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1、2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(天 津 卷)数 学(文 史 类)本 试 卷 分 为 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分,共 150 分,考 试 用 时 120 分 钟。第 卷 1至 2 页,第 卷 3 至 5 页。答 卷 前,考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 号 填 写 在 答 题 卡 上,并 在 规 定 位 置 粘 贴 考 试 用 条 形 码。答 卷 时,考 生 务 必 将 答 案 涂 写 在 答 题 卡 上,答 在 试 卷 上 的 无 效。考 试 结 束 后,将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。祝 各
2、位 考 生 考 试 顺 利!第 卷注 意 事 项:1 每 小 题 选 出 答 案 后,用 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动,用 橡 皮 擦 干 净 后,再选 涂 其 他 答 案 标 号。2 本 卷 共 8 小 题,每 小 题 5 分,共 40 分。参 考 公 式:如 果 事 件 A,B 互 斥,那 么()()()P A B P A P B.圆 柱 的 体 积 公 式V Sh,其 中 S 表 示 圆 柱 的 底 面 面 积,h 表 示 圆 柱 的 高.棱 锥 的 体 积 公 式13V Sh,其 中 S 表 示 棱 锥 的 底 面 面 积,h
3、表 示 棱 锥 的 高.一 选 择 题:在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的(1)设 集 合 1,1,2,3,5,2,3,4,|1 3 A B C x x R,则()A C B(A)2(B)2,3(C)-1,2,3(D)1,2,3,4(2)设 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件2 0,2 0,1,1,x yx yxy 则 目 标 函 数 4 z x y 的 最 大 值 为(A)2(B)3(C)5(D)6(3)设 x R,则“0 5 x”是“|1|1 x”的(A)充 分 而 不 必 要 条 件(B)必 要 而 不 充 分 条 件(C)
4、充 要 条 件(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(4)阅 读 下 边 的 程 序 框 图,运 行 相 应 的 程 序,输 出 S 的 值 为(A)5(B)8(C)24(D)29(5)已 知0.22 3log 7,log 8,0.3 a b c,则 a,b,c 的 大 小 关 系 为(A)c b a(B)a b c(c)b c a(D)c a b(6)已 知 抛 物 线24 y x 的 焦 点 为 F,准 线 为 l.若 l 与 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 两 条 渐 近 线 分 别交 于 点 A 和 点 B,且|4|AB OF(O 为 原 点),则 双
5、曲 线 的 离 心 率 为(A)2(B)3(C)2(D)5(7)已 知 函 数()sin()(0,0,|)f x A x A 是 奇 函 数,且 f x 的 最 小 正 周 期 为,将 y f x 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍(纵 坐 标 不 变),所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 g x.若 24g,则38f(A)-2(B)2(C)2(D)2(8)已 知 函 数2,0 1,()1,1.x xf xxx 若 关 于 x 的 方 程1()()4f x x a a R 恰 有 两 个 互 异 的 实 数 解,则 a 的 取 值 范 围 为(A)5
6、 9,4 4(B)5 9,4 4(C)5 9,1 4 4(D)5 9,1 4 4 2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(天 津 卷)数 学(文 史 类)第 卷注 意 事 项:1 用 黑 色 墨 水 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上。2 本 卷 共 12 小 题,共 110 分。二 填 空 题:本 大 题 共 6 小 题,每 小 题 5 分,共 30 分(9)i 是 虚 数 单 位,则5 i1 i的 值 为_.(10)设 x R,使 不 等 式23 2 0 x x 成 立 的 x 的 取 值 范 围 为_.(11)曲 线 cos2xy
