坐标数控加工的数值计算.ppt
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1、第五章第五章 二坐标数控加工的数值计算二坐标数控加工的数值计算 大家知道,数控系统的运动控制指令中,一般只有直线和圆弧指令,对于三坐标以上的数控系统,仅有直线指令;那么用数控机床加工除直线和圆弧之外的其他平面曲线,就只能用直线和圆弧组成的近似折线来逼近曲线。51 平面曲线的直线逼近平面曲线的直线逼近511 平面曲线的理论刀具轨迹平面曲线的理论刀具轨迹 不失一般性,设所加工的曲线处在 平面,且以参数方程的形式出现(511)在定义域内具有 连续性质。1理想刀具轨迹理想刀具轨迹 设用一半径为R的立铣刀加工一平面曲线,如图511所示。一般加工平面曲线采用两坐标联动机床即可。我们 选定铣刀的旋转轴线上固
2、定的一点作为刀具中心,由于R的存在,理想的刀具轨迹只能是一条 的等距线等距线 。那么等距线 的定义如下:图511(5-1-2)式(5-1-2)中,为第二章中定义的平面曲线的法线矢量,R为 和 之间的距离,R前面的号表示等距线的的内外,规定“”为内,“”为外。那么 的具体表达式是(5-1-3)2刀具最大半径的确定刀具最大半径的确定 式(5-1-3)中,刀具R的半径可大可小,一般情况下应尽量使R大些,但也不是大得没有限制。如图511中,如果被加工曲线 的曲率半径的表达式为(为 的曲率表达式),则 的最小值为(5-1-4)那么,当选用半径为R的刀具进行切削时,R的值必须满足下面条件(5-1-5)这里
3、 是实际应用刀具半径R的最大值,一般选 只有这样,才不会因R过大出现干涉现象。512 平面曲线的直线逼近原理平面曲线的直线逼近原理1用折线逼近曲线时步长的确定用折线逼近曲线时步长的确定 如图512所示,当以直线段组成的折线逼近曲线时,直 线段的长度是和逼近误差息息相关的,不能随心所欲。曲率越大的地方、要求加工误差小的地方逼近的直线段越短。图512 图513如图513所示,在曲率半径为 的曲线段附近,可以近似把该段曲线段看作半径为 的圆弧,当用 代替 时,其弓高 为逼近误差,显然,是和 成正比关系的。由图513,得 和 之间的关系表达式整理得(5-1-6)3进给步长坐标分量的计算进给步长坐标分量
4、的计算对于数控加工编程来说,确定步长 的最终目的是计算它在坐标轴上的分量、。对于给定的曲线,和之间的步长为(517)那么有,(518)现在的问题是,当 给定后,如何确定,使式(518)计算的、满足式(517):(1)如果曲线 的参数是自然参数或近似累加弧长参数s,则直接取,通过式(518)计算出来的、能自 动满足式(517)。(2)如果曲线 的参数不是自然参数或累加弧长参数,最常用的方法是搜索法,即使由0逐步增大至 代入式(5-1-7)计算出对应的 当(为事先给定的误差)时,即 为所求。这个方法的缺点是搜索时间较长,且不确定,一般不能 用在实时控制系统中;虽然实际步长 与理论给定步长 有一定的
5、误差但计算的折线刀具轨迹只有弓高误差,而没有累积误 差,因此该方法是实用的。4确定最大进给速度确定最大进给速度又和刀具进给速度V成正比。那么,要想减小误差,就要降低进给速度;另外一方面,当曲线弯曲比较厉害时,要想减小误差,也要降低进给速度。由图512可知,进给速度V和曲率半径之间有如下关系:(519)式中,为给定比较误差,为数控系统时间常数,为给定误差和给定曲线的前提下,刀具的最大进给速度。52 平面曲线的圆弧拟合平面曲线的圆弧拟合521 圆弧拟合问题的提出圆弧拟合问题的提出如图521所示,用分段直线 代替曲线 C,虽然能够满足一定的精度要求,但是在型值点 图521上的斜率是不连续的因为 段的
6、斜率为,段的斜率为,所 以对 点来说,左右斜率有一个跳跃值,即 如果需要有连续的斜率,线性拟合就不能满足要求,这时可采用圆弧拟合。所谓圆弧拟合圆弧拟合就是用分段圆弧代替曲线并且相邻两个圆弧有公切线。下面举一个用线切割机加工机翼模型的例子来说明圆弧拟合的做法。图522某机翼模型的形状如图522所示设圆 O的半径为p,圆 的半径为q,的坐标为(a,b);又设机翼上缘的一些离散点 是 现在要用分段圆弧光滑地连接这些离散点并使它和圆 和圆 都相切。从圆的方程 知道,要确定一个圆必须有三个独立条件。例如,过不在同一直线上的三点可作一个圆;已知两点和其中一点的切线斜率也可以确定一个圆等等。所以,我们对上述
7、问题作如下的考虑:图523 如图523所示,过 作圆 使和圆O相切,过 作圆 使它和圆相切,依此类推 由此可知,要确定这些圆只要解决下面三类问题三类问题就够了:(1)已知圆O和圆外两点,求圆P,使它通过 并且和圆O相切;(2)已知圆 Q和圆外一点 求圆P,使它通过定点并且和圆 Q相切于定点;(3)已知圆 Q和圆 求圆P,使它和圆 相切,并且和圆 Q相切于定点。522 圆弧拟合问题的解决方法圆弧拟合问题的解决方法 由上面分析可知,切割机翼模型的问题中求圆 属于第一类;求圆,圆,属于第二类;求圆 属于第三类。下面分别 就这三类问题进行具体计算。1第一类问题的解决方法第一类问题的解决方法 如图523
8、所示,定圆O的半径是 r,我们取O点为坐标系的原点。设所求的圆P和定圆O的切点的坐标为。我们只要确定圆 P的圆心就可以了。因为 是它的半径,点是圆O和圆 P的切点,所以P必须在直线 上,且有 (521)图523 其中。如果圆 O和圆 P内切,如图523所示;如果圆O和圆 P外切,则另一方面,P又必须在的垂直平分线上现在令的中点为B,则那么和 垂直的一个向量为 于是 P的坐标可写为(522)其中l表示从 B点算起到 P点的距离,应取正值。假定 时恰好为所求的P,从(521)得到 展开两边并加以整理,容易得到 式中令 两边平方的结果是 其中 从此解出 (523)应取正值如果它有两个解,分别表示内切
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