高考数学(理)一轮复习教案:第四篇 三角函数、解三角形第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例.pdf
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1、第 7 讲 正弦定理、余弦定理应用举例【20XX 年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题【复习指导】1本讲联系生活实例,体会建模过程,掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2加强解三角形及解三角形的实际应用,培养数学建模能力基础梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为 (如图
2、(2)(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏西 45,西偏东 60等(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤解三角形应用题的一般步骤:(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个
3、或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解双基自测1(人教 A 版教材习题改编)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点C,测出 AC 的距离为 50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出 A,B 两点的距离为()25 2A50 2 mB50 3 mC25 2 mD.m2ABAC解析 由正弦定理得,又B30sinACBsin B250ACsinACB2AB50 2(m)sin B12答案 A2从 A 处望 B 处的仰角为,从 B 处望
4、A 处的俯角为,则,的关系为()ABC90D180解析 根据仰角与俯角的定义易知.答案 B3若点 A 在点 C 的北偏东 30,点 B 在点 C 的南偏东 60,且 ACBC,则点 A 在点 B 的()A北偏东 15C北偏东 10解析 如图B北偏西 15D北偏西 10答案 B4一船向正北航行,看见正西方向相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西 75,则这艘船的速度是每小时()A5 海里C10 海里B5 3海里D10 3海里解析 如图所示,依题意有BAC60,BAD75,所以CADCDA15,从而 CDCA10(海里),在
5、 RtABC 中,得 AB5(海里),于是这艘船的速度是答案 C5海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,BAC60,ABC75,则 B,C 间的距离是_海里BCAB解析 由正弦定理,知.解得 BC5 6(海里)sin 60sin1806075答案 5 6510(海里/时)0.5考向一 测量距离问题【例 1】如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这岸定一基线 CD,现已测出 CDa 和ACD60,BCD30,BDC105,ADC60,试求 AB 的长审题视点 在BCD 中,求出 BC,在ABC 中,求出 AB.解 在ACD 中,已知 CDa,ACD60,A
6、DC60,所以 ACa.BCD30,BDC105CBD45asin 10531在BCD 中,由正弦定理可得BCa.sin 452在ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为ACB30,所以利用余弦定理可以求得 A,B 两点之间的距离为 AB AC2BC22ACBCcos 302a.2(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解【训练 1】如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75,30,于水面
7、 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60,AC0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D 的距离解 在ACD 中,DAC30,ADC60DAC30,所以CDAC0.1 km.又BCD180606060,故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BDBA.又ABC15ABAC在ABC 中,sinBCAsinABCACsin 603 2 6所以 AB(km),sin 15203 2 6同理,BD(km)203 2 6故 B、D 的距离为km.20考向二 测量高度问题【例 2】如图,山脚下有一小塔AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60,在山顶 C
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