只要设)(glim)(lim00 xxfxxxx,存在或是无穷大量,上面的四则运算法则可以推广到除“00”,“”,“0”,“”四种未定式以外的各种情形即:1设Bxxfxxxx)(glim)(lim00,则)()(lim0 xgxfxx.)()(lim0 xgxfxx(()0g x)又B0,则)()(lim0 xgxfxx 2 设)(lim0 xfxx,当 xx0时()g x局部有界,(即0,0M,使得00 xx时()g xM),则)(
4、)(lim0 xgxfxx李正元高等数学强化讲义3/116 设)(lim0 xfxx,当 xx0时 g(x)局部有正下界,(即 0,b0 使得 0 x x0时 g(x)b0),则)()(lim0 xgxfxx3设)(lim0 xfxx,)(lim0 xgxx,则)()(lim0 xgxfxx,又 0 使得 0 x x0时f(x)g(x)0,则)()(lim0 xgxfxx4设0)(lim0 xfxx,xx0时 g(x)局部有界,则0)()(lim0 xgxfxx(无穷小量与有界变量之积为无穷小)2幂指函数的极限及其推广设AxfBxgAxfBxgxxxxxx)()(lim)(lim0)(lim0
5、00则,000lim()ln()()()ln()ln(lim()lim)xxg xfxg xg xfxBABxxxxf xeeeA只要设00lim()lim()xxxxf xg x,存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”,“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下)(ln)(lim0 xfxgxx是“0”型未定式1 设)(lim0 xfxx=0(0 x0 x 时 f(x)0),0)(lim0Bxgxx,则0()0(0)lim()(0)g xxxBf xB2 设)(lim0 xfxx=A0,A1,)(lim0 xgxx=+,则0()0(01)lim()(1)g xx
6、xAf xA3 设)(lim0 xfxx=+,0)(lim0Bxgxx,则0)()0(0)(lim)(0BBxfxgxx【例 1】设,则,又_)(lim0)(glim)()(lim000 xfxAxgxfxxxxxx【分析】00)()()(lim)(lim00Axgxgxfxfxxxx李正元高等数学强化讲义4/116【例 2】设 an,bn,cn均为非负数列,且,nnnnnncbalim1lim0lim则必有(A)an bn对任意 n成立(B)bncn对任意 n 成立(C)极限nnncalim不存在(D)nnncblim不存在用相消法求00或型极限【例 1】求)cos1(sin1tan1lim
7、0 xxxxIx【解】作恒等变形,分子、分母同乘得xxsin1tan10tansinlim(1cos)1tan1sinxxxIxxxxxxxxxxxxsin1tan11lim)cos1()cos1(tanlim0021211【例 2】求22411limsinxxxxIxx【解】作恒等变形,分子、分母同除)0(2xxx得202111414010lim1sin101xxxxIxx利用洛必达法则求极限【例 1】设 f(x)在 x=0 有连续导数,又2)(sinlim20 xxfxxIx求(0)(0)ff与【例 2】求)1ln()cos1(1cossin2lim20 xxxxxx李正元高等数学强化讲义
8、5/116【例 3】求xxIxxe)1(lim10【例 4】求xxIxxxsineelimsin0【例 5】若306sin()lim0 xxxf xx,则_)(6lim20 xxfx【例 6】求)1ln(0)(tanlimxxxI【例 7】设0,0 为常数且122lim()aaaxIxxx,则(,)=_【分析】型极限210121)1(lim1t 1)(1limttxxxIaataaxttataaaat2)1(1lim1110)20()2(21)2(0)1(21lim2110aaattaaat因此(,)=)212(,分别求左、右极限的情形,分别求nnnnxx212limlim与的情形【例 1】设
9、|sine1e2)(41xxxfxx,求0lim()xf x【例 2】求nnnIn)1(1lim利用函数极限求数列极限【例 1】求)1(limaanInn【例 2】求21lim(tan)nnInn【解 1】)11tan(11tan12)11tan(1limnnnnnnnnI李正元高等数学强化讲义6/116 转化为求2230021tan11tan11tanlim(tan1)limlimlim1nnxxnxxxnxnnnxxn123201cos1lime33xxIx【解 2】用求指数型极限的一般方法nnnnI11tanln2elim转化为求2021tantan1lnlim lnlim1nxnxxn
10、xn201tanlimxxxx(等价无穷小因子替换),余下同前3 无穷小和它的阶1无穷小、极限、无穷大及其联系(1)无穷小与无穷大的定义(2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系0lim()()()xxf xAf xAx其中00lim()0()(1).xxxf xAoxx,o(1)表示无穷小量在同一个极限过程中,u 是无穷小量(u0)u1是无穷大量反之若u 是无穷大量,则u1是无穷小量2无穷小阶的概念(1)定义同一极限过程中,(x),(x)为无穷小,李正元高等数学强化讲义7/116 设0()()1()()()lim()()()()0()()()()()lxxlxxxlxxxlxxxox为有限数,
