大学课件 高等数学 下学期 7-6(方向导数与梯度).ppt
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1、1/22,一、方向导数概念与计算公式,二、梯度概念与计算,第六节 方向导数与梯度,三、小结,2/22,1. 方向导数的定义,设有二元函数,沿任何方向的变化率,考虑函数在某点,射线是指有方向的半直线,即,一、方向导数概念与计算公式,3/22,定义,如果极限,存在,则将这个极限值称为函数,在点,记为,即,方向导数是函数沿半直线方向的变化率.,注,4/22,证.,由于函数可微,得到,2. 关于方向导数的存在及计算公式,定理,可微,则函数,且,则增量可表示为,两边同除以,5/22,故有方向导数,6/22,注,即为,(1),(2),计算方向导数只需知道l,的方向及函数的,偏导数.,在定点,的方向导数为,
2、(3),(4) 关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,7/22,解.,由方向导数的计算公式知,(1) 最大值;,(2) 最小值;,(3) 等于零?,并问在怎样的方向上此方向导数有,例1.,8/22,故,方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于,和,(1) 最大值;,(2) 最小值;,(3) 等于零?,问在怎样的方向上此方向导数有,9/22,推广可得三元函数方向导数的计算公式,同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点,沿任意方向l的方向导数都存在,且有,10/22,定义,记作,即,为函数,称向量,梯度(gradient),设函数,可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成,二、
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