2022年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.pdf
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1、2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36 分,每小题6 分)1. 已知函数2sinyx,则答: (A)有最小正周期2(B)有最小正周期(C)有最小正周期2(D)无最小周期2. 关于x的不等式22200 xaxa任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是答: (A)2(B)1(C)0(D)13. 已知向量a、b,设ABuu u ra 2b,5BCuuu ra 6b,7CDu uu ra 2b,则一定共线的三点是答: (A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D4. 设、为平面,m、n为直线,则m的一个充分条件是答: (A),nI,mn(B)
2、mI,(C),m(D)n,n,m5. 若m、22101010nx xaaa,其中12 34 5 6 7ia, , , , , ,01 2i, ,并且636mn,则实数对(, )m n表示平面上不同点的个数为答: (A)60个(B)70个(C)90个(D)120个6. 已知( )122007122007f xxxxxxxLL(xR),且2(32)(1),f aaf a则 a 的值有答: (A)2个(B)3个(C)4个( D)无数个二、填空题(本题满分54 分,每小题9 分)7. 设nS为等差数列na的前n项和,若510S,105S, 则公差为.8. 设( )log ()af xxb (0a且1)
3、a的图象经过点(21),它的反函数的图象经过点(2 8),则ab等于.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 9. 已知函数( )yfx的图象如图,则满足22221()(lg(620)021xxffxxxx的x的取值范围为 . 10. 圆锥曲线22621030 xyxyxy的离心率是 . 11. 在ABC中,已知tan3B,22sin3C,3 6AC,则ABC的面积为12. 设命题P:2aa,命题Q: 对任何xR,都有2410 xax.
4、命题P与Q中有且仅有一个成立,则实数a的取值范围是.三、解答题(本题满分60 分,共 4 小题,每题各15 分)13. 设不等式组00 xyxy,表示的平面区域为D. 区域D内的动点P到直线0 xy和直线0 xy的距离之积为2. 记点P的轨迹为曲线C. 过点(22 0)F,的直线l与曲线C交于A、B两点 . 若以线段AB为直径的圆与y轴相切, 求直线l的斜率. 14. 如图,斜三棱柱111ABCA B C中,面11AAC C是菱形,160ACC,侧面11ABB A11AAC C,11A BABAC. B1B A1A 1 x y O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
5、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 求证: (1)1AA1BC;(2)求点1A到平面ABC的距离 . 15. 已知数列na中,11a,33nnaa,22nnaa. 求2007a.16.已知平面上10个圆,任意两个都相交. 是否存在直线l,与每个圆都有公共点?证明你的结论 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 2007 年江苏省高中
6、数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分36 分,每小题6 分)1已知函数2sinyx,则(B ). (A) 有最小正周期为2( B) 有最小正周期为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - - (C) 有最小正周期为2(D) 无最小正周期解:)2cos1 (21sin2xxy,则最小正周期T.故选( B) 2关于x的不等式02022aaxx任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是(C ).(A) 2 (B) 1 (C
7、) 0 (D)1解:方程02022aaxx的两根是14xa,25xa,则由关于x的不等式22200 xaxa任意两个解的差不超过9,得9|9|21axx,即11a. 故选( C) 3. 已知向量a、b,设ABuu u ra 2b,5BCuuu ra 6b,7CDu uu ra 2b,则一定共线的三点是(A ).(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D解:2BDBCCDuuu ruu u ruuu ra 4b2ABuuu r,所以 A、B、D 三点共线 . 故选( A) 4设、为平面,m、n为直线,则m的一个充分条件是(D ).(A),nI,mn(B)mI,(C),m(D
8、)n,n,m解: (A)选项缺少条件m; (B)选项当/,时,/m; (C)选项当、两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角),mI时,m;(D)选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题.故选( D) 5. 若m、22101010nx xaaa,其中12 34 5 6 7ia, , , , , ,01 2i, ,并且636mn,则实数对(, )m n表示平面上不同点的个数为(C )(A)60个(B)70个(C)90个(D)120个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共
9、12 页 - - - - - - - - - - 解:由6514233及题设知,个位数字的选择有5 种.因为3217610,故(1) 由32 1知,首位数字的可能选择有2510种;(2) 由376 10及54 123知,首位数字的可能选择有2 48种. 于是,符合题设的不同点的个数为5(108)90种. 故选( C) 6 已知( )122007122007f xxxxxxxLL(xR),且2(32)(1),f aaf a则 a 的值有(D ).(A)2 个(B)3 个(C)4 个(D)无数个解:由题设知( )f x为偶函数,则考虑在11x时,恒有( )2(1232007)20082007f x
10、L所以当21321aa,且11 1a时,恒有2(32)(1)f aaf a由于不等式21321aa的解集为353522a,不等式111a的解集为20a因此当2253a时,恒有2(32)(1)f aaf a. 故选( D) 二、填空题(本题满分54 分,每小题9 分)7设nS为等差数列na的前n项和,若105S,510S,则公差为1d . 解:设等差数列na的首项为1a,公差为d. 由题设得,545101010511dada即,1922211dada解之得1d.8. 设( )log ()af xxb (0a且1)a的图象经过点(2 1),它的反函数的图象经过点(2 8),则ba等于4.解:由题设
11、知log (2)1log (8)2aabb,化简得2(2)(8).baba,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - - O 解之得1131ab,;2224.ab,(舍去) . 故ab等于 4.9已知函数( )yf x的图象如图,则满足22221()(lg(620)021xxffxxxx的x的取值范围为 2 1)x,解: 因为22lg620lg (3)11lg111xxx,所以2lg6200 xx.于是,由图象可知,2111xx,即201xx
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