11、称与为同阶无穷小时,称与为等价无穷小,记为极限过程时,是比高阶的无穷小,记为极限过程定义设在同一极限过程中(x),(x)均为无穷小,(x)为基本无穷小,若存在正数k 与常数l使得0)()(limlxxk称(x)是(x)的 k 阶无穷小,特别有0)()(lim00lxxxkxx,称 xx0时(x)是(xx0)的 k 阶无穷小(2)重要的等价无穷小x0 时sinx x,tanx x,(1+x)x,ex1 x;ax1 xlna,arcsinx x,arctanx x;(1+x)a1 ax,1cosx 221x(3)等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1 若 ,2 =+o()3 在求“00”型与“0
12、”型极限过程中等价无穷小因子可以替换【例 1】求13cos21lim30 xxxxI【例 2】设_)(lim5132sin)(1lnlim200 xxfxxfxxx,则【分析】由已知条件及02sin)(lim0)2sin)(1ln(lim0)13(lim000 xxfxxfxxxx又在 x=0 某空心邻域f(x)0()()()ln(1)(0)sin 2sin 22f xf xf xxxxx,又 3x1 xln 3于是22000()/2()()limlim5lim10ln 3ln 32ln 3xxxf xxf xf xxxx【例 3】设 x a 时(x),(x)分别是 x a 的 n 阶与 m
13、阶无穷小,又0)(limAxhax,则 x a 时(1)(x)h(x)是 x a 的_阶无穷小(2)(x)(x)是 x a 的 _阶无穷小李正元高等数学强化讲义8/116(3)nm 时,(x)(x)是 x a 的_阶无穷小(4)nm 时)()(xx是 x a 的_阶无穷小(5)k 是正整数时,k是 x a 的_阶无穷小以上结论容易按定义证明。例如,已知0)()(limAaxxfnax,()()()()()lim0limlim0()()()()mn mnmxaxaxag xf x g xf xg xBA Bxaxaxaxaf(x)g(x)是 x a 的 n+m 阶无穷小【例 4】设 f(x)连续
14、,x a 时 f(x)是 x a 的 n 阶无穷小,求证:xadttf)(是 x a 的 n+1 阶无穷小【例 5】x 0 时,231)1(xxx是 x 的_阶无穷小;332xx是 x 的_阶无穷小;)1ln(sin3xx是 x 的_阶无穷小,xdtt02sin是 x 的 _阶无穷小【例 6】x 0 时,下列无穷小中()比其他三个的阶高,(A)x2(B)1cosx(C)112x(D)x tanx【例 7】当 x 0 时,xdttxfsin02sin)(与43)(xxxg比较是()的无穷小(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶4 连续性及其判断1连续性概念(1)连续的定义:函数 f(x)
15、满足)()(lim00 xfxfxx,则称 f(x)在点 x=x0处连续;f(x)满足00lim()()xxf xf x(或)()(lim00 xfxfxx,则称 f(x)在 x=x0处右(或左)连续若 f(x)在(a,b)内每一点连续,则称f(x)在(a,b)内连续;若f(x)在(a,b)内连续,且在x=a 处右连续,在点x=b 处左连续,则称f(x)在 a,b上连续(2)单双侧连续性李正元高等数学强化讲义9/116 f(x)在 x=x0处连续f(x)在 x=x0处既左连续,又右连续(3)间断点的分类:设 f(x)在点 x=x0的某一空心邻域内有定义,且x0是 f(x)的间断点若 f(x)在
16、点 x=x0处的左、右极限f(x00)与 f(x0+0)存在并相等,但不等于函数值f(x0)或 f(x)在 x0无定义,则称点x0是可去间断点;若f(x)在点 x=x0处的左、右极限f(x00)与 f(x0+0)存在但不等,则称点x0是跳跃间断点:它们统称为第一类间断点若 f(x)在点 x=x0处的左、右极限f(x00)与 f(x0+0)至少有一个不存在,则称点x0为第二类间断点2函数连续性与间断点类型的判断:若 f(x)为初等函数,则f(x)在其定义域区间D 上连续,即当开区间(a,b)D,则 f(x)在(a,b)内连续;当闭区间c,d D,则 f(x)在 c,d上连续若f(x)是非初等函数
17、或不清楚它是否为初等函数,则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算,反函数运算与复合运算)来判断当f(x)为分段函数时,在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性判断 f(x)的间断点的类型,就是求极限00lim()xxf x3有界闭区间a,b上连续函数的性质:最大值和最小值定理:设f(x)在闭区间 a,b上连续,则存在和a,b,使得f()f(x)f(),(axb)有界性定理:设f(x)在闭区间 a,b上连续,则存在M0,使得 f(x)M,(axb)介值定理:设函数f(x)在闭区间 a,b上连续,且f(a)f(b),则对 f(a)与 f(b)之间的任意一个数c,在(a,b)内至少存在一点,使
