创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题38 洛必达法则.doc
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1、微专题38洛必达法则洛必达法则(1)型若函数f(x)和g(x)满足下列条件:f(x)0及g(x)0;在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g(x)0;A,那么A.(2)型若函数f(x)和g(x)满足下列条件:f(x)及g(x);在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g(x)0;A,那么A.近些年高考函数与导数经常考查利用不等式恒成立求参数范围,此类问题主要采用分类讨论求最值和参变分离求最值,由于含参讨论比较困难,因此学生更多选择参变分离来处理.但有时分离后的函数的最值会在无意义点处或者趋近于无穷大,此时利用洛必达法则可达到事半功倍的效果.例1 已知函数f(x),如果当x0且x1
2、时,f(x),求k的取值范围.解法一(参变量分离、洛必达法则)当x0且x1时,f(x),即,也即k0且x1,则g(x).记h(x)ln x,则h(x)0,从而h(x)在(0,)上单调递增,且h(1)0,因此当x(0,1)时,h(x)0,故当x(0,1)时,g(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增.由洛必达法则有g(x)110,即当x1时,g(x)0,即当x0且x1时,g(x)0.因为k0),则h(x).当k0时,由h(x)知,当x1时,h(x)0,可得h(x)0;当x(1,)时,h(x)0,从而当x0且x1时,f(x)0,即f(x).当0k0,对称轴x1,g(1)2
3、k0,所以当x时,(k1)(x21)2x0,故h(x)0,而h(1)0,故当x时,h(x)0,可得h(x)0,而h(1)0,故当x(1,)时,h(x)0,可得h(x)g(x).(1)解f(x),由题意f(0)0,a1,f(x),f(x),f(1),f(1),f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y(x1),即y(x1).(2)证明令h(x)(x1),x1,h(x),h(x)0,所以h(x)在(1,)上单调递增,h(x)h(1)0,所以h(x)在(1,)上单调递增,h(x)h(1)0,故(x1).再令t(x)(x1),x(1,),t(x).令m(x)e(ln x)24,x(1,),则m(x)2e
4、ln x4.令n(x)2exln x4x4,x(1,),则n(x)2e(ln x1)42eln x2e40,则n(x)在(1,)上单调递增,n(x)n(1)0,m(x)0,则m(x)在(1,)上单调递增,m(x)m(1)0.t(x)0,则t(x)在(1,)上单调递增,t(1)不存在,由洛必达法则,得l1,t(1)0,t(x)t(1),t(x)0,(x1).综上,对x(1,),f(x)g(x).训练1 设函数f(x)1ex,当x0时,f(x),求a的取值范围.解(1)若x0,aR;(2)若x0,当a,则0),则g(x),令h(x)e2xx2ex2ex1,则h(x)2e2x2xexx2ex2exe
5、x(2ex2xx22).再令m(x)2ex2xx22,则m(x)2ex22x2(exx1),易得当x0时,m(x)0,即m(x)在(0,)上单调递增,m(x)m(0)0,h(x)0,即h(x)在(0,)上单调递增,h(x)h(0)0,g(x)0,即g(x)在(0,)上单调递增.连续两次使用洛必达法则,得g(x),故g(x)(x0).故当0a,x0时,1ex恒成立,综上,a的取值范围是.训练2 若不等式sin xxax3对于x恒成立,求a的取值范围.解当x时,原不等式等价于a,记f(x),则f(x),记g(x)3sin xxcos x2x,则g(x)2cos xxsin x2,g(x)2sin
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