7、 x 在 点(0,1)处 的 切 线 方 程 为_.(12)已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为2的 正 方 形,侧 棱 长 均 为5.若 圆 柱 的 一 个 底 面 的 圆 周 经 过 四 棱 锥 四 条侧 棱 的 中 点,另 一 个 底 面 的 圆 心 为 四 棱 锥 底 面 的 中 心,则 该 圆 柱 的 体 积 为_.(13)设 0,0,2 4 x y x y,则(1)(2 1)x yxy 的 最 小 值 为_.(14)在 四 边 形 ABCD 中,,2 3,5,30 AD BC AB AD A,点 E 在 线 段CB 的 延 长 线 上,且 AE BE,则BD AE _.三
8、 解 答 题:本 大 题 共 6 小 题,共 80 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明,证 明 过 程 或 演 算 步 骤(15)(本 小 题 满 分 13 分)2019 年,我 国 施 行 个 人 所 得 税 专 项 附 加 扣 除 办 法,涉 及 子 女 教 育、继 续 教 育、大 病 医 疗、住 房 贷 款 利息 或 者 住 房 租 金、赡 养 老 人 等 六 项 专 项 附 加 扣 除.某 单 位 老、中、青 员 工 分 别 有 72,108,120 人,现 采 用分 层 抽 样 的 方 法,从 该 单 位 上 述 员 工 中 抽 取 25 人 调 查 专 项 附 加 扣 除 的
9、享 受 情 况.()应 从 老、中、青 员 工 中 分 别 抽 取 多 少 人?()抽 取 的 25 人 中,享 受 至 少 两 项 专 项 附 加 扣 除 的 员 工 有 6 人,分 别 记 为,A B C D E F.享 受情 况 如 下 表,其 中“”表 示 享 受,“”表 示 不 享 受.现 从 这 6 人 中 随 机 抽 取 2 人 接 受 采 访.员 工项 目A B C D E F子 女 教 育 继 续 教 育 大 病 医 疗 住 房 贷 款 利 息 住 房 租 金 赡 养 老 人(i)试 用 所 给 字 母 列 举 出 所 有 可 能 的 抽 取 结 果;(ii)设 M 为 事
10、件“抽 取 的 2 人 享 受 的 专 项 附 加 扣 除 至 少 有 一 项 相 同”,求 事 件 M 发 生 的 概 率.(16)(本 小 题 满 分 13 分)在 ABC 中,内 角,A B C 所 对 的 边 分 别 为,a b c.已 知 2 b c a,3 sin 4 sin c B a C.()求 cos B 的 值;()求 sin 26B 的 值.(17)(本 小 题 满 分 13 分)如 图,在 四 棱 锥 P ABCD 中,底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形,PCD 为 等 边 三 角 形,平 面 PAC 平面 PCD,,2,3 PA CD CD AD.()设 G,H
11、 分 别 为 PB,AC 的 中 点,求 证:GH 平 面 PAD;()求 证:PA 平 面 PCD;()求 直 线 AD 与 平 面 PAC 所 成 角 的 正 弦 值.(18)(本 小 题 满 分 13 分)设 na 是 等 差 数 列,nb 是 等 比 数 列,公 比 大 于 0,已 知1 1 2 3 3 23,4 3 a b b a b a.()求 na 和 nb 的 通 项 公 式;()设 数 列 nc 满 足21nnncb n,为 奇 数,,为 偶 数.求*1 1 2 2 2 2()n na c a c a c n N.(19)(本 小 题 满 分 14 分)设 椭 圆2 22 2
12、1(0)x ya ba b 的 左 焦 点 为 F,左 顶 点 为 A,上 顶 点 为 B.已 知 3|2|OA OB(O 为原 点).()求 椭 圆 的 离 心 率;()设 经 过 点 F 且 斜 率 为34的 直 线 l 与 椭 圆 在 x 轴 上 方 的 交 点 为 P,圆 C 同 时 与 x 轴 和 直 线 l 相 切,圆 心 C 在 直 线 x=4 上,且OC AP,求 椭 圆 的 方 程.(20)(本 小 题 满 分 14 分)设 函 数()ln(1)exf x x a x,其 中 a R.()若 a0,讨 论()f x 的 单 调 性;()若10ea,(i)证 明()f x 恰
13、有 两 个 零 点;(ii)设0 x 为()f x 的 极 值 点,1x 为()f x 的 零 点,且1 0 x x,证 明0 13 2 x x.2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(天 津 卷)数 学(文 史 类)参 考 解 答一 选 择 题:本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算.每 小 题 5 分,满 分 40 分.(1)D(2)C(3)B(4)B(5)A(6)D(7)C(8)D二 填 空 题:本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算.每 小 题 5 分,满 分 30 分.(9)13(10)21,3(11)+2 2=0 x y(12)
