八年级-(上~)培优专栏三-全等三角形辅助线作法.doc
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1、|D CBAEDFCBA专题三 全等三角形辅助线作法一、 “三线合一”法:等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线三线合一. 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题注意:有一个内角为 60的三角形一定是等边三角形二、倍长中线法:遇到三角形的中线,倍长中线,即延长中线使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形。例 1、已知,如图ABC 中,AB=5,AC=3,则中线 AD 的取值范围是_.例 1 图 例 2 图例 2、如图,ABC 中,E、F 分别在 AB、AC 上,DEDF,D 是中点,试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例 3、如图,ABC 中,BD=DC=AC,E 是
2、 DC 的中点,求证:AD 平分BAE.ED CBA三、角平分线构造全等法:即利用角平分线构造全等三角形法。遇到角平分线有三种添辅助线的方法, (1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,形成一对全等三角形。所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 (2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。 (3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。| OED CBA(一)角分线上点向角两边作垂线构全等1、如图,已知在ABC 中,B=60,ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O
3、,求证:OE=OD例 1 如图 2-1,已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证:ADC+B=180 分析:可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC 与B 之和为平角。例 2 如图 2-2,在ABC 中,A=90 ,AB=AC,ABD=CBD。求证:BC=AB+AD分析:过 D 作 DEBC 于 E,则 AD=DE=CE,则构造出全等三角形,从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题,从中利用了相当于截取的方法。(二):作角平分线的垂线构等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利
4、用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 (如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交) 。例 1 已知:如图 3-1,BAD=DAC,ABAC,CDAD 于 D,H 是 BC 中点。求证:DH= (AB-AC)2分析:延长 CD 交 AB 于点 E,则可得全等三角形。问题可证。图 3-2DABEFC图 图 3-1ABCDHE图 2-2AB CDE图 2-1ABCDEF|例 2 已知:如图 3-2,AB=AC,BAC=90 ,AD 为ABC 的平分线,CEBE.求证:BD=2CE。分析:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造
5、出等腰三角形。(三) 、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。图 4-2图 4-1CA BCBAFIEDHG例 5 如图,BCBA,BD 平分ABC,且 AD=CD,求证:A+C=180。例 5 图 例 6 图例 6 如图,ABCD,AE、DE 分别平分BAD 各ADE,求证:AD=AB+CD。(四)截取构全等可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构
6、造一对全等三角形。例 8 已知:如图 1-3,AB=2AC,BAD=CAD,DA=DB,求证 DCACB DCAA BECD|分析:此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例 9 已知:如图 1-4,在ABC 中,C=2B,AD 平分BAC,求证:AB-AC=CD分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。试试看可否把短的延长来证明呢?四、截长法与补短法:具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相
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