2024版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法.docx
《2024版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2024版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法.docx(14页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第一节数列的概念与简单表示法考试要求:1了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、公式法)2了解数列是一种特殊函数一、教材概念结论性质重现1数列的概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式前n项和把数列an从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列an的前n项和,记作Sn,即Sna1a2an(1)数列研究的是有顺序的一列数,归纳与猜想是研究数列的重要方法(2)有序性是数列的主要特征,数列的项an是序号n的函数,其中n是正整数(3)数列
2、的前n项和是从a1一直加到an,而不是从中间取出某n项的和2数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式用公式anf(n),nN*给出数列递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1,a2和an1f(an,an1)等表示数列的方法1数列的图象是由离散的点(n,an)组成2用递推公式表示数列时,必须含有初始值,初始值可能是一项,也可能是两项或若干项3an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn,则anS1,n=1, SnSn1,n2.1当n2时,anSnSn1不能表示a1.2需要验证当n1时是否满足统一的an与n之间的规律,如果不满足,
3、则通项公式是分段的4数列的分类如果数列的项先递增,后递减,则数列有最大项;如果数列的项先递减,后递增,则数列有最小项二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误,对的画“”,错的画“”(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来()(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若an1an0(n2),则数列an是递增数列()(4)如果数列an的前n项和为Sn,则对于任意nN*,都有an1Sn1Sn.()2已知数列an的通项公式为ann28n15,则()A3不是数列an中的项B3只是数列an中的第2项C3只是数列an中的第6项D3是数列an中的第2项或第6项D解析:令an3,即n
4、28n153,解得n2或n6,故3是数列an中的第2项或第6项故选D3数列1,4,9,16,25,的一个通项公式是()Aann2Ban(1)nn2Can(1)n+1n2Dan(1)n(n1)2C解析:因为每一项的绝对值都是该项序号的平方,奇数项符号为正,偶数项符号为负,所以an(1)n+1n2.故选C4已知ann2n,且对于任意的nN*,数列an是递增数列,则实数的取值范围是_(3,)解析:因为an是递增数列,所以对任意的nN*,都有an1an,即(n1)2(n1)n2n,整理得2n10,即(2n1)(*)因为n1,所以(2n1)3,要使不等式(*)恒成立,只需3.考点1由数列的前几项求通项公
5、式基础性根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)112,123,134,145,;(2)23,415,635,863,1099,;(3)12,2,92,8,252,;(4)5,55,555,5 555,.解:(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式an(1)n1nn+1.(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为13,35,57,79,911,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式an2n2n12n+1.(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数
6、再观察,即12,42,92,162,252,从而可得数列的一个通项公式ann22.(4)将原数列改写为599,5999,59999,易知数列9,99,999,的一个通项公式为10n1,故所求的数列的一个通项公式an59(10n1)1错误地表示符号规律致误:项正负相间的数列可以用1n,(1)n+1表示符号,要分清是先负后正还是先正后负2未对项变形致误:若已知的项的形式不统一,则不便求通项公式,因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式,如题(3)3求通项公式时要注意联想:对于如题(4)这样的数列,可以通过联想10,100,1 000,10 0009,99,999,9 9991,11,111
7、,1 111进而得到通项公式考点2由Sn与an的关系求通项综合性(1)若数列an的前n项和Snn210n,则此数列的通项公式为an_(2)若数列an的前n项和Sn2n1,则此数列的通项公式为an_(1)2n11(2)3,n=1, 2n1,n2.解析:(1)当n1时,a1S11109;当n2时,anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.当n1时,21119a1,所以an2n11.(2)当n2时,anSnSn1(2n1)(2n-11)2n2n-12n-1.当n1时,a1S12113,不满足上式,综上有an3,n=1,2n1,n2.将本例(1)的条件变为:数列an满足a12a23a3n