14、4(13)92(14)1 三.解 答 题(15)本 小 题 主 要 考 查 随 机 抽 样、用 列 举 法 计 算 随 机 事 件 所 含 的 基 本 事 件 数、古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式等 基 本 知 识,考 查 运 用 概 率 知 识 解 决 简 单 实 际 问 题 的 能 力.满 分 13 分.解:()由 已 知,老、中、青 员 工 人 数 之 比 为 6:9:10,由 于 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 25 位 员工,因 此 应 从 老、中、青 员 工 中 分 别 抽 取 6 人,9 人,10 人.()(i)从 已 知 的 6 人 中 随 机
15、 抽 取 2 人 的 所 有 可 能 结 果 为,A B A C A D A E A F B C,B D B E B F C D C E,C F,D E D F E F,共 15 种.(ii)由 表 格 知,符 合 题 意 的 所 有 可 能 结 果 为,A B A D A E A F B D B C E B F E C F D F E F,共 11 种.所 以,事 件 M 发 生 的 概 率11()15P M.(16)本 小 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系,两 角 和 的 正 弦 公 式,二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 公 式,以 及 正弦 定 理、余 弦
16、 定 理 等 基 础 知 识.考 查 运 算 求 解 能 力.满 分 13 分.()解:在 ABC 中,由 正 弦 定 理sin sinb cB C,得 sin sin b C c B,又 由 3 sin 4 sin c B a C,得 3 sin 4 sin b C a C,即 3 4 b a.又 因 为 2 b c a,得 到43b a,23c a.由 余 弦 定 理 可 得2 2 22 2 24 1619 9cos22 423a a aa c bBaca a.()解:由()可 得215sin 1 cos4B B,从 而15sin 2 2sin cos8B B B,2 27cos 2 co
17、s sin8B B B,故15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin 2 cos cos 2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B.(17)本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 平 行、直 线 与 平 面 垂 直、平 面 与 平 面 垂 直、直 线 与 平 面 所 成 的 角 等 基 础知 识.考 查 空 间 想 象 能 力 和 推 理 论 证 能 力.满 分 13 分.()证 明:连 接 BD,易 知 AC BD H,BH DH.又 由 BG=PG,故GH PD.又 因 为 GH 平 面 PAD,PD 平 面 PAD,所 以 GH 平 面 PAD.()证 明:取 棱
18、 PC 的 中 点 N,连 接 DN.依 题 意,得 DN PC,又 因 为 平 面 PAC 平 面 PCD,平 面 PAC 平 面 PCD PC,所 以 DN 平 面 PAC,又 PA 平 面 PAC,故 DN PA.又 已 知 PA CD,CD DN D,所 以 PA 平 面 PCD.()解:连 接 AN,由()中 DN 平 面 PAC,可 知 DAN 为 直 线 AD 与 平 面 PAC 所 成 的 角,因 为 PCD 为 等 边 三 角 形,CD=2 且 N 为 PC 的 中 点,所 以3 DN.又 DN AN,在 Rt AND 中,3sin3DNDANAD.所 以,直 线 AD 与
19、平 面 PAC 所 成 角 的 正 弦 值 为33.(18)本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列、等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 其 前 n 项 和 公 式 等 基 础 知 识,考 查 数 列 求 和 的 基本 方 法 和 运 算 求 解 能 力.满 分 13 分.()解:设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d,等 比 数 列 nb 的 公 比 为 q.依 题 意,得23 3 2,3 15 4,q dq d 解 得3,3,dq 故13 3(1)3,3 3 3n nn na n n b.所 以,na 的 通 项 公 式 为 3na n,nb 的 通 项 公 式 为 3nnb.
