大学课件 高等数学 下学期 6-4(平面的方程).ppt
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1、第四节 平面及其方程,下面我们将以向量作为工具,在空间直角坐标系中 讨论最简单的曲面平面。,平面的点法式方程,平面的一般方程,两平面的夹角,点到平面的距离,定义:如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量(法向量),法向量的特征:,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,一块平面可以有许多法向量.,平面的点法式方程,平面上的点都满足上述方程,不在平面上的点都不满足上述方程,故上述方程就是平面的方程,其中法向量,已知点,例,解,解1,所求平面方程为,即,例,解2,例,即,所求平面方程为,由平面的点法式方程,二、平面的一般方程,即任何一个平面都可
2、以用上述三元一次方程来表示。,反过来,设有:,:平面的一般方程,显然(1)与(3)同解,即(1)也表示一个平面。,二、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况:,平面通过坐标原点;,平面通过 轴;,平面平行于 轴;,平面平行于 坐标面;,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,即,所求平面方程为,解,设这个平面方程为,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!,当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.,并作图.,?,化为截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,(向量平行的充要条件),解,化简得,
3、令,所求平面方程为,求平面方程常用两种方法:,利用条件定出其中的待定的常数, 此方法也称待定常数法.,主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.,(1) 用平面的点法式方程.,(2) 用平面的一般方程.,定义,(通常取锐角),两平面法向量的夹角称为,三、两平面的夹角,两平面的夹角.,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征:,/,两平面垂直、平行的充要条件,取锐角,例 研究以下各组里两平面的位置关系:,解,两平面相交,夹角,两平面平行但不重合.,两平面平行,两平面重合,解,解,两平面平行,例,解,所求方程的三点式为,三点的平面方程为,设两平面的交角为,则,设平面为,所求平面方程为,解,例,求与平面,垂直且过原点及点,的平面方程,与平面,垂直且过原点及点,的平面方程为( ).,解,平面的点法式方程,点到平面的垂直距离,外一点,四、点到平面的距离,并作向量,即,由于,的距离公式为,点到平面距离公式,填空,解,解,例,求这平面方程.,设所求平面为,在已知平面,上任取一点,或,故所求平面为,或,平面的方程,(熟记平面的几种特殊位置的方程),两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,(注意两平面的位置特征),四、小结,
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