2019年江苏省高考数学试卷.pdf
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1、20192019 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷一、填空题:一、填空题:本大题共本大题共 1414 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共计分,共计 7070 分分.请把答案填写在答题卡相应位置请把答案填写在答题卡相应位置上上.1已知集合A 1,0,1,6,Bx|x0,xR,则A3如图是一个算法流程图,则输出的S的值是B2已知复数(a2i)(1 i)的实部为 0,其中i为虚数单位,则实数a的值是4函数y76xx的定义域是25已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1
2、名女同学的概率是y27在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x21(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近b线方程是28已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和若a2a5a80,S927,则S8的值是9如图,长方体ABCDA1B1C1D1的体积是 120,E为CC1的中点,则三棱锥EBCD的体积是410 在平面直角坐标系xOy中,P是曲线yx(x0)上的一个动点,则点P到直线xxy0的距离的最小值是11 在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线ylnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(e,则点A的坐标是1)(e为自然对数的底数)12 如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE2E
3、A,AD与CE交于点O 若第 1 1 页(共 2121 页)AB AC 6AO EC,则AB的值是AC13已知2,则sin(2)的值是34tan()4tan14设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为 4,g(x)的周期为 2,且k(x 2),0 x 1,当x(0,其中k 0 若f(x)是奇函数2时,f(x)1(x1),g(x)1,1 x 2,22在区间(0,9上,关于x的方程f(x)g(x)有 8 个不同的实数根,则k的取值范围是二、解答题:二、解答题:本大题共本大题共 6 6 小题,共计小题,共计 9090 分分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文请在答题卡指
4、定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.15(14 分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c2(1)若a 3c,b 2,cosB,求c的值;3sin AcosB(2)若,求sin(B)的值2a2b16(14 分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB BC求证:(1)A1B1/平面DEC1;(2)BE C1Ex2y217(14 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:221(a b 0)的焦点为abF1(1,0),F2(1,0)过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1 与圆F2:(x 1)2 y2 4a2
5、交于点A,与椭圆C交于点D连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连5结DF1已知DF12(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标第 2 2 页(共 2121 页)18(16 分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径),规划在公路l 上选两个点P、并修建两段直线型道路PB、QA,Q,规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l 的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB 10,AC 6,BD 12(单位:百米)(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求
6、下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离19(16 分)设函数f(x)(x a)(x b)(x c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数(1)若a b c,f(4)8,求a的值;(2)若a b,b c,且f(x)和f(x)的零点均在集合3,1,3中,求f(x)的极小值;4(3)若a 0,0b1,c 1,且f(x)的极大值为M,求证:M2720(16 分)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M 数列”(1)已知等比数列an(nN*)满足:a2a4 a5,a3 4a2 4a1 0,求证
7、:数列an为“M 数列”;(2)已知数列bn(nN*)满足:b11,求数列bn的通项公式;设m为正整数,若存在“M 数列”cn(nN*),对任意正整数k,当k m时,都有ck剟 bkck1成立,求m的最大值122,其中Sn为数列bn的前n项和Snbnbn1【选做题】【选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若若多做,则按作答的前两小题评分多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.A.选修选修 4-24-2:矩阵
8、与变换:矩阵与变换(本小题满分(本小题满分 1010 分)分)3121(10 分)已知矩阵A 22第 3 3 页(共 2121 页)(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值B.B.选修选修 4-44-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(本小题满分(本小题满分 1010 分)分)22(10 分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(2,),直线 1 的方程为sin()3424(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离C.C.选修选修 4-54-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分(本小题满分 1010 分)分)23设xR,解不等式|x|2x 1|2【必做题】【必做题】第第 2424
