高考数学经典题汇编中学教育高考_中学教育-高考.pdf
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1、学习必备 欢迎下载(精品)高考数学经典试题汇编 1.下表给出一个“等差数阵”:4 7()()()aj1 7 12()()()aj2 ()()()()()aj3 ()()()()()aj4 ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第 i 行第 j 列的数(1)写出a45的值;(2)写出aij的计算公式;()证明:正整数 N在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1可以分解成两个不是 1 的正整数之积讲解 学会按步思维,从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值(1)按第一行依次可读出:,1013a1314a,1615a;按第一行依次可读出:,1723a
2、2224a,2725a;最后,按第列就可读出:,3835a4945a ()因为该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列,所以它的通项公式是:ajj1431()而第二行是首项为 7,公差为 5 的等差数列,于是它的通项公式为:ajj2751()通过递推易知,第i行是首项为431()i,公差为21i 的等差数列,故有43(1)(21)(1)(21).ijaiijijj ()先证必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i,j使得Nijj()21从而 12)12(212jjiN()()21 21ij,这说明正整数 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积再证充分性:若 2N+
3、1可以分解成两个不是 1 的正整数之积,由于 2N+1是奇数,则它必为两个不是 1的 奇 数 之 积,即 存 在 正 整 数k,l,使 得2121 21Nkl()(),从 而 Nkllakl ()21,由此可见 N在该等差数阵中综上所述,正整数 N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是 1 的正整数之积.2.求3244lg22xyyxyx,311。3.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 2578),在二位的“渐升数”中任取一数比学习必备 欢迎下载 37 大的概率是 1736。4.函数 1aayx及其反函数的图象与函数xy1的图象交于 A、B 两点,若22AB,则实
4、数a的值等于_。2 1(21)a 5.从装有1n个球(其中n个白球,1个黑球)的口袋中取出m个球Nnmnm,0,共有mnC1种取法。在这mnC1种取法中,可以分成两类:一类是取出的m个球全部为白球,共有mnCC 01种取法;另 一 类 是 取 出 的m个 球 有1m个 白 球 和1个 黑 球,共 有111mnCC种 取 法。显 然mnmnmnCCCCC111101,即有等式:mnmnmnCCC11成立。试根据上述思想化简下列式子:kmnkkmnkmnkmnCCCCCCC2211 mknC Nnmknmk,1。6.某企业购置了一批设备投入生产,据分析每台设备生产的总利润y(单位:万元)与年数xN
5、x满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大,则每台设备应使用 (C)(A)3 年 (B)4 年 (C)5 年 (D)6 年 7.(14 分)已知函数Zkxxfkk22)(,且)3()2(ff(1)求k的值;(2)试判断是否存在正数p,使函数xpxfpxg12)(1)(在区间 2,1上的值域为817,4。若存在,求出这个p的值;若不存在,说明理由。解:(1))3()2(ff,022kk,即022 kk,Zk,10或k(2)2)(xxf,ppppxpxpxpxg414212121)(222;当 2,1212pp,即,41p时,1)2(,4)1(,2,8174142ggppp;当,2212p
6、p时,0p,这样的p不存在。当1,212pp,即41,0p时,4)2(,817)1(gg,这样的p不存在。综上得,2p。8.(14 分)如图,设圆 3222yx的圆心为 C,此圆和 抛物线02ppxy有四个交点,若在x轴上方的两个交 列的数写出的值写出的计算公式证明正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积讲解学会按步思维从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值按第一行依次可读出按第一行依次可读出最后按第列就可列于是它的通项公式为通过递推易知第行是首项为公差为的等差数列故有先证必要性若在该等差数阵中则存在正整数使得从而这说明正整数可以分解成两个不是的正整数之积再证充分性若