8、an2n,求an.解:当n1时,由已知,可得a1212.因为当n2时,a12a23a3nan2n,故a12a23a3(n1)an12n-1.由,得nan2n2n-12n-1,所以an2n1n.显然当n1时不满足上式,所以an2,n=1,2n1n,n2.已知Sn求an的步骤(1)利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用anSnSn1(n2)求出当n2时an的表达式(3)检验n1时的值是否符合n2时的表达式,再写出通项公式an.1已知Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn1)n1,则数列an的通项公式为()Aan2nBan3,n=1,2n,n2Can2n-1Dan
9、2n+1B解析:由log2(Sn1)n1,得Sn12n+1,即Sn2n+11.当n1时,a1S13.当n2时,anSnSn12n,显然当n1时不满足上式所以数列an的通项公式为an3,n=1,2n,n2.故选B2已知数列an的前n项和Snn22n1(nN),则an_4,n=1, 2n+1,n2解析:当n2时,anSnSn12n1.当n1时,a1S14211,显然不满足上式因此an4,n=1, 2n+1,n2.考点3由数列的递推关系求通项应用性考向1累加法已知在数列an中,a12,an1anln 1+1n,求数列an的通项公式解:因为an1anln 1+1n,所以an1anln n+1n,所以a
10、nan1ln nn1(n2),所以an1an2ln n1n2,a2a1ln 21(n2),所以ana1ln nn1ln n1n2ln 21ln n(n2),所以anln na1(n2)又a12,所以anln n2.对形如an1anf(n)的模型求an,可以将式子变形为anan1f(n1)(n2),通过累加方法求通项公式考向2累乘法在数列an中,a11,ann1nan1(n2),求数列an的通项公式解:因为ann1nan1(n2),所以an1n2n1an2,an2n3n2an3,a212a1.所以anan1n1n,an1an2n2n1,a2a112,以上(n1)个式子等号的两端相乘得ana112
11、23n1na1n1n.当n1时,a11,上式也成立所以an1n(nN)对形如an1anf(n)(f(n)可求积)的模型求an,先变形为anan1f(n1)(n2),再用累乘法求出ana1与n的关系式,进而得到数列an的通项公式考向3待定系数法已知数列an满足a11,an12an3,求数列an的通项公式解:将递推公式an12an3设为an1t2(ant),即an12ant,解得t3,故递推公式为an132(an3)令bnan3,则b1a134,且bn+1bnan+1+3an+32.所以数列bn是以b14为首项,2为公比的等比数列,所以bn42n-12n+1,故an2n+13.对形如an1panq
12、(p1)模型求an,设为an1mp(anm),构造anm为公比为p的等比数列,先求出anm的通项公式,进而求出an.其中m=qp1考向4取倒数法已知数列an满足a12,an12an2+an(nN),则an_2n解析:因为an12an2+an,所以1an+11an12.因为a12,即1a112,所以数列1an是首项为12,公差为12的等差数列,所以1an12(n1)12n2,故an2n.形如an1AanBan+C(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新的数列求解1若a11,an1an2n1,则an_n22n2解析:因为an1an2n1,所以当n2时,anan12n3,所以a2
13、a11,a3a23,anan12n3,所以ana11+2n3n12(n1)2,所以an(n1)21n22n2.又当n1时,122121,所以n1时符合上式所以ann22n2.2若a11,nan1(n1)an(n2),则an_2n+1解析:因为nan1(n1)an,所以anan1nn+1.又a11,所以ananan1an1an2a2a1a1nn+1n1nn2n1232n+1.3已知数列an满足a11,an13an2,求数列an的通项公式解:因为an13an2,所以an113(an1),所以an+1+1an+13,所以数列an1为等比数列且公比q3.又a112,所以an123n-1,所以an23n
14、-11(nN)考点4数列与函数应用性考向1数列的增减性与最大值、最小值(1)已知ann1n+1,那么数列an是()A递减数列B递增数列C常数列D摆动数列B解析:ann1n+1n+12n+112n+1,由于f(x)12x+1在(0,)上为增函数,所以ann1n+1为递增数列故选B(2)已知ann7n52(nN*),设am为数列an的最大项,则m_8解析:ann7n521527n52(nN*),根据函数的单调性知,当n7或n8时,数列an为递减数列因为当n7时,an1,所以a8为最大项,可知m8.本例(2)中的条件改为在数列an中,ann2 011n2 012,则该数列前100项中的最大项与最小项
15、分别是哪些项?解:ann2 011n2 01212 0122 011n2 012,2 01244.9,当1n44,nN*时,2 0122 011n2 012为负数且an递减;当45n100,nN*时,2 0122 011n2 012为正数,且an递减所以前100项中,最大项为a45,最小项为a44.解决数列的单调性问题的常用方法(1)用作差比较法,根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列(2)用作商比较法,根据an+1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断(3)结合相应函数的单调性直观判断考向2数列的周期性已知数列an中,a11,a22,且anan2an1(nN*)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2024 高考 数学 一轮 复习 数列 概念 简单 表示
限制150内