解析几何(第四版吕林)根课后规范标准答案.doc
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1、.第一章 矢量与坐标1.1 矢量的概念1.下列情形中矢量终点各构成什么图形? (1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点; (2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点; (3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点;(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解:(1)单位球面; (2)单位圆 A F B E C (3)直线; (4)相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心,在矢量、 、O、 、和中,哪些矢量是相等的?解:如图1-1,在正六边形ABCDEF中,相等的矢量对是: 图1-1 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是边、
2、的中点,求证:. 当ABCD是空间四边形时,这等式是否也成立?证明:如图1-2,连结AC, 则在DBAC中, KLAC. 与方向相同;在DDAC中,NMAC. 与方向相同,从而KLNM且与方向相同,所以. 4. 如图1-3,设ABCD-EFGH是一个平行六面体,在下列各对矢量中,找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量:图13(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解:相等的矢量对是(2)、(3)和(5); 互为反矢量的矢量对是(1)和(4)。 1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立,矢量应满足什么条件?(1) (2)(3) (4)(5)解:(1)所在的直线垂直时有;
3、(2)同向时有 (3)且反向时有 (4)反向时有 (5)同向,且时有1.3 数量乘矢量1 试解下列各题 化简 已知,求,和 从矢量方程组,解出矢量,解 , , 2 已知四边形中,对角线、的中点分别为、,求 解 3 设,证明:、三点共线 证明 与共线,又为公共点,从而、三点共线 4 在四边形中,证明为梯形 证明 ,为梯形6. 设L、M、N分别是ABC的三边BC、CA、AB的中点,证明:三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. 证明: 从而三中线矢量构成一个三角形。7. 设L、M、N是ABC的三边的中点,O是任意一点,证明+=+. 证明 = 由上题结论知: 8. 如图1-5,设M是平行四边形ABC
4、D的中心,O是任意一点,证明+4.图1-5证明:因为(+), (+),所以 2(+)所以+4.9 在平行六面体(参看第一节第4题图)中,证明 证明 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半 证明 已知梯形,两腰中点分别为、,连接、 , , ,即 ,故平行且等于 11. 用矢量法证明,平行四边行的对角线互相平分. 证明:如图1-4,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点图1-4但 由于而不平行于, ,从而OA=OC,OB=OD。12. 设点O是平面上正多边形A1A2An的中心,证明:+.证明:因为l,l,+l,l,所以 2(+)l(+),所以 (l
5、2)(+).显然 l2, 即 l20. 所以 +.13在12题的条件下,设P是任意点,证明:证明: 即 1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1在平行四边形ABCD中,(1)设对角线求解:设边BC和CD的(2)中点M和N,且求。解: 2在平行六面体ABCD-EFGH中,设三个面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。证明:, , 图1-73. 设一直线上三点A, B, P满足l(l1),O是空间任意一点,求证:证明:如图1-7,因为,所以 l (),(1+l)+l, 从而 .4. 在中,设.(1) 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;(2)设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合解:(
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