20、()解:1 1 2 2 2 2 n na c a c a c 1 3 5 2 1 2 1 4 2 6 3 2 n n na a a a a b a b a b a b 1 2 3(1)3 6(6 3 12 3 18 3 6 3)2nn nn n 2 1 23 6 1 3 2 3 3nn n.记1 21 3 2 3 3nnT n,则2 3 13 1 3 2 3 3nnT n,得,12 3 1 13 1 3(2 1)3 32 3 3 3 3 3133 2nnn n nnnT n n.所 以,12 21 1 2 2 2 2(2 1)3 33 6 3 32nn n nna c a c a c n T
21、n 2 2(2 1)3 6 92nn nn N.(19)本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质、直 线 方 程、圆 等 基 础 知 识.考 查 用 代 数 方 法 研 究 圆 锥 曲线 的 性 质.考 查 运 算 求 解 能 力,以 及 用 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想 解 决 问 题 的 能 力.满 分 14 分.()解:设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c,由 已 知 有3 2 a b,又 由2 2 2a b c,消 去 b 得22 232a a c,解 得12ca.所 以,椭 圆 的 离 心 率 为12.()解:由()知,2,3 a c b c
22、,故 椭 圆 方 程 为2 22 214 3x yc c.由 题 意,(,0)F c,则 直 线 l 的方 程 为3()4y x c 点 P 的 坐 标 满 足2 22 21,4 33(),4x yc cy x c 消 去 y 并 化 简,得 到2 27 6 13 0 x cx c,解 得1 213,7cx c x.代 入 到 l 的 方 程,解 得1 23 9,2 14y c y c.因 为 点 P 在 x 轴 上 方,所 以3,2P c c.由 圆 心C 在 直 线 4 x 上,可 设(4,)C t.因 为 OC AP,且 由()知(2,0)A c,故324 2ctc c,解得 2 t.因
23、 为 圆C 与 x 轴 相 切,所 以 圆 的 半 径 长 为 2,又 由 圆 C 与 l 相 切,得23(4)242314c,可 得=2 c.所 以,椭 圆 的 方 程 为2 2116 12x y.(20)本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 运 算、不 等 式 证 明、运 用 导 数 研 究 函 数 的 性 质 等 基 础 知 识 和 方 法.考 查 函 数 思想、化 归 与 转 化 思 想.考 查 综 合 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力.满 分 14 分.()解:由 已 知,()f x 的 定 义 域 为(0,),且21 1 e()e(1)exx xfaxx a a x
24、x x.因 此 当 a0 时,21 e 0 xax,从 而()0 f x,所 以()f x 在(0,)内 单 调 递 增.()证 明:(i)由()知21 e()xaxf xx.令2()1 exg x ax,由10ea,可 知()g x 在(0,)内 单 调 递 减,又(1)1 e 0 g a,且2 21 1 1 1ln 1 ln 1 ln 0 g aa a a a.故()0 g x 在(0,)内 有 唯 一 解,从 而()0 f x 在(0,)内 有 唯 一 解,不 妨 设 为0 x,则011 ln xa.当 00,x x 时,0()()0g xg xf xx x,所 以()f x 在 00,
25、x 内 单 调 递 增;当 0,x x 时,0()()0g xg xf xx x,所 以()f x 在 0,x 内 单 调 递 减,因 此0 x 是()f x 的 唯 一 极 值 点.令()ln 1 h x x x,则 当 1 x 时,1()1 0 h xx,故()h x 在(1,)内 单 调 递 减,从 而 当 1 x 时,()(1)0 h x h,所 以 ln 1 x x.从 而ln11 1 1 1 1 1ln ln ln ln 1 e ln ln ln 1 ln 0af a ha a a a a a,又 因 为 0(1)0 f x f,所 以()f x 在0(,)x 内 有 唯 零 点.又()f x 在 00,x 内 有 唯 一 零 点 1,从 而,()f x 在(0,)内 恰 有 两 个 零 点.(ii)由 题 意,010,0,f xf x 即 01201 1e 1,ln e,1xxaxx a x 从 而1 0 11 201ln ex xxxx,即1 020 11lne1x xx xx.因 为当 1 x 时,ln 1 x x,又1 01 x x,故 1 020 1 2011e1x xx xxx,两 边 取 对 数,得1 020ln e lnx xx,于 是 1 0 0 02ln 2 1 x x x x,整 理 得0 13 2 x x.
限制150内