创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题27 非对称韦达定理.doc
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1、微专题27非对称韦达定理在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,我们常联立方程组,利用韦达定理整体代入来解决;但是有些情况,如有些定点、定值、定线问题,我们发现把韦达定理整体代入并不能完全消除两根,把这类问题称之为非对称韦达定理.类型一两式相除,和积转化把韦达定理两式相除得到两根的和积关系,然后把两根的积(或和)式代入,是非对称韦达定理化简时常用的方法. 例1 (2022郑州调研)已知双曲线C:1(a0,b0),四点M1,M2(3,),M3,M4中恰有三点在C上.(1)求C的方程;(2)过点(3,0)的直线l交C于P,Q两点,过点P作直线x1的垂线,垂足为A.证明:直线AQ过定点.(1)解M3与
2、M4关于原点对称,由题意知双曲线一定过M3和M4两点.当双曲线过M1,M3,M4时,有则0无解;当双曲线过M2,M3,M4时,有解得故C的方程为y21.(2)证明设直线l:xmy3代入y21,整理得(m23)y26my60,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则A(1,y1),由韦达定理得 得m,即my1y2y1y2,直线AQ:yy1(x1),令y0,解得x,x2,直线过定点(2,0).当直线l与x轴重合时,直线AQ也过点(2,0).训练1 过椭圆C:1的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M,N两点,过点M作直线l:x4的垂线,垂足为E.(1)已知直线EN过定点P,求定点P的坐
3、标.(2)点O为坐标原点,求OEN面积的最大值.解(1)由题意知F1(1,0),设直线MN方程为xmy1,设点M(x1,y1),N(x2,y2),E(4,y1),由得(3m24)y26my90,则y1y2,y1y2, 得,直线EN方程为yy1(x4).令y0,得x444,又my1y2(y1y2),故x44,因此直线EN过定点.(2)由|y1y2|,得SOEN|OP|y1y2|15.故OEN面积的最大值为.类型二第三定义法(斜率之积,e21)1.在椭圆1(ab0)中,A,B两点关于原点对称,P是椭圆上异于A,B两点的任意一点,若kPAkPB存在,则kPAkPB(反之亦成立).2.在双曲线1(a0
4、,b0)中,A,B两点关于原点对称,P是双曲线上异于A,B两点的任意一点,若kPAkPB存在,则kPAkPB(反之亦成立).注:若焦点在y轴上时,椭圆满足kPAkPB,双曲线满足kPAkPB.例2 (2022成都诊断改编)已知椭圆C:1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,过点F的直线l与椭圆交于P,Q(点P在x轴上方),设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数,使得k1k20?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.解由题意知F(2,0),设PQ的直线方程为xmy2,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(95m2)y220my250,则y1y2,y1y2,95m240恒成立
5、.直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,则k1,k2.假设存在,满足k1k20,即k1k2,则.即.法一(双参变单参)由得,所以my1y2,为定值.法二(和积转化法),为定值.法三(第三定义法)由A(3,0),B(3,0),得kPA,kPB,又P在1上,得1,即y5,故kPAkPB.为定值.法四(极点、极线法)由1得F点对应的极线为1,即x,令APBQM,由kAPkMA,kBQkMB,得,即.训练2 (2022潍坊模拟)已知双曲线C:1(a0,b0)的虚轴长为4,直线2xy0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程;(2)设双曲线的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双
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