7、可以分解成两个不是的正整数之积由于是奇的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积求升数是指每个数字比其左边的数字大的自然数如在二位的升数中任取一数比学习必备欢迎下载大的概率是函数及其反函数的图象与函数的图象交于两点若的值等于从装有个球其中个学习必备 欢迎下载 点为 A、B,坐标原点为 O,AOB的面积为 S。(1)求 P 的取值范围;(2)求 S 关于 P 的函数)(pf的表达式及 S 的取值范围;(3)求当 S 取最大值时,向量CBCA,的夹角。解:(1)把 pxy2 代入 3222yx 得 0142xpx 由 0002121xxxx,得 00401282pppp ,即 2,0p (2)设
8、2211,pxxBpxxA,AB的方程:121211xxxxpxpxpxy 121xxxxp,即 0121121xxxppxyxxxp 即 02121xpxyxxxp,即 06pypxp 点 O 到 AB 的距离6pd,又pxxpxxAB612221221 21221661221PPPPS,即 21,0S (3)S取最大值时,1P,解方程0132 xx,得215,253,215,253BA 215,215,215,215CBCA,011 CBCA 向量CBCA,的夹角的大小为90。9.(16 分)前段时期美国为了推翻萨达姆政权,进行了第二次海湾战争。据美军估计,这场以推翻萨达姆政权为目的的战争
9、的花费约为540亿美元。同时美国战后每月还要投入约4亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源,这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约10亿美元,只是为此美国每月还需另向伊交纳约1亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设,美国每月的石油总收入以0050的速度递增,直至第四个月方才稳定下来,但维护费还在缴纳。问多少个月后,美国才能收回在伊的“投资”?解:设n个月后,美国才能收回在伊的“投资”,则 nnn454035.15.15.11 1032 即75.59375.28n,65.20n,即21个月后,美国才能收回在伊的“投资”。10.数列,5,4,4,4,
10、4,3,3,3,2,2,1的第 2004 项是_。63 列的数写出的值写出的计算公式证明正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积讲解学会按步思维从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值按第一行依次可读出按第一行依次可读出最后按第列就可列于是它的通项公式为通过递推易知第行是首项为公差为的等差数列故有先证必要性若在该等差数阵中则存在正整数使得从而这说明正整数可以分解成两个不是的正整数之积再证充分性若可以分解成两个不是的正整数之积由于是奇的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积求升数是指每个数字比其左边的数字大的自然数如在二位的升数中任取一数比学习必备欢迎下载大的概率是函数
11、及其反函数的图象与函数的图象交于两点若的值等于从装有个球其中个学习必备 欢迎下载 11.在等比数列na中,20101a,公比31q,若)(321Nnaaaabnn,则nb达到最大时,n的值为_。8 12.设函数为常数)baxbxaxf,(|)(,且0)2(f;)(xf有两个单调递增区间,则同时满足上述条件的一个有序数对),(ba为_。满足)0()4,(ttt的任一组解均可 13.已知两条曲线0:,1:22221xbxyaxCyxC(ba,不同时为 0).则“221ab”是“1C与2C有且仅有两个不同交点”的 A(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条
12、件 14.已知二次函数)(41)(2Rtat battf有最大值且最大值为正实数,集合 0|xaxxA,集合|22bxxB。(1)求A和B;(2)定义A与B的差集:AxxBA|且Bx。设a,b,x均为整数,且Ax。)(EP为x取自BA的概率,)(FP为x取自BA的概 率,写出a与b的三组值,使32)(EP,31)(FP,并分别写出所有满足上述条件的a(从 大到小)、b(从小到大)依次构成的数列na、nb的通项公式(不必证明);(3)若函数)(tf中,naa,nbb (理)设1t、2t是方程0)(tf的两个根,判断|21tt 是否存在最大值及最小值,若存在,求出相应的值;若不存在,请说明理由。(
13、文)写出)(tf的最大值)(nf,并判断)(nf是否存在最大值及最小值,若存在,求出相应 的值;若不存在,请说明理由。(1))()(412Rttbattfa有最大值,0a。配方得ababtatf4122)()(,由1041bab。0|xaxA,|bxbxB。(2)要使32)(EP,31)(FP。可以使A中有 3 个元素,BA中有 2 个元素,BA中有 1 个元素。则2,4ba。A中有 6 个元素,BA中有 4 个元素,BA中有 2 个元素。则3,7ba。A中有 9 个元素,BA中有 6 个元素,BA中有 3 个元素。则4,10ba。1,13nbnann。(3)(理)0)(tf,得01nb。69