18、得f()=c推论 1(零值定理):设 f(x)在闭区间 a,b上连续,且f(a)f(b)0,则在(a,b)内至少存在一点,使得f()=0 推论 2:设 f(x)在闭区间 a,b上连续,且m 和 M 分别是 f(x)在 a,b上最小值和最大值,若 mM,则 f(x)在 a,b上的值域为 m,M【例 1】函数2)2)(1()2sin(|)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)【分析一】这里|xx有界只须考察2)2)(1()2sin()(xxxxg,g(x)是初等函数,它在定义域(x1,x2)上连续,有界闭区间上连续函数有界,1,0 定义
19、域,g(x)在 1,0有界,选(A)【分析二】设 h(x)定义在(a,b)上,若)(lim0 xhax或)(lim0 xhbx,则 h(x)在(a,b)无界 因)(lim1xfx,)(lim2xfx()f x在(0,1),(1,2),(2,3)均无界 选(A)李正元高等数学强化讲义10/116【例 2】设111)(2xxxxxf,xxxxxxxg5352)1(22)(,讨论 y=f(g(x)的连续性,若有间断点并指出类型【分析与解法1】先求 f(g(x)的表达式2()()1)()1()()1)gxg xf g xg xg x)5()3(1)52()1(21)21(1)1()(2xxxxxxxx
20、xgf在(,1),(1,2),(2,5),(5,+),f(g(x)分别与初等函数相同,故连续x=2 或 5 时可添加等号,左、右连接起来,即左连续又右连续 f(g(x)在 x=2 或 5 连续 x=1时1lim)(lim0)1(lim)(lim201010101xxgfxxgfxxxxx=1 是 f(g(x)的第一类间断点(跳跃间断点)【分析与解法2】不必求出f(g(x)的表达式g(x)的表达式中,x=2 或 5 处可添加等号,左、右连接起来g(x)在(,+)处处连续111)(2uuuuuf,u1 时连续u=g(x)=1x=1 因此,x 1 时由连续函数的复合函数是连续的f(g(x)连续.x=
21、1 时1lim)(lim)(lim0)1(lim)(lim)(lim2010101010101xxfxgfxxfxgfxxxxxxx=1 是 f(g(x)的第一类间断点李正元高等数学强化讲义11/116 第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是李正元高等数学强化讲义12/116 导数与微分的定义、几何意义,讨论函数的可导性及导函数的连续性,特别是分段函数,可导与连续的关系按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分(包括:初等函数,幂指数函数,反函数,隐函数,变限积分函数,参数式,分段函数及带抽象函数记号的复合函数),求 n 阶导数表达式求平面
22、曲线的切线与法线,描述某些物理量的变化率导数在经济领域的应用如“弹性”,“边际”等(只对数三,数四)1 一元函数微分学中的基本概念及其联系1可导与可微的定义及其联系f 2几何意义与力学意义)(0 xf是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率xxfxdfxx)()(00是相应于x 该切线上纵坐标的增量质点作直线运动,t 时刻质点的坐标为x=x(t),)(0tx是t=t0时刻的速度3单侧导数与双侧导数f(x)在 x=x0可导00)()fxfx,均存在且相等00000000000()()()()()limlim()()()(1)0(1)()xxxf xxf xf xf xxf xfxx
23、xxfxxf xAoxoxAfx在可导:,即无穷小量0000000()()()()(0)()()()()xxf xxf xxf xA xoxxf xxxf xA xfxxfx dx在可微:在的微分 d0()f xxx在连续李正元高等数学强化讲义13/116 此时000()()()fxfxfx0000()()()limxf xxf xfxx,-0000()()()lim.xf xxfxfxx【例 1】说明下列事实的几何意义(1)xgxfxgxf)()()()(0000,(2)f(x),g(x)在x=x0处 有 连 续 二 阶 导 数,0000()()()()f xg xfxgx,xgxf0)()
24、(00(3)f(x)在 x=x0处存在00()()fxfx,但00()()fxfx.(4)y=f(x)在 x=x0处连续且000()()lim.xxf xf xxx【例 2】()()()g xf xh x0000 xxxxxx,0 为某常数 设000()(),(),g xh xgx0()hx均存在且00()()gxhx.求证:0000()()()()fxfxgxhx存在且.【例 3】请回答下列问题:(1)设 y=f(x)在 x=x0可导,相应于x 有y=f(x0+x)f(x0),xxfdy)(0 x0 时它们均是无穷小试比较下列无穷小:y 是x 的_无穷小;ydy 是x 的 _无穷小;0)(0
25、 xf时y 与 dy 是_无穷小(2)du 与u是否相等?【例 4】设 f(x)连续,试讨论)(0 xf的存在性与0|)(|xxxf的存在性之间的关系(1)考察下列两个函数图形,由导数的几何意义来分析)(0 xf存在与0|)(|xxxf存在之间的关系(2)f(x0)0 时,求证:)(0 xf存在0|)(|xxxf存在李正元高等数学强化讲义14/116【证明】因0()f x0,由连续性,0,使得当 x x0时有 f(x)0 或 f(x)0,于是在x0该邻域内必有f(x)=f(x)或 f(x)=f(x)之一成立,故在点x=x0处两个函数的可导性是等价的(3)f(x0)=0 时,求证:0|)(|0)
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