八年级(上)培优专刊资料三全等三角形辅助线作法.doc

,. 专题三 全等三角形辅助线作法 一、“三线合一”法： 等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线三线合一. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 注意：有一个内角为60的三角形一定是等边三角形 二、倍长中线法： 遇到三角形的中线，倍长中线，即延长中线使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形。 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例1图 例2图 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 三、角平分线构造全等法： 即利用角平分线构造全等三角形法。遇到角平分线有三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，形成一对全等三角形。所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 （一）角分线上点向角两边作垂线构全等 1、如图，已知在△ABC中，∠B=60，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 例2． 如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。 求证：BC=AB+AD 分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。 （二）：作角平分线的垂线构等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC） 分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。 例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 （三）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。 A B E C D B D C A 例5 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。 例5图 例6图 例6 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。 （四）截取构全等 可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 例8 已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 例9 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 四、截长法与补短法： 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． （一）截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 1.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD. 2.已知：如图，△ABC中，∠A=60，∠B与∠C的平分线BE,CF交于点I，求证：BC=BF+CE. （二）补短 将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段 3.已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，求证：BE=CF+AE. 4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60，AB=BD+DC，求证：∠ACD=60. 5.已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60，∠BCD=120，求证：BC+DC=AC. 五、中垂线法： 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 例1、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 注意：作平行线、作垂线、作中位线是三角形问题中最常见的辅助线作法 （一）作平行线 1、如图，ABCD和CEFG是两个正方形，AB=a，CE=b，则△BDF的面积是 。 2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延长线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF. （二）作垂线 3、如图，已知OP平分∠AOB，C，D分别在OA、OB上，若∠PCO+∠PDO=180， 求证：PC=PD. 4、已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：CD⊥AC. 5、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，BM是AC边上的中线，AD⊥BM，分别交BC、BM于D、E，求证：∠CMD=∠AMB. （三） 构造中位线 6.如图，在△ABC中，D是BC上的靠近B点的三等分点，E是AB的中点，直线AC与DE交于点F，求证：EF=3DE. 7.在△ABC中，∠B=2∠C,M为BC的中点，AD⊥BC，求证：DM=1/2AB. 8.在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, ∠CAB的平分线交BD于点F，交BC于点G，求证：CG=2OF. 全等三角形辅助线的作法 一、 遇三角形中线常见辅助线 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 二、 角平分线常见辅助线 1、 角分线上点向角两边作垂线构全等： 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题 2、 截取构全等 如图，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件 3、 延长垂线段 遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形 4、 作平行线 ①、以角平分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 ②、通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形 三、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理 “三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 逆定理： ①、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ②、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ③、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 【简言之】：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。 四、截长法与补短法 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法： 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 ①、对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。 ②、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。 【同时适用】：证明线段的和、差、倍、分等类的题目 三角形辅助线做法 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 N