14、1169121221211224)(|)(nnnnnnnabttttttng,692911nnnn,当且仅当31n时等号成立。)(ng在N上单调递增。41max21)1(|gtt。又0)(limngn,故没有最小值。(文)nnnnnabng412141241)(单调递增,41min)1()(fnf,又121)(limnfn,没有最大值。15.把数列 121n的所有数按照从大到小,左大右小的原则写成如下数表:第k行有12k个数,第t行的第s个数(从左数起)记为stA,,则 17,8A 1287。16.我边防局接到情报,在海礁 AB 所在直线l的一侧点 M 处有走私团伙在进行交易活动,边防局迅速派
15、出快艇前去搜捕。如图,已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处,8PA公里,10PB公里,60APB。(1)(10 分)是否存在点 M,使快艇沿航线MAP或MBP的路程相等。如存在,则建立适291191171151131111917151311列的数写出的值写出的计算公式证明正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积讲解学会按步思维从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值按第一行依次可读出按第一行依次可读出最后按第列就可列于是它的通项公式为通过递推易知第行是首项为公差为的等差数列故有先证必要性若在该等差数阵中则存在正整数使得从而这说明正整数可以分解成两个不是的正整数之积再证充
16、分性若可以分解成两个不是的正整数之积由于是奇的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积求升数是指每个数字比其左边的数字大的自然数如在二位的升数中任取一数比学习必备欢迎下载大的概率是函数及其反函数的图象与函数的图象交于两点若的值等于从装有个球其中个学习必备 欢迎下载 当的直角坐标系,求出点 M 的轨迹方程,且画出轨迹的大致图形;如不存在,请说明理由。(2)(4 分)问走私船在怎样的区域上时,路线MAP比路线MBP的路程短,请说明理由。解:(1)建立直角坐标系(如图),2MBMA,点 M 的轨迹为双曲线的一部分,2128010064AB,即20,21,12bca 点 M 的轨迹方程为0,11202
17、2yxyx (2)走私船如在直线l的上侧且在(1)中曲线的左侧的区域时,路线MAP的路程较短。理由:设AM的延长线与(1)中曲线交于点N,则BNPBANPA MNBNPBMNANPAAMPA BMPB 17.已知函数)(xf对任意的整数yx,均有xyyfxfyxf2)()()(,且1)1(f。(1)(3 分)当Zt,用t的代数式表示)()1(tftf;(2)(理)(10 分)当Zt,求)(tf的解析式;(文)(6 分)当Nt,求)(tf的解析式;(3)如果 Rax,1,1,且 affffxxxx2222)2004()2003()2()1(恒成立,求a的取值范围。(理 5 分;文 9 分)解:(
18、1)令ttftftftftfytx21)()1(,2)1()()1(,1,(2)(理)当 0Zt时,12)1()(,3)1()2(,1)0()1(,0)0(ttftffffff,上述各式相加,得2)(ttf 当Zt时,,5)3()2(,3)2()1(,1)1()0(ffffff 1)(212)()1(tttftf 上述各式相加,得2)()(ttf,即2)(ttf 综上,得2)(,ttfZt。(文)Nt,2)(ttf 列的数写出的值写出的计算公式证明正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积讲解学会按步思维从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值按第一行依次可读出按第一行依
19、次可读出最后按第列就可列于是它的通项公式为通过递推易知第行是首项为公差为的等差数列故有先证必要性若在该等差数阵中则存在正整数使得从而这说明正整数可以分解成两个不是的正整数之积再证充分性若可以分解成两个不是的正整数之积由于是奇的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积求升数是指每个数字比其左边的数字大的自然数如在二位的升数中任取一数比学习必备欢迎下载大的概率是函数及其反函数的图象与函数的图象交于两点若的值等于从装有个球其中个学习必备 欢迎下载 (3))1,1(200420032004220041xaxxx恒成立 令)1,1(200420032004220041)(xxgxxx,)(xg是减函数
