第五章 定积分及其应用.ppt
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1、第五章定积分及其应用 内容提要内容提要第一节定积分的概念第一节定积分的概念 第二节微积分基本公式第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法第三节定积分的换元法第四节定积分的分部积分法第四节定积分的分部积分法第五节无穷区间上的广义积分第五节无穷区间上的广义积分第六节定积分的应用举例第六节定积分的应用举例abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多,矩形总面积越接近显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积(四个小矩形)(四个小矩形)(九个小矩形)(九个小矩形)曲边梯形如图所示,曲边梯形如图所示,曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的
2、近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例二、求变速直线运动的路程实例二、求变速直线运动的路程思路:把整段时间分割成若干个小段,每思路:把整段时间分割成若干个小段,每小段上速度看作不变。求出各小段的路程小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值。最后通过再相加,便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。对时间的无限细分过程求得路程的精确值。(1)分割)分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度(2)求和)求和(3)取极限)取极限路程的精确值路程的精确值二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为
3、记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意:注意:定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义几何意义:几何意义:ab 例例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积、用定积分表示下列图中阴影部分的面积解:根据定积分的几何意义,解题如下:解:根据定积分的几何意义,解题如下:对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中,假定定积分都存在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小在,且不考虑积分上下限的大小五五 定积分的性质定积分的性质证证性质性质1 1证证性质性质2 2例例 若若(定积分对于积分区间具有可加性)
4、(定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质3 3证证性质性质4 4证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质5 5(定积分中值定理)(定积分中值定理)积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释:积分中值公式的几何解释:第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式重点:牛顿重点:牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式难点:难点:积分上限的函数积分上限的函数变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出一、问题的提出考察定积分考察定积分
5、记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证由积分中值定理得由积分中值定理得 (2)分母的导数为分母的导数为所以有所以有定理定理 3 3(微积分基本公式)(微积分基本公式)证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明:微积分基本公式表明:注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例计算下列定积分例计算下列定积分(1)(2)(3)(4)(5)第三节第三节 积分的换元法积分的换元法 重点与难点:重点与难点:掌握定积分的换元积分公式掌握定积
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- 第五章 定积分及其应用 第五 积分 及其 应用
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