微机原理第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt
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1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位FIR 数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR 滤波器7.3 利用频率采样法设计FIR 滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计FIR 滤波器7.5 IIR和FIR 数字滤波器的比较第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位FIR 数字滤波器的条件和特点 本 节 主 要 介 绍FIR 滤 波 器 具 有 线 性 相 位 的 条 件 及 幅度特性以及零点、网络结构的特点。1.线性相位条件对于长度为N 的h(n),传输函数为(7.1.1)(7.1.2)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2、式 中,Hg()称 为 幅 度 特 性,()称 为 相 位 特 性。注 意,这 里Hg()不 同 于|H(ej)|,Hg()为 的 实 函 数,可 能 取 负 值,而|H(ej)|总 是 正 值。H(ej)线 性 相 位 是指()是 的线性函数,即()=,为常数(7.1.3)如果()满足下式:()=0-,0是起始相位(7.1.4)严 格 地 说,此 时()不 具 有 线 性 相 位,但 以 上 两种情况都满足群时延是一个常数,即第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计也 称 这 种 情 况 为 线 性 相 位。一 般 称 满 足(7.1.3)式是第一类线性相位;满足(7.1.4)式为第二类线性相位
3、。下 面 推 导 与 证 明 满 足 第 一 类 线 性 相 位 的 条 件 是:h(n)是实序列且对(N-1)/2 偶对称,即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满 足 第 二 类 线 性 相 位 的 条 件 是:h(n)是 实 序 列 且 对(N-1)/2 奇对称,即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(1)第一类线性相位条件证明:将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(7.1.7)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计按照上式可以将H(z)表示为将z=ej代入上式,得到:按照(7.1.2)式,幅度函数Hg()和相位函数分别为(7.1
4、.8)(7.1.9)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(2)第二类线性相位条件证明:(7.1.10)令m=N-n-1,则有同样可以表示为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计因此,幅度函数和相位函数分别为(7.1.11)(7.1.12)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计2.线性相位FIR 滤波器幅度特性Hg()的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式,幅度函数Hg()为式 中,h(n)对(N-1)/2 偶 对 称,余 弦 项 也 对(N-1)/2 偶对 称,可 以 以(N-1)/2 为 中 心,
5、把 两 两 相 等 的 项 进 行 合 并,由 于N 是 奇 数,故 余 下 中 间 项n=(N-1)/2。这 样 幅 度 函 数表示为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13)(7.1.14)式中第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计按 照(7.1.13)式,由 于 式 中cosn 项 对=0,2 皆为 偶 对 称,因 此 幅 度 特 性 的 特 点 是 对=0,2 是 偶 对 称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推 导 情 况 和 前 面N=奇 数 相 似,不 同 点 是 由 于N=偶数,Hg()中没有单独项,相等的项合并成N/2项。第7章
6、有限脉冲响应数字滤波器的设计3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(7.1.11)式重写如下:令m=N/2-n,则有(7.1.15)(7.1.16)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况,推导如下:令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.17)(7.1.18)令m=N/2-n,则有第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(7.1.19)(7.1.20)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计3.线性相位FIR 滤波器零点分布特点第 一 类 和 第 二 类 线 性 相 位 的 系 统 函 数 分 别 满 足(7.1.7)式和(7.1.10)式
7、,综合起来用下式表示:(7.1.21)图7.1.1线性相位FIR 滤波器零点分布第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计4.线性相位FIR 滤波器网络结构设N 为偶数,则有令m=N-n-1,则有第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(7.1.22)如果N 为奇数,则将中间项h(N-1)/2 单独列出,(7.1.23)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.2第一类线性相位网络结构第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.3第二类线性相位网络结构第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2 利用窗函数法设计FIR 滤波器 设 希 望 设 计 的 滤 波 器 传 输 函 数 为Hd(ej),hd
8、(n)是与其对应的单位脉冲响应,因此第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计相应的单位取样响应h-d(n)为(7.2.1)(7.2.2)为 了 构 造 一 个 长 度 为N 的 线 性 相 位 滤 波 器,只 有 将h-d(n)截 取 一 段,并 保 证 截 取 的 一 段 对(N-1)/2 对 称。设截取的一段用h(n)表示,即h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计我 们 实 际 实 现 的 滤 波 器 的 单 位 取 样 响 应 为h(n),长度为N,其系统函数为H(z),图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计以
9、 上 就 是 用 窗 函 数 法 设 计FIR 滤 波 器 的 思 路。另 外,我 们 知 道Hd(ej)是 一 个 以2 为 周 期 的 函 数,可 以 展 为傅氏级数,即对(7.2.3)式进行傅里叶变换,根据复卷积定理,得到:(7.2.4)式中,Hd(ej)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换,即(7.2.5)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计RN()称为矩形窗的幅度函数;将Ha(ej)写成下式:按照(7.2.1)式,理想低通滤波器的幅度特性Hd()为将Hd(ej)和RN(ej)代入(7.2.4)式,得到:第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计将H(ej)写成下式:(7.
10、2.6)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计通 过 以 上 分 析 可 知,对hd(n)加 矩 形 窗 处 理 后,H()和原理想低通Hd()差别有以下两点:(1)在 理 想 特 性 不 连 续 点=c附 近 形 成 过 渡 带。过渡带的宽度,近似等于RN()主瓣宽度,即4/N。(2)通 带 内 增 加 了 波 动,最 大 的 峰 值 在c-2/N 处。阻带内产生了余振,最大的负峰在c+2/N 处。在主瓣附近,按照(7.2.5)式,RN()可近似为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计下面介绍几种常用的窗函数。设h(n
11、)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过,按照(7.2.5)式,其频率响应为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计2.三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8)其频率响应为(7.2.9)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计3.汉宁(Hanning)窗升余弦窗当N1时,N-1N,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.3汉宁窗的幅度特性第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计4.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数WHm(ej)为其幅度函数WHm()为当N1 时,可近似表示
12、为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计5.布莱克曼(Blackman)窗(7.2.13)其频域函数为其幅度函数为(7.2.14)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.4常用的窗函数第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.5常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗;(b)巴特利特窗(三角形窗);(c)汉宁窗;(d)哈明窗;(e)布莱克曼窗第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩 形 窗;(b)巴 特 利 特 窗(三 角 形 窗);(c)汉 宁 窗;(d)哈明窗;(e)布莱克曼窗第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计6.凯塞贝塞尔
13、窗(Kaiser-BaselWindow)式中I0(x)是 零 阶 第 一 类 修 正 贝 塞 尔 函 数,可 用 下 面 级 数 计算:第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计一 般I0(x)取1525 项,便 可 以 满 足 精 度 要 求。参数 可 以 控 制 窗 的 形 状。一 般 加 大,主 瓣 加 宽,旁 瓣 幅度 减 小,典 型 数 据 为49。当=5.44 时,窗 函 数 接 近哈 明 窗。=7.865 时,窗 函 数 接 近 布 莱 克 曼 窗。凯 塞 窗的幅度函数为(7.2.16)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.2.1凯塞窗参数对滤波器的性能影响第7章 有限脉冲响应数
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