20、220032004200321)1(ga 18.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是两个互异的点,点 P 的坐标由公式112121yyyxxx确定,当R 时,则 (C )AP 是直线 AB 上的所有的点 BP 是直线 AB 上除去 A的所有的点 CP 是直线 AB 上除去 B 的所有点 DP 是直线 AB 上除去 A、B 的所有点 19.设12)310(n(nN)的整数部分和小数部分分别为 In和 Fn,则 Fn(Fn+In)的值为(A )A1 B2 C4 D与 n 有关的数 20.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下 0001,0002,0003,1000,打算从中抽取一个容量为
21、50 的样本,按系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001,0002,0020,第一部分随机抽取一个号码为 0015,则第 40 个号码为 0795 21.设 x、y、z 中有两条直线和一个平面,已知命题|xyxzyz为真命题,则 x、y、z 中一定为直线的是 z 22.秋收要到了,粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为 a、b 的矩形木板,在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓,这个农户在犹豫,是将长为 a 的边放在地上,还是将边长为 b 的边放在地上,木板又该放在什么位置的时候,才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案,使粮仓所能储放的粮食最多(即粮仓的
22、容积最大)设墙角的两个半平面形成的二面角为定值 。将 b 边放在地上,如图所示,则粮仓的容积等于以ABC为底面,高为 a 的直三棱柱的体积。由于该三棱柱的高为定值 a,于是体积取最大值时必须ABC 的面积 S 取最大值。设 AB=x,AC=y,则由余弦定理有 2222cosbxyxy22cosxyxy,于是,xy22(1cos)b,A B C x y a b 第 22 题答图 列的数写出的值写出的计算公式证明正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积讲解学会按步思维从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值按第一行依次可读出按第一行依次可读出最后按第列就可列于是它的通项公式
23、为通过递推易知第行是首项为公差为的等差数列故有先证必要性若在该等差数阵中则存在正整数使得从而这说明正整数可以分解成两个不是的正整数之积再证充分性若可以分解成两个不是的正整数之积由于是奇的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积求升数是指每个数字比其左边的数字大的自然数如在二位的升数中任取一数比学习必备欢迎下载大的概率是函数及其反函数的图象与函数的图象交于两点若的值等于从装有个球其中个学习必备 欢迎下载 从而,S=1sin2xy22cotsin24(1cos)4bb。当且仅当 x=y 时,S 取最大值。故当 AB=AC 时,(Vb)max=2cot24ab。同理,当 a 边放在地上时,(Va)m
24、ax=2cot24ba。显然,当 ab 时,(Va)max(Vb)max;当 ab 时,(Va)max(Vb)max;当 a=b 时,(Va)max=(Vb)max。故当 ab 时,将 a 边放地上,且使底面三角形成以 a 为底边的等腰三角形;当 ba 时,将 b 边放地上,且使底面三角形成以 b 为底边的等腰三角形;当 a=b 时,无论将 a 边还是 b 边放在地上均可,只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。23.已知一个数列an的各项是 1 或 3首项为 1,且在第 k个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 3,即 1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,
25、3,1,记数列的前 n 项的和为 Sn()试问第 2004 个 1 为该数列的第几项?()求 a2004;()S2004;()是否存在正整数 m,使得 Sm=2004?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由 将第 k 个 1 与第 k+1 个 1 前的 3 记为第 k 对,即(1,3)为第 1 对,共 1+1=2 项;(1,3,3,3)为第 2对,共 1+(22-1)=4 项;)3,3,3,3,1(312 个共k为第 k对,共 1+(2k-1)=2k项;故前 k对共有项数为 2+4+6+2k=k(k+1)()第 2004 个 1 所在的项为前 2003 对所在全部项的后 1 项,即为
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