9、 题、第题、第 2525 题,每题题,每题 1010 分,共计分,共计 2020 分分.请在答题卡指定区域内作答,解答请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 2a2a424(10 分)设(1 x)n a0 a1x a2x2 anxn,n 4,nN*已知a3(1)求n的值;(2)设(13)n a b3,其中a,bN*,求a23b2的值25(10 分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An(0,0),(1,0),(2,0),(n,0),Bn(0,1),(n,1),Cn(0,2),(1,2),(2,2),(n,2),nN*令Mn An
10、集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离(1)当n 1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n3),求概率P(X n)(用n表示)BnCn从第 4 4 页(共 2121 页)20192019 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题:一、填空题:本大题共本大题共 1414 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共计分,共计 7070 分分.请把答案填写在答题卡相应位置请把答案填写在答题卡相应位置上上.1已知集合A1,0,1,6,B x|x 0,xR,则A【思路分析】直接利用交集运算得答案【解析】:AB 1,6A 1,0,1,
11、6,B x|x 0,xR,B 1,0,1,6x|x 0,xR1,6故答案为:1,6【归纳与总结】本题考查交集及其运算,是基础题2已知复数(a 2i)(1i)的实部为 0,其中i为虚数单位,则实数a的值是2【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0 求的a值【解析】:(a 2i)(1i)(a 2)(a 2)i的实部为 0,a 2 0,即a 2故答案为:2【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3如图是一个算法流程图,则输出的S的值是5【思路分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各
12、变量值的变化情况,可得答案【解析】:模拟程序的运行,可得x 1,S 0S 0.54,执行循环体,x 2,S 1.5不满足条件x4,执行循环体,x 3,S 3不满足条件x4,执行循环体,x 4,S 5不满足条件x4,退出循环,输出S的值为 5此时,满足条件x故答案为:5【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题第 5 5 页(共 2121 页)4函数y 7 6x x2的定义域是1,7【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0 求解一元二次不等式得答案【解析】:由7 6x x2x 70,得x2 6x 7 0,解得:1剟函数y 7 6x x
13、2的定义域是1,7故答案为:1,7【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题5已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是2【思路分析】先求出一组数据6,7,8,9,10 的平均数,由此能求出该组数据的方差【解析】:一组数据 6,7,8,9,10 的平均数为:1x(678910)8,5该组数据的方差为:1S2(68)2(7 8)2(88)2(98)2(108)2 25故答案为:2【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则
14、选出的 2 名同学中至少7有 1 名女同学的概率是10【思路分析】基本事件总数n C5210,选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本112C2C2 7,由此能求出选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率事件个数m C3【解析】:从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,基本事件总数n C5210,选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数:112m C3C2C2 7,选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是p m7n10710【归纳与总结】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解故答案为:能力,考查数形
15、结合思想,是基础题y27在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x 21(b 0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近b线方程是y 2x2【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b,则双曲线的渐近线方程可求y2【解析】:双曲线x 21(b 0)经过点(3,4),b163221,解得b2 2,即b 2b又a 1,该双曲线的渐近线方程是y 2x2故答案为:y 2x【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题第 6 6 页(共 2121 页)8已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和若a2a5 a8 0,S9 27,则S8的值是16【思路分析】设等差数列an的首项为
16、a1,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n项和求得S8的值【解析】:设等差数列an的首项为a1,公差为d,(a1 d)(a1 4d)a17d 0a1 5则,解得98d 29a d 271287dS88a1 6(5)152 162故答案为:16【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础题9如图,长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120,E为CC1的中点,则三棱锥E BCD的体积是10 AB BC DD1120,三 棱 锥E BCD的 体 积:【思 路 分 析】推 导 出VABCDA1B C1D111111VEBCDSB
17、CDCE BC DCCE AB BC DD1,由此能求出结果33212【解析】:长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120,E为CC1的中点,VABCDA1B1C1D1 AB BC DD1120,三棱锥E BCD的体积:1VEBCDSBCDCE311BCDCCE321 ABBCDD11210故答案为:10【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题410在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y x(x 0)上的一个动点,则点P到直线x第 7 7 页(共 2121 页)x y 0的距离的最小值是44【思路分
18、析】利用导数求平行于x y 0的直线与曲线y x(x 0)的切点,再由点到直x线的距离公式求点P到直线x y 0的距离的最小值44【解析】:由y x(x 0),得y 12,xx44设斜率为1的直线与曲线y x(x 0)切于(x0,x0),x0 x由14 1,解得x02(x0 0)x024(x 0)上,点P(2,32)到直线x y 0的距离最小,x|2 3 2|最小值为 42曲线y x 故答案为:4【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题11 在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(e,则点A的坐标是
19、(e,1)1)(e为自然对数的底数)【思路分析】设A(x0,lnx0),利用导数求得曲线在A处的切线方程,代入已知点的坐标求解x0即可【解析】:设A(x0,lnx0),由y lnx,得y y|xx01,x11,则该曲线在点A处的切线方程为y lnx0(x x0),x0 x0e1,x0切线经过点(e,1),1lnx0 即lnx0e,则x0 ex0A点坐标为(e,1)故答案为:(e,1)【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题12 如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE 2EA,AD与CE交于点O 若ABA BAC A OE6 C
20、,则的值是3AC【思 路 分 析】首 先 算 出A O1A D,然 后 用AB、AC表 示 出AO、EC,结 合2第 8 8 页(共 2121 页)AB AC 6AO EC得2213AB AC,进一步可得结果22【解析】:设AO AD(AB AC),2AO AE EO AE EC AE(AC AE)1(1)AE AC ABAC311223,14211AO AD(AB AC),241EC AC AE AB AC,3116AO EC 6(AB AC)(AB AC)4322312(AB AB AC AC)2332213 AB AB AC AC,222213AB AC AB AB AC AC,2222
21、2AB13 3,AB AC,222ACAB3 AC故答案为:3【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力13已知2,则sin(2)的值是34tan()4tan210【思路分析】由已知求得tan,分类利用万能公式求得sin2,cos2的值,展开两角和的正弦求sin(2)的值4tan2tan2,得,【解析】:由33tan()tan tan441 tantan41tan(1 tan)2,解得tan 2或tan 31 tan31tan232tan4当tan 2时,sin2,cos2 21tan51tan2542322;sin(2)sin2coscos2sin4445
22、2521021tan412tan3当tan 时,sin2,cos2,221tan531tan5第 9 9 页(共 2121 页)32422sin(2)sin2coscos2sin 4445252102综上,sin(2)的值是1042故答案为:10【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式的应用,是基础题14设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为 4,g(x)的周期为 2,且k(x 2),0 x 1,当x(0,其中k 0 若f(x)是奇函数2时,f(x)1(x1),g(x)1,1 x 2,21在区间(0,9上,关于x的方程f(x)
23、g(x)有 8 个不同的实数根,则k的取值范围是,31)2 2【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案2【解析】:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,1由图可知,函数f(x)与g(x)(1 x 2,3 x 4,5 x 6,7 x 8)仅有 2 个实数根;2要使关于x的方程f(x)g(x)有 8 个不同的实数根,则f(x)1(x1)2,x(0,2与g(x)k(x 2),x(0,1的图象有 2 个不同交点,由(1,0)到直线kx y 2k 0的距离为 1,得1两点(2,0),(1,1)连线的斜率k,311 k 32 211)即k的取值范围为,32 211)故答案为:,32
24、2|3k|k 121,解得k 12 2(k 0),【归纳与总结】本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题第 1010 页(共 2121 页)二、解答题:二、解答题:本大题共本大题共 6 6 小题,共计小题,共计 9090 分分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.15(14 分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c2(1)若a 3c,b 2,cosB,求c的值;3sin AcosB(2)若,求sin(B)的值2a2ba2c2b210c222【思路
25、分析】(1)由余弦定理得:cosB,由此能求出c的值2ac6c23sin AcosB(2)由,利用正弦定理得2sin B cosB,再由sin2B cos2B 1,能求出a2b52 5,cosB,由此利用诱导公式能求出sin(B)的值sinB 552【解析】:(1)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c2a 3c,b 2,cosB,3由余弦定理得:a2c2b210c222cosB,2ac6c233解得c 3sin AcosB(2),a2bsin AsinBcosB由正弦定理得:,ab2b2sin B cosB,sin2B cos2B 1,sinB 52 5,cosB,552